專(zhuān)題基本不等式的應(yīng)用

1、基本不等式的應(yīng)用1、【2019年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,P是曲線(xiàn)4，人 一(x 0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) Px到直線(xiàn)x+y=0的距離的最小值是2、【2019年高考天津卷文數(shù)】 設(shè)x 0,y 0, x2y 4,(x 則L1)(2 y 1)一-的最小值為xy3、【2019年高考浙江卷】若 a0,b0,則“ ab 4”是 “ab 4”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4、【2018年高考天津卷文數(shù)】(2018天津文科)已知 a ,b R ,且a 3b1的最/、8b值為5、【2018年高考江蘇卷】在 ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為 a,b,c

2、ABC 120ABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D,且BD 1 ,則4a c的最小值為6、【2017年高考江蘇卷】某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次,年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為 4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是、三個(gè)不等式關(guān)系:a, bCR, a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等(2)a, bCR*, a+ b>2y0b,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等a + ba+ b 2a, bCR, -2<(-2-),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等上述三個(gè)不等關(guān)系揭示了a2+b2 , ab , a+b三者間的不等關(guān)系.a+ b其中，基本不等式及其變形：a, bCR+,

3、a+b>2y0b(或abw(-2-)2),當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)和為定值時(shí)，可求積的最值；當(dāng)積為定值是，可求和的最值.2、 .算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a+ b設(shè)a>0, b>0,則a, b的算術(shù)平均數(shù)為一二，幾何平均數(shù)為聲,基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算 術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).3、 .利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0, y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是2yp.(簡(jiǎn)記：積定和最小)2(2)如果和x + y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是會(huì).(簡(jiǎn)記：和定積最大)四、對(duì)于 f(x) =x +

4、a, x當(dāng) aw 0 時(shí)，f (x)在(一8, 0), (0, +oo)為增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(一00, 4),h/a, 十°°)為增函數(shù)；在(一,，0), (0 , g)為減函數(shù). a注意 在解答題中利用函數(shù) f(x)=x+-的單調(diào)性時(shí)，需要利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.x五、利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：(1)對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊 因子法、換元法、整體代換法等.(2)條件變形，進(jìn)行“ 1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值.在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊

5、”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值 )、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用， 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.六、對(duì)于多元問(wèn)題的不等式的基本解題思路就是把多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題。題型一 運(yùn)用消參法解決基本不等式中的最值問(wèn)題消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問(wèn)題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過(guò)程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！例1、（2019常州期末）已知正數(shù) x, y滿(mǎn)足x + y=1,則1+ x的最小值為 x x y例2、（2017蘇北四市期末）若實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足xy+3x=3 0<x<1

6、,則3+二；的最小值為222 x y 3題型二、運(yùn)用1的代換解決基本不等式中的最值問(wèn)題1的代換就是指湊出1,使不等式通過(guò)變形出來(lái)后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過(guò)程中要特別注意等價(jià)變形。例3、（2019揚(yáng)州期末）已知正實(shí)數(shù) x, y滿(mǎn)足x + 4y-xy = 0,若x + yRm恒成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍為.例4、（2019年蘇州學(xué)情調(diào)研）若正實(shí)數(shù) x,y滿(mǎn)足x y 1,則？ 4的最小值是x y1 1例5、 （ 2013徐州、宿遷二檢）若 a 0,b 0,且一1一 + 1,則a +2b的最小值為 .2a+ b b + 1題型三、運(yùn)用雙換元解決基本不等式中的最值問(wèn)題若題目中含是求兩

7、個(gè)分式的最值問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系。例6、（2017蘇州期末）已知正數(shù)x, y滿(mǎn)足x+y=1,則一4+工的最小值為x + 2 y + 1，,一一、一 ，、一一一21 ,一，例7、（2015蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一倜）已知實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足x>y>0,且x+y<2,則函+ xy的最小值為題型四、基本不等式中多元問(wèn)題的處理多元最值問(wèn)題是最典型的代數(shù)問(wèn)題，代數(shù)問(wèn)題要注重結(jié)構(gòu)的觀察和變形，變形恰當(dāng)后，直接可以構(gòu)造幾何意義也可以使問(wèn)題明朗化，具體歸納如下：（1）多元最值首選消元： 三元問(wèn)題一二元問(wèn)題一一元問(wèn)題.（2）

