二次函數(shù)專題

1、專題六 二次函數(shù)中存在性問題（1）二次函數(shù)中存在性問題是中考必考內(nèi)容，主要與幾何圖形結(jié)合起來考查，且都以解答題形式出現(xiàn)，分值12分預(yù)計(jì)2017年中考對二次函數(shù)存在性問題仍會考查，且涉及到的內(nèi)容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面積最值、特殊四邊形等存在性問題 相似三角形存在性問題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例1】如圖，已知拋物線經(jīng)過A(2，0)，B(3，3)及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMx軸，垂足為點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A

2、為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解：(1)；yx2 2x(2)當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，DEAO，DEAO，由A(2，0)知：DEAO2, 若D在對稱軸直線x1左側(cè)，則D橫坐標(biāo)為3，代入拋物線表達(dá)式得D1(3，3), 若D在對稱軸直線x1右側(cè)， 則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線表達(dá)式得D2(1，3). 綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，3)或(1，3)；(3)存在理由如下：B(3，3)，C(1，1), 得：BO218，CO22，BC2 20, BO2CO2BC2 , BOC是直角三角形， 假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似， 設(shè)P(x，y)，由題

3、意知x0，y0，且yx2 2x, 。 若 ，則 ， 即 ，得：x1，x22(舍去). 當(dāng)x時(shí)，y，即P(，)；若 ，則 ， 即 ， 得：x13，x22(舍去)，當(dāng)x3時(shí)，y15，即P(3，15). 故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是(，)或(3，15) 1(2017預(yù)測)如圖，已知拋物線yax2bxc的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，)，與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，與x軸交于點(diǎn)A，B(A在B的左側(cè))(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若過點(diǎn)A的直線l平分ABC的面積，求直線l的表達(dá)式；(3)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動速度為每秒2個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)Q從B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動速度為每秒1個(gè)單位，連接

4、PQ，運(yùn)動時(shí)間為t.當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)立即停止運(yùn)動求當(dāng)PBQ與ABC相似時(shí)t的值 解：(1) yx2x3(2)令yx2x30，解得x12，x24，點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(4，0)設(shè)BC的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，)直線l過點(diǎn)A，且平分ABC的面積，直線l過點(diǎn)A和點(diǎn)E，設(shè)直線l的表達(dá)式為ykxb，將點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)E(2，)代入得， 解得 直線l的表達(dá)式為yx；(3)A(2，0)，B(4，0)，C(0，3)，AB6，BC5.點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒1個(gè)單位，BP ，BQ PBQABC， 若 ，則 ，解得t ； 若 ，則 ，解得t 綜上所述，PBQ與AB

5、C相似時(shí)，t的值為或.選作題如圖，拋物線yx2x2交x軸于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到FEC，連接BF.(1)求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求BCF的面積；(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 等腰三角形存在性問題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例2】如圖，已知直線y3x3分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，拋物線yx2bxc經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)(與A點(diǎn)不重合)(1)求拋物線的表達(dá)式

6、； (2)求ABC的面積；(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)解：(1)拋物線表達(dá)式為yx22x3；(2)SABCAC·OB×4×36；(3)存在，理由如下：拋物線的對稱軸為直線x1，假設(shè)存在M(1，m)滿足題意，討論：當(dāng)MAAB時(shí)， ，解得m ，M1(1， )，M2(1， )；當(dāng)MBBA時(shí)， ，解得m10，m26，M3(1，0)，M4(1，6)(不符合題意舍去)；當(dāng)MAMB時(shí)， ，解得m1，M5(1，1)，故共存在4個(gè)點(diǎn)M1(1，)，M2(1，)，M3(1，0)，M5(1，1)使ABM為等腰三

7、角形 直角三角形存在性問題【經(jīng)典導(dǎo)例】 如圖，拋物線yax2bx4a經(jīng)過A(1，0)，C(0，4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)D(m，m1)在第一象限的拋物線上，連接CD，BD，把BCD沿BC折疊，求點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)；在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得DDP是以DD為一直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由x_k_b_1 解：(1)yx23x4；(2)如圖，將點(diǎn)D(m，m1)代入yx23x4中，得： ，化簡得： ，解得m11(舍去)，m23；D(3，4)，CDx軸，DCO90°，由B(4，0)，C(0，4)可得：OBOC4，即

8、OBC是等腰直角三角形，得：OCBDCB45°；把BCD沿BC折疊，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)D落在y軸上，且CDCD3，ODOCCD1，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)；存在滿足條件的點(diǎn)P. 如圖，過D作DEBC交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)P1.DDBC，DDP190°，ODE為等腰直角三角形，則E(1，0)，設(shè)直線DE的表達(dá)式為yk1xb1，依題意得 解得 直線DE的表達(dá)式為yx1.,由 得 ，P1 過D作DFBC交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)P2.DDBC，DDDF，DDP290°，CDF為等腰直角三角形，則F(0，7)，設(shè)直線DF的表達(dá)式為yk2xb2，直線DF的表達(dá)式為yx7.由得

