高等數(shù)學(xué)課件：6-3定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用

1、2021-12-151一一 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功二二 水壓力水壓力三三 引力引力四四 小結(jié)小結(jié)五五 思考與判斷題思考與判斷題第五節(jié)第五節(jié) 功功 水和壓力水和壓力2021-12-152 由物理學(xué)知道，如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的由物理學(xué)知道，如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過程中有一個(gè)不變的力過程中有一個(gè)不變的力F作用在這物體上，且作用在這物體上，且這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，那么，在這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，那么，在物體移動(dòng)了距離物體移動(dòng)了距離s時(shí)，力時(shí)，力F對(duì)物體所作的功為對(duì)物體所作的功為sFW . . 如如果果物物體體在在運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的過過程程中中所所受受的的力力是是變變化化的的，

2、就就會(huì)會(huì)遇遇到到變變力力作作功功的的問問題題，不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“元元素素法法”。一一 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功2021-12-153例例 1 1 把一個(gè)帶把一個(gè)帶 q 電量的點(diǎn)電荷放在電量的點(diǎn)電荷放在 r 軸上坐軸上坐標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周圍的標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周圍的電荷有作用力由物理學(xué)知道，如果一個(gè)單位正電荷有作用力由物理學(xué)知道，如果一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)為電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)為 r 的地方，那么的地方，那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為 2rqkF （k是常是常數(shù)） ，當(dāng)這個(gè)單

3、位正電荷在電場(chǎng)中從數(shù)） ，當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從 ar 處沿處沿 r軸移動(dòng)到軸移動(dòng)到 br 處時(shí)，計(jì)算電場(chǎng)力處時(shí)，計(jì)算電場(chǎng)力 F 對(duì)它所作對(duì)它所作的功的功2021-12-154解解取取r為為積積分分變變量量，ro q a b 1 r,bar drr 即功元素為即功元素為,2drrkqdw 所求功為所求功為drrkqwba 2barkq 1.11 bakq于于區(qū)區(qū)間間上上所所作作的的功功近近似似等等取取,drrr 為為 a,ba,b上的任一小區(qū)間上的任一小區(qū)間, ,電場(chǎng)力在此小電場(chǎng)力在此小,2drrkq2021-12-155例例 2 2 一圓柱形蓄水池高為一圓柱形蓄水池高為 5 5 米，底米

4、，底半徑為半徑為 3 3 米，池內(nèi)盛滿了水米，池內(nèi)盛滿了水. .問要把問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？解解建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖xoxdxx 取取x為積分變量，為積分變量，5 , 0 x5取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ,5m3m2021-12-156這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為dx238 . 9 功元素為功元素為,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)xo3m5m2021-12-157 由由物物理理學(xué)學(xué)知知道道，在在水水深深為為h處處的的壓壓強(qiáng)強(qiáng)為為hp ，這這里里 是是水水的的比比重重如

5、如果果有有一一面面積積為為A的的平平板板水水平平地地放放置置在在水水深深為為h處處，那那么么，平平板板一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水壓壓力力為為ApP 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等，平板一側(cè)所受的水壓力不相等，平板一側(cè)所受的水壓力就不能直接使用此公式，而采用就不能直接使用此公式，而采用“元素法”元素法”二二 水壓力水壓力2021-12-158例例 3 3 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為設(shè)桶的底半徑為R，水的比重為，水的比重為 ，計(jì)算桶的一端，計(jì)算桶的一端面上所受的壓

6、力面上所受的壓力解解 在端面建立坐標(biāo)系如圖在端面建立坐標(biāo)系如圖xo取取x為積分變量為積分變量，, 0Rx 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx xdxx 小小矩矩形形片片上上各各處處的的壓壓強(qiáng)強(qiáng)近近似似相相等等小矩形片的面積為小矩形片的面積為.222dxxR ,xp 2021-12-159小小矩矩形形片片的的壓壓力力元元素素為為dxxRxdP222 端面上所受的壓力端面上所受的壓力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 2021-12-1510例例 5 5 將斜邊定長(zhǎng)為將斜邊定長(zhǎng)為 L L 的直角三角形薄板垂的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜邊朝下，使

7、一直角邊的邊直地浸人水中，斜邊朝下，使一直角邊的邊長(zhǎng)與水面重合，問斜邊與此直角邊的夾角長(zhǎng)與水面重合，問斜邊與此直角邊的夾角 多大時(shí)，才能使薄板一側(cè)所受水的壓力最多大時(shí)，才能使薄板一側(cè)所受水的壓力最大？大？解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖L xoa2 則斜邊所在直線方程則斜邊所在直線方程dxLxxydxxdpLxycos)cot()( )20( ,cos)cot( 壓壓力力微微元元2021-12-1511 sin02sin0 )coscot(LLxdxLxdpp 23sincos6L )20(2arctan2tan0)sinsin cos2(6323 ，所以，所以可得可得Lddp由定義域內(nèi)駐點(diǎn)

8、唯一知當(dāng)由定義域內(nèi)駐點(diǎn)唯一知當(dāng)2arctan 時(shí)所受壓力最大時(shí)所受壓力最大。2021-12-1512 由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為21, mm相距為相距為r的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為221rmmkF ，其中，其中k為引力系數(shù)，引力的方為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向 如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，那么，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化那么，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的，的，且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的，就不能用此公式計(jì)算就不

9、能用此公式計(jì)算三、引力三、引力2021-12-1513例例 6 6 有一長(zhǎng)度為有一長(zhǎng)度為l、線密度為、線密度為 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，在其中垂線上距棒在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)M，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力的引力2l2l xyoMa解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖取取y為為積積分分變變量量取任一小區(qū)間取任一小區(qū)間,dyyy ,2,2 lly將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)小段的質(zhì)量為小段的質(zhì)量為,dy rydyy 2021-12-1514小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為. 0 yF2021-12-1515利用利用“元素法元素法”求求（1 1）變力作功（）變力作功（2 2）水壓力（）水壓力（3 3）引力）引力等物理問題