8、二元最值考查頻率高，解決策略如下：策略一：消元.策略二：不好消元一一用基本不等式及其變形式，線(xiàn)性規(guī)劃，三角換元.（3）多元問(wèn)題不好消元的時(shí)候可以減元，常見(jiàn)的減元策略：策略一：齊次式一一同 除減元.策略二：整體思想一一代入消元或者減元.例8、（2019南京、鹽城一模）若正實(shí)數(shù)a, b, c滿(mǎn)足ab= a+2b, abc = a+2b+c,則c的最大值為 .例9、（2018南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)）已知a, b, c均為正數(shù)，且 abc=4（a+ b）,則a + b+c的最小值為.題型五基本不等式的綜合運(yùn)用多變量式子的最值的求解的基本處理策略是“減元”或應(yīng)用基本不等式，其中“減元

9、策略”的常見(jiàn)方法有：通過(guò)消元以達(dá)到減少變量的個(gè)數(shù)，從而利用函數(shù)法或方程有解的條件來(lái)研究問(wèn)題；通過(guò)“合并變?cè)币源鷵Q的方式來(lái)達(dá)到“減元”，一般地，關(guān)于多變?cè)摹褒R次式”多用此法.而應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要緊緊抓住“和”與“積”的關(guān)系來(lái)進(jìn)行處理，為了凸現(xiàn)“和”與“積”的關(guān)系，可以通過(guò)換元的方法來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題的表現(xiàn)形式，從而達(dá)到更易處理的目的，例10、（2018揚(yáng)州期末）已知正實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足5x2+ 4xy y2= 1,則12x2+8xy y2的最小值為.例11、（2018南京、鹽城一模）若不等式ksin 2B+sin Asin C>19sin Bsin C對(duì)任意 ABC都成立，則實(shí)數(shù) k的最

10、小值為.2 31、（2018辦錫吊鎮(zhèn)倜研）已知a>0, b>0 ,且a + b=yOb,則ab的取小值是 .2、（2017蘇北四市一模）已知正數(shù)a, b滿(mǎn)足+ 9=麗一5,則ab的最小值為a b3、（2019鎮(zhèn)江期末）已知x>0, y>0, x+y = ； +，則x + y的最小值為 .1 14、（2019蘇北二市期末）已知a>0, b>0,且a+3b=丘3，則b的最大值為 .5、（2018蘇州期末）已知正實(shí)數(shù)a, b, c滿(mǎn)足1+ ；=1, -4- + -=1,則c的取值范圍是a b a + b c6、（2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）已知關(guān)于x的不等式a

11、x2+bx + c>0（a ,b,cCR）的解集為x3<x<4,c2 5 .一一則的最小值為a+ b7、（2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二）已知正實(shí)數(shù)2a1a, b滿(mǎn)足a+b=1,則2a1 a2b2 4b的最小值為2Q 118、（2018蘇錫常鎮(zhèn)倜研（二）已知a, b為正實(shí)數(shù)，且a b 4（ab）3,則一一的最小值為 . a b9、（2017無(wú)錫期末） 已知a>0, b>0, c>2,且a+b=2,則ac十三=十二月的最小值為 b ab 2 c- 24110、（2017蘇州期末）已知正數(shù)x, y滿(mǎn)足x + y=1,則示 的最小值為 11、 （2016蘇州期末）已知a

12、b=；, a, be （0,1）,則十丁1的最小值為41 a 1 b12、（2016徐州、連云港、宿遷三檢）已知對(duì)滿(mǎn)足x+y+4=2xy的任意正實(shí)數(shù)x, y,都有x2+2xy + y2ax ay+1 >0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .13、（ 2016蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)）若實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足x2 4xy+4y2+4x2y2=4,則當(dāng)x+2y取得最大值時(shí)，x的值為.2一 1 ,，一,14、（2016泰州期末） 若正實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足（2xy1） =（5y+2）（ y 2）,則x+藥的最大值為 .15、（2016蘇北四市期末）已知正數(shù)a, b, c滿(mǎn)足b+c>a,則b + 1的最小值為c a+ b

13、22 一x 2y.16、（2016南東二模）右頭數(shù) x, y滿(mǎn)足2x + xy y =1,貝U 2_0 2的取大值為 5x 2xy I 2 y1、【2019年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，p是曲線(xiàn)y x 4(x 0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P到直x線(xiàn)x+y=0的距離的最小值是【答案】4.【解析】設(shè)1 ,則P（x。，）Xo1Xo Xo 一Xo22Xo Xo22、【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè) x 0, y0,x 2y4 ,則(x 1)(2y 1)的最小值為xy【解析】因?yàn)閤所以x3、4、(x 1)(2y 1)xy0, y 0, x 2y2y 4即2xy又因?yàn)?2.0xy1)(2yxy2xy 2

14、y x 1xy2xy 5xy25xy4,2Gx 2y ,xy 2,當(dāng)且僅當(dāng)x 2y2時(shí)取等號(hào)成立.1）91的最小值為9.2【2019年高考浙江卷】若aA.充分不必要條件C.充分必要條件【解析】當(dāng)a > 0, b> 0時(shí)2 Jab a b 4 ,解得 ab當(dāng)a=1, b=4時(shí)，滿(mǎn)足ab 4的充分不必要條件.【2018年高考天津卷文數(shù)】（?0,b0,則B.D.a b 4 " 是“ab 4 ” 的()必要不充分條件既不充分也不必要條件b 2屈當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào)4 ,充分性成立;但此時(shí)a+b =5>4 ,必要性不成立，綜上所述,2018天津文科）已知 a, b R ,且

15、a 3b 6"a b0,則a b 4時(shí)，有4”2a1F的最小值 8b【解析】由？0 ? ?= ?可知？ ？?= -?,且？?+ u= ?聲+ ?，因?yàn)閷?duì)于任意X,?1?>？?亙成立，結(jié)合基本不等式的結(jié)論可得：?+ ?A?x，？?x?= ?xV?=?當(dāng)且僅當(dāng)?1?= ?,即 ?= ?時(shí)等號(hào)成立.?- ?= ?= -? ?綜上可得?+ ?御最小值為?【名師點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要靈活運(yùn)用以下兩個(gè)公式：a,b R,a2 b2 2ab ,當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào)；a,b R , a b 2而，當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào).解題時(shí)要注意公式的適用條件、等號(hào)成立的條件，同時(shí)求最值時(shí)注意“1

16、的妙用”.5、【2018年高考江蘇卷】在 4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c, ABC 120,ABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D,且BD 1 ,則4a c的最小值為 .【答案】9?【解析】由題意可知，T?=? ?"? ?么?曲角平分線(xiàn)性質(zhì)和二角形面積公式得-?x ?x ?>< ?x ?牝簡(jiǎn)得? ?+ ?+ ?= ?因此？+ ?= (?+ ?(-?+ ? = ?+ ?+ ?> ?+ ? v?-?= ?, ? ?當(dāng)且僅當(dāng)？?= ?= ?寸取等號(hào)，則?+ ?的最小值為？6、【2017年高考江蘇卷】某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)X噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年

17、的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則 x的值是.【答案】30【解析】總費(fèi)用為4x 600 6 4(x 900) 4 2900 240 ,當(dāng)且僅當(dāng)x 900 ,即x 30時(shí)等 XXx號(hào)成立.一、三個(gè)不等式關(guān)系：(1) a, bCR, a2+ b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).(2) a, bCRT, a+b>2Vab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).22a=b時(shí)取等(3) a, bCR,葛(亨)2,當(dāng)且僅當(dāng)上述三個(gè)不等關(guān)系揭示了a2+b2 , aba+b三者間的不等關(guān)系., a+b） .一，一 ,，一 一一其中，基本不等式及其變形： a, bCR+a+b>

18、;2y0b（或abw （一廠(chǎng)）,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等3，所可求和的最值.以當(dāng)和為定值時(shí)，可求積的最值；當(dāng)積為定值是, 二、.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a+ b設(shè)a>0, b>0,則a, b的算術(shù)平均數(shù)為ayb,幾何平均數(shù)為相,基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).三、.利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0, y>0,則（1）如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x = y時(shí)，x+y有最小值是2yp.（簡(jiǎn)記：積定和最小）2（2）如果和x + y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是4.（簡(jiǎn)記：和定積最大）四、對(duì)于 f （x） =x+ a, x當(dāng) aW0

19、 時(shí)，f （x）在（一8, 0）, （0, +8）為增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，f （x）在（一00, ya）, （4a, +oo）為增函數(shù)；在（乖,0）, （0,寸a）為減函數(shù).a注意 在解答題中利用函數(shù) f（x） =x+a的單調(diào)性時(shí)，需要利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.x五、利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：（1）對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等.（2）條件變形，進(jìn)行“ 1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值.在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”（即條

20、件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值 ）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.六、對(duì)于多元問(wèn)題的不等式的基本解題思路就是把多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題。題型一運(yùn)用消參法解決基本不等式中的最值問(wèn)題消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問(wèn)題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解 .解題過(guò)程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可!y 1 x例1、（2019常州期末）已知正數(shù)x, y滿(mǎn)足x+x=1,則x +盹最小值為【解析】思路分析多元條件等式下的最值問(wèn)題通?？梢钥紤]消元之后利用基本不等式或函數(shù)知識(shí)求解.解法1（直接消元）由 x+ -= 1 得 y= x

21、x2,故_+一 = _+ xx y xx x1 -xx (1 x)1x+ 1 -x 2-4 *,2-當(dāng)且僅當(dāng)x = 1 x,即11 xx=2時(shí)取'= 故x + y的最小值為4.解法2（直接消元）由 x+ y= 1 得y = 1 x,故 1+x = 1+1， 一八，r以下同解法1.解法3（消元，分離常數(shù)湊定值）同解法/口 1 x 11，2 得x + y=x +11x+x1 -x=2+1 x x4,當(dāng)且僅當(dāng)，即1 x.故一+一的最小值為4. x y例2、（2017蘇北四市期末）41右實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足xy+3x=3 0vxv2的最小值為1【解析】解法1因?yàn)閷?shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足xy+3x= 3 0

22、vx<2 ,所以y = 3-3(y>3),x31所以x +壬=y+3+y3=y-3+y3+6>2v y-3 .口+ 6=8,當(dāng)且僅當(dāng)y3=占,即y33=4時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=-,所以- 十 /x的最小值為8.1解法2因?yàn)閷?shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足xy + 3x=3 0<x<2,所以 y = x-3(y >3)所以 3 + =3 + ;=36 + :+6>2 x y-3 x 3 x 3x- 6x-636 x1+6=83一一6x3當(dāng)且僅當(dāng)一 一6 =x13廠(chǎng)，即x= 廠(chǎng)6湊的過(guò)程【答案】（一8, 9min.【解析】nn< x+ y恒成立，m< （x + y

23、）解法（“1”的代換）因?yàn)閤y 是正實(shí)數(shù)，由 x+4y xy = 0, #x+-= 1, x + y=(x+y) - - + y4yxx4y x+ y + 5>2' y + 5 = 9,當(dāng)且僅當(dāng)x=6, y=3時(shí)，等號(hào)成立，即x+y的最小值是9,故m<9.例4、（ 2019年蘇州學(xué)情調(diào)研）若正實(shí)數(shù)4的最小值是y因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x4 (x y)4x42 y 4x 4 x y一， V 4x -8 ,當(dāng)且僅當(dāng)-，即y 2x ,x y13,yy 4取得最小值8.x y例5、（ 2013徐州、宿遷三檢）1 +2a + b1 ,則a + 2b的最小值為解析：由已知等式得2a2b2a

24、b2ab2b2 12ba 2b b b2 12b2b3b 12 2b花金日/± 2 3 + 1,故有取小值 2題型三、運(yùn)用雙換元解決基本不等式中的最值問(wèn)題若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的 分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系。41例6、（2017蘇州期末）已知正數(shù)x, y滿(mǎn)足x + y=1,則'花+用的最小值為【解析】 解法 1 令 x+2= a, y+1 = b，則 a+b= 4(a>2, b> 1) , g+b=z( a+b) g+b =4b5+7+L>彳（5+4）=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=即x=-

25、, y =.時(shí)取等號(hào)443333例7、（2015蘇錫常鎮(zhèn)、宿遷一調(diào)）21已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x>y>0,且x+yW2,則石十的最小值為3nx + 3y = m4 '【解析】設(shè)解得x-y= n.m- ny二 丁.m+ n 所以 x+y = 2<2,r_2即 m+ nw4.Tt = x + 3y+1x-y2n m3+2. 22n mm+ n，所以4t> m n（班什3 +而+產(chǎn)3+2*即2，當(dāng)且僅當(dāng)即=，即連5n時(shí)取等號(hào)- 解后反思 本題所給條件為 x, y的和的不等式，所求的為與 x, y相關(guān)的倒數(shù)和最值問(wèn)題，可以先對(duì)分母進(jìn)行還原處理后，再結(jié)合“ 1”的代換技巧來(lái)處

26、理，這里要說(shuō)明的時(shí)候條件“x+yW2”改為“ x + y=2”答案不會(huì)變化.題型四、基本不等式中多元問(wèn)題的處理多元最值問(wèn)題是最典型的代數(shù)問(wèn)題，代數(shù)問(wèn)題要注重結(jié)構(gòu)的觀察和變形，變形恰當(dāng)后，直接可以構(gòu)造幾何意義也可以使問(wèn)題明朗化，具體歸納如下：（1）多元最值首選消元：三元問(wèn)題一二元問(wèn)題一一元問(wèn)題.（2）二元最值考查頻率高，解決策略如下：策略一：消元.策略二：不好消元一一用基本不等式及其變形式，線(xiàn)性規(guī)劃，三角換元.（3）多元問(wèn)題不好消元的時(shí)候可以減元，常見(jiàn)的減元策略：策略一：齊次式一一同除減元.策略二：整體思想一一代入消元或者減元.例8、（2019南京、鹽城一模） 若正實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足ab = a

27、+2b, abc= a+2b+c,則c的最大值為 .【答案】7【解析】思路分析1注意到求c的最大值，所以將參數(shù) c進(jìn)行分離，為此，可以利用abc=a+2b +c進(jìn)行分離得 c=a:p2b =1十:一;，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 a+2b的最小值；ab 1 a+2b1a+2b1思路分析2結(jié)合abc= a+2b+c與ab = a+2b化簡(jiǎn)得abc = ab+c來(lái)進(jìn)行分離得 c= 1 + J ，ab 1 ab 1進(jìn)而求ab的最小值.思路分析3由于所求解的c與a, b有關(guān)，而a, b不對(duì)稱(chēng)，因此，將2b看作一個(gè)整體，則它與 a就是對(duì)稱(chēng)的，根據(jù)對(duì)稱(chēng)原理可以猜想得到問(wèn)題的答案.解法 1 由 abc= a+2b

28、+ c 得，c = = = 0= 1 H二:一由 ab= a+2b 得，： + ?= 1,所以 ab1 a+2b1a+2b1ba1 , 2 a 4ba 4b,8a+ 2b= (a + 2b) b+占=4 + b+0->4+2/b = 4+4= 8,故 c<7.ab1.解法 2 因?yàn)?abc=a + 2b+c, ab = a+2b,所以 abc=ab+c,故 c = 0b-1 = 1 +"ab-1,由 ab=a+2b11利用基本不等式得 ab>2 Tab,故ab>8,當(dāng)且僅當(dāng) a= 4, b = 2時(shí)等號(hào)成立，故 c= 1 +而口<1+8 =87.11“一

29、解法3(對(duì)等性猜測(cè))因?yàn)橐阎獥l件可以改寫(xiě)為 2 - a - 2b=a+2b, 2 a - 2b c=a+2b + c”，故a與2b對(duì)等，不妨設(shè) a=2b,解得a=2b=4, c= 7,故c的最大值為?.例9、(2018南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))已知a, b, c均為正數(shù)，且abc=4(a + b),則a+ b+c的最小值為.【答案】.8【解析】由a, b, c均為正數(shù)，abc=4（a + b）,得c =+：代入得 a b4 4a + b+ c=a+b+一+- = a ba+4 +a4b+ - > b4a4，一，-7=8,當(dāng)且僅當(dāng)a = b=2時(shí)，等號(hào)成立，所以 ba+

30、b+ c的最小值為8.題型五基本不等式的綜合運(yùn)用多變量式子的最值的求解的基本處理策略是“減元”或應(yīng)用基本不等式，其中“減元策略”的常見(jiàn)方法有：通過(guò)消元以達(dá)到減少變量的個(gè)數(shù)，從而利用函數(shù)法或方程有解的條件來(lái)研究問(wèn)題；通過(guò)“合并變?cè)币源鷵Q的方式來(lái)達(dá)到“減元”，一般地，關(guān)于多變?cè)摹褒R次式”多用此法.而應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要緊緊抓住“和”與“積”的關(guān)系來(lái)進(jìn)行處理，為了凸現(xiàn)“和”與“積”的關(guān)系，可以通過(guò)換元的方法來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題的表現(xiàn)形式，從而達(dá)到更易處理的目的，例10、（2018揚(yáng)州期末）已知正實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足5x2+ 4xy y2= 1,則12x2+8xy y2的最小值為由此可得(5x y)(x

31、+ y) = 1,解法1（雙變量換元）因?yàn)閤>0, y>0,且滿(mǎn)足5x2+4xy y2=1,人 - 八, u + v 5v-u 小、一 2 一令 u = 5xy, v = x+y,則有 u>0, v>0, uv=1,并且 x = -6-, y=6-,代入 12x+8xy2 u + v 2 u+v-y=12 丁 +8- 丁5vu5vuu2 + 9v2 + 22uv 24u2 9v2+22uv 28uvR '=1212122% 1:3, 當(dāng)且僅當(dāng) u = 3v, uv=1,即 u =/，丫 =當(dāng)，亦即 x=9' 丫=當(dāng)時(shí)'12x2+8xyy2取得最小

32、值7.3解法2(常數(shù)1的代換)因?yàn)閤>0,y>0,且滿(mǎn)足5x2+4xyy2= 1,由此可得(5x y)(x +y) = 1,因?yàn)?x>0, y>0, x + y>0,所以 5x y>0,即有 0<y<5,令1=；，貝0<t<5 ,所以 12x2+ 8xy 12x2+8xy y21;12x2+ 8xy y27x2+ 4xy5x2+ 4xy y21 + 5x2 + 4xy y27 + 4 - yx1 += 1 +5+4 y- y 2x x4t+7-t2+4t +5.再令f(t)令 f' (t)0<t<5 ,所以當(dāng)t e

33、 0所以當(dāng)t=2?4t+7 1+t2+4t+5 6t<5)4-5)I4"%-=2(2tJ(t+42 =0 因?yàn)?t2+ 4t+5)2( t2 + 4t+5) 20，刀11,2時(shí)，f' (t)<0 , f(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t e萬(wàn)，5時(shí)，f' (t)>0 , f(t)單調(diào)遞增,f(t)取極小值，也是最小值f 2 =7. 33此時(shí) x = 2y,結(jié)合 5x2+4xy y2=1,解彳3 x：293, y = 13,即當(dāng) x=293, y=33時(shí)，12x2+ 8xy-y2取得最小值7.3解法 3(基本不等式)因?yàn)?x>0, y>0,設(shè) u>

34、0, v>0,貝U ux2+ vy2> 2uvxy.12x 2+ 8xy y2 > 12x2+ 8xy y2+(2 Vuvxy ux2 vy2),即 12x2+8xy y2>(12 u)x2+(8 + 2/uv)xy - (v +1)y 2.令(12 u)x2+ (8 + 2/UV)xy (v +1)y2= t(5x 2+4xy y2) = t，則 12u = 5t , 8 + 2/UV =4t , v+ 1 =t ,解得 t =, u=!， 334 v=3.例11、（2018南京、鹽城一模）若不等式.2ksin B+ sin Asin C>19sin Bsin

35、C對(duì)任息 ABC都成立,則實(shí)數(shù)k的最小值為【答案】100【解析】思路分析本題首先用正弦定理將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為邊，然后再利用三角形中的邊的不等關(guān)系,元后轉(zhuǎn)化為二元問(wèn)題研究.二元問(wèn)題的最值問(wèn)題，可以用基本不等式來(lái)處理.解法1（函數(shù)的最值）因?yàn)閗sin2B+ sin Asin C>19sin Bsin C,所以由正弦te理可得kb2 + ac>19bc,19bc ac, k>一.因?yàn)?ABC為任意三角形,所以 a>|b -c| ,即19bcac 19bc b2|b - c|c bc+ 18bc0V 1b2+20bc b>1., c , c當(dāng)0<【W(wǎng)1時(shí)，-bb+ 1

36、8 c <19; b '2 + 20 bw 100,19bc |b c|cb2的最大值為100,所以k>100,即實(shí)數(shù)k的最小值為100.解法2（基本不等式）因?yàn)閗sin2B+ sin Asin C>19sin Bsin C,所以由正弦定理可得kb2 + ac>19bc,19bc ac _ 19bc ack>Fa 19b一. . c a 一 c.因?yàn)閏<a+b，所以b<1 + H即ba 19- ba1+La 19-ba 19- b= 100（要求最大值,a , a a l19b至少大于0) .當(dāng)且僅當(dāng)1 + b=19 b,即b=9時(shí)取等1、（2

37、018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知a>0, b>0 ,且；+： = 4而，則ab的最小值是【解析】思路分析 利用基本不等式，化和的形式為積的形式.2 32 32因?yàn)椋?b=+1> 2 I-所以ab>2 -J6,當(dāng)且僅當(dāng)一= a ba ba2、（2017蘇北四市一模）已知正數(shù)a, b滿(mǎn)足a+b=，Ob5,ab的最小值為【解析】 思路分析注意到條件中有 a, b的和形式，又有a,b的乘積形式，而所求的結(jié)論與積有關(guān),ab的取值范圍，從而求得它的最小值.因此，應(yīng)用基本不等式將“和”轉(zhuǎn)化為“積”，通過(guò)解不等式來(lái)求得因?yàn)檎龜?shù)a, b滿(mǎn)足；+看=啊一5,所以刷一5a2、,當(dāng)且僅當(dāng)9a=b時(shí)等號(hào)

38、成立，即ab氣回 -6>0,解得 yOb>6 或qObw 1（舍去），因此 ab>36,從而（ab）min=36.3、（2019鎮(zhèn)江期末）已知x>0, y>0, x + y=X+4,則x+y的最小值為 .【答案】3【解析】思路分析本題既可用權(quán)方和不等式也可運(yùn)用“ 1”的代換求解.12 22( 1 + 2) 2m行心解法1因?yàn)閤>0, y>0,所以x + y=i+y>，得x + y>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y = 2時(shí)取等解法 2 x +y = M (x+ y) 21 4(x+y) -F - x y5 + x + "y >、5 +

39、 2V4 = 3 , 當(dāng)且僅當(dāng)； = 即 x=1, y = 2時(shí)取等號(hào). 一1 1 ，一，4、（2019蘇北三市期末）已知a>0, b>0,且a+3b = b-?則b的最大值為 1 11111【解析】由升如=丁a，得不3b=a+a.又a。，所以b一如二h二當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)）, 即1 3b>2,又b>0,解得0<bw工，所以b的最大值為3.b335、（2018蘇州期末）已知正實(shí)數(shù)a, b, c滿(mǎn)足1 + 1=1, 工+1=1,則c的取值范圍是.a b a + b c-4【答案】1, 43【解析】思路分析 由第二個(gè)等式知，要求出c的取值范圍，只要先求出a+b的取

40、值范圍，而這可由第一個(gè)等式求得.解法 1 因?yàn)?a+b=（a+b）+；=2 + a + bC4, 十°°） 所以- e 0,；,a b b aa+b 41134從而c=1 壬e 1，得 CC 1，3 .ab1解法 2 由題兩等式得 ab= a+ b, c+ （a +b） = c（a + b）,所以 c+ ab= c（ab）,即 c= ab一1 = 1 +ab一1 因?yàn)?ab= a + b>2 *Jab,所以 ab>4,所以 c= 1 + J 1,三.aab 136、（2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）已知關(guān)于x 的不等式 ax2+bx+c>0(a , b,

41、c R)的解集為x|3<x<4,c2+ 5a+ b的最小值為【答案】.4 ,5【解析】思路分析先根據(jù)一元二次不等式的解集，確定a<0,以及a,一 C2+5c的關(guān)系，再將所求二5運(yùn)a+ b用消元法，統(tǒng)一成單變量a的函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用基本不等式求最值.依題意得a<0,且3和4是方程ax2+bx + c=0的兩根，即所以c2+5144a2+5144a2+5a+ba 7a則c5+ -6a= 475,當(dāng)且僅當(dāng) 144a2b= 7a, c = 12a,=5,即 a= 一等號(hào)，所以所求最小值為2b2 4b的最小值為2a2 12b2 4b2a12(a b)(- a：)(ab)4a3時(shí)取23

42、2a2”，所以2a2b2b4 ，一，一4的最小值為11.8、（2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二）已知a, b為正實(shí)數(shù),2b 4(ab)則1 a【解析】解題過(guò)程：因?yàn)椋╝ b）2 （a b）2 4ab34(ab)4ab ,所以(1ab)(a b)2ab4(ab)3 4ab(ab)24 4abab1 25當(dāng)且僅當(dāng)ab 1(a b了4,即1時(shí)取得等號(hào)，所以11 ，的最小值為 b2 2.9、(2017無(wú)錫期末）已知a>0,b>0, c>2,且 a+ b= 2,則ac+ab害的最小值為4 5.2a 17、（2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二）已知正實(shí)數(shù)a, b滿(mǎn)足a+b=1,則一aa【答案】.11【解析

43、】思路分析：由于目標(biāo)式比較復(fù)雜，不能直接求最小值，需要對(duì)該式子進(jìn)行變形，配湊出使用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，然后利用基本不等式求解【答案】匹+乖【解析】思路分析 根據(jù)目標(biāo)式的特征，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，利用基本不等式知識(shí)求解.日a c c a 11 aa+ b 2 1 a因?yàn)?a>0, b>0,所以b+痛 2=b+o-2=b+a21-2=*2哼當(dāng)且僅當(dāng)b=V5a時(shí)等號(hào)成立.又因?yàn)閏2,由不等式的性質(zhì)可得ac cc , .152+c-2哥士 1+gc+*. b ab 2 c- 2 2 c-2又因?yàn)楫?dāng)c+¥2=.c2）+ *+，5網(wǎng)+小，當(dāng)且僅當(dāng)c=2+q2時(shí)等號(hào)成立.所

44、以當(dāng)十捻、的最小值為 木0+，5.b ab 2 c 2，%10、(2017蘇州期末)已知正數(shù) x, y滿(mǎn)足x+y=1,則二=十3r的最小值為 x + 2 y + 1【答案】.9 4【解析】 解法 1 令 x+2=a, y+1 = b,貝Ua+b=4(a>2, b>1),，+ !=(a+b)，+!=5 + + a b 4 a b 4 a b>7(5 +4) =9,當(dāng)且僅當(dāng)a=8, b=22 4-4a 24a14J2 ，r 4-4a 24a1 、T)( 口a+4a%)= 2+34a“+r修2+U-，當(dāng)且僅當(dāng) 初=不了時(shí)等號(hào)成立，,即x=2, y = 1時(shí)取等號(hào). 443333 4

45、141221212 29解法 2 ( 帚平均不等式)ia=x+2, b=y+1, 則,產(chǎn)_+匚=一+工一工7.x x+2y+1 ababa+b4414 1 a+ b a+ b 5 b a 9解法 3 (常數(shù)代換)設(shè) a=x+2, b=y+1,則才2 + y77 =a+b=-a-+b = 4+ a +而>4,當(dāng)且僅當(dāng)a= 2b時(shí)取等號(hào).11、 （2016蘇州期末）已知ab=1, a, bC（0,1）,則了工的最小值為 4a b【答案】4 ,23【解析】思路分析兩元問(wèn)題通?；癁橐辉獑?wèn)題，先嘗試消去一個(gè)變量.18a1_2_1 a+ 4a 1 1 a+ 4a 1 +所以最小值為4 ,23解法22

46、a+ 11 a 4a 1,令 2a+ 1 = x,由題意得b=所以。=；1，即aC（；, 1）,消去b,得丁=十一工=4a4a41 a 1 b2.12421解法 1 若注意到 4(1 a) + (4a1) =3,記 S= + 4；-,則 S= 4；+_ = X(4 4a)+(4aI a 4a i4 4a 4a i 3原式=2x2x2+9x9-2x-9+9x以下同解法1.12、（2016徐州、連云港、宿遷三檢）已知對(duì)滿(mǎn)足x+y+4=2xy的任意正實(shí)數(shù) x, y,都有x2+2xy + y2- ax- ay+1 >0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答案】OO,【解析】思路分析 不等式x2+ 2xy+

47、 y2-ax -ay+1 >0的構(gòu)造比較特殊，可以化為關(guān)于x+y的不等式, 再根據(jù)不等式及 x+y+4= 2xy求出x+y的范圍即可.2 一，,一x + y-對(duì)于正實(shí)數(shù) x, y,由 x+ y+4=2xy 得 x+y+4=2xy<一2,解得 x+y>4,不等式 x2 + 2xy+y2-ax-ay+1 >o 可化為(x+y)2a(x + y)+ 1>0,令t=x+y（t>4）,則該不等式可化為 t2-at + 1>0,即awt+；對(duì)于任意的t >4恒成立,.1- ，1 t 1, . _,1,、, 一，1令u(t)=t+1(t>4),則u (t

48、) = 13=t>0對(duì)于任意的t >4恒成立，從而函數(shù)u(t) =t+j(t>4),、一，1 17 一 117為單倜遞增函數(shù)，所以 U（t）min=U（4） =4 + 4=4,于是aW4.13、（2016蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)）若實(shí)數(shù) x, y滿(mǎn)足x24xy + 4y2+4x2y2=4,則當(dāng)x+2y取得最大值時(shí)，x的 值為.【答案】2【解析】思路分析 設(shè)x= a, 2y=b,則問(wèn)題變簡(jiǎn)單了.設(shè)*=2,2丫=3 則實(shí)數(shù) a, b 滿(mǎn)足（a b）2+（ab）2= 4.因?yàn)椋╝+b）2=（ab）2+4ab = 4（ab）2+4ab=8（ab2） 2<8,x當(dāng)且僅當(dāng)a=b=W時(shí)，a+b取取大值2星,此時(shí)x = 2y,所以y=2.解后反思 作換元變換x=a,2y = b，得（ab）2+（ab）2=4后，猜都可以猜出答案了.常用恒等式（a+b）2=（a b）2+4ab.更好看的解法：由（a b）2+（ab）2= 4,得（a+b）2+（ab2）2=8.當(dāng)a+b取最大值2m時(shí)，ab=2,此時(shí)a=b = 2. c.1 . .14、（2016泰州期末） 若正實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足（2xy1）2=（5y+2）（ y2）,則x +1的最大值為 .3 ,2【解析】思路分析 處理雙元最值問(wèn)題，常用消元法或整體法，也可以構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為方程有解去處理.如本題，思考方向一，可以設(shè)x + 2