9、(不符合題意舍去)故在拋物線上存在點(diǎn)P，使得DDP是以DD為一直角邊的直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ，)或( ，)或(1，6)如圖，拋物線yx2mxn與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對稱軸與x軸的交點(diǎn)為D，已知A(1，0)，C(0，2)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)判斷ACD的形狀，并說明理由；(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 解：(1)拋物線的表達(dá)式為yx2x2；(2)ACD是等腰三角形，理由如下：拋物線yx2x2的對稱軸為直線x，點(diǎn)D(，0)A(1，0)，C(0，2)，AC ，AD1，CD ，AD

10、CDAC，ACD是等腰三角形；(3)存在令拋物線yx2x20，得x11，x24，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，則BC ，如圖，取BC的中點(diǎn)為S，則點(diǎn)S的坐標(biāo)為(2，1)設(shè)對稱軸上存在點(diǎn)P(，t)，使得PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則PSBC ，即(2)2(t1)25，解得t11，t21，存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，其坐標(biāo)為(，1)或(，1)專題六 二次函數(shù)中存在性問題（2）二次函數(shù)中存在性問題是中考必考內(nèi)容，主要與幾何圖形結(jié)合起來考查，且都以解答題形式出現(xiàn)，分值12分預(yù)計(jì)2017年中考對二次函數(shù)存在性問題仍會考查，且涉及到的內(nèi)容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面積最值、特殊四邊形等存在性

11、問題 面積最值存在性問題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例4】如圖，拋物線yax2bx與直線AB交于點(diǎn)A(1，0)，B(4，)點(diǎn)D是拋物線A，B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD. (1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)解：(1)拋物線的表達(dá)式為yx22x；(2)設(shè)直線AB為ykxb，則有 解得 ，yx.則D(m，m22m)，C(m，m)，CD(m22m)(m)m2m2.S(m1)·CD(4m)·CD×5×CD×5&

12、#215;(m2m2)m2m5.<0，拋物線開口向下故當(dāng)m時(shí)，S有最大值當(dāng)m時(shí)，m×，點(diǎn)C(，)當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，) 5如圖，已知拋物線yx2 bxc經(jīng)過A(3，0)，B(0，3)兩點(diǎn)(1)求此拋物線的表達(dá)式和直線AB的表達(dá)式；(2)如圖，動點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/s的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)，動點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以個(gè)單位/s的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，連接EF，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t s，當(dāng)t為何值時(shí)，AEF為直角三角形？(3)如圖，取一根橡皮筋兩端點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖

13、P在直線AB上方的拋物線上移動，動點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由 解：(1)直線AB的表達(dá)式為yx3，拋物線的表達(dá)式為yx22x3；(2)OAOB3，BOA90°，EAF45°，設(shè)運(yùn)動時(shí)間t s，則AFt，AE3t；()當(dāng)EFA90°時(shí)，在RtEAF中，cos45°= = 即 .解得t1.()當(dāng)FEA90°時(shí)，在RtAEF中，cos45°= = ，即 .解得t.綜上所述，當(dāng)t1或t時(shí)，AEF是直角三角形；(3) 特殊

14、四邊形存在性問題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例5】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，矩形OABC的邊長OA，OC分別為12 cm，6 cm，點(diǎn)A，C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)A，B，且18ac0. (1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以1 cm/s的速度向終點(diǎn)B移動，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以2 cm/s的速度向終點(diǎn)C移動；移動開始后第t s時(shí)，設(shè)PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；當(dāng)S取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P，B，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明

15、理由解：(1)由題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，12)，c12，又18ac0，a，ABOC且ABOC6，拋物線的對稱軸是直線x3，x3，b4，拋物線的表達(dá)式為yx24x12；(2)由題意得APt，PB6t，QB2t，SPB·BQ×(6t)×2tt26t，t的取值范圍：0<t<6；St26t(t3)29，當(dāng)t3時(shí)，S取最大值為9，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，12)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(6，6)，若以P，B，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，有以下三種情況：()當(dāng)以PB為對角線時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為( ， )，代入拋物線的表達(dá)式中，滿足表達(dá)式，所以存在，點(diǎn)R的坐標(biāo)就是( ， )；(

16、)當(dāng)以PQ為對角線時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為( ， )，代入拋物線的表達(dá)式中，不滿足表達(dá)式，所以點(diǎn)R不滿足條件；()當(dāng)以BQ為對角線時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為( ， )， 代入拋物線的表達(dá)式中， 表達(dá)式，所以點(diǎn)R 綜上所述，點(diǎn)R坐標(biāo)為 6如圖，拋物線經(jīng)過A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P，使PAPC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解：(1)拋物線的表達(dá)式為：yx22x；(2)由題意知，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)

17、B，連接BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求設(shè)直線BC的表達(dá)式為ykxb1，由題意得 解得 直線BC的表達(dá)式為yx.拋物線yx22x的對稱軸是直線x2，當(dāng)x2時(shí)，yx，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，)；(3)存在()當(dāng)存在的點(diǎn)N1在x軸的下方時(shí)，如圖所示四邊形ACN1M1是平行四邊形，CN1x軸，點(diǎn)C與點(diǎn)N1關(guān)于對稱軸直線x2對稱，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)，點(diǎn)N1的坐標(biāo)為(4，)；()當(dāng)存在的點(diǎn)N2在x軸上方時(shí)，如圖所示，作N2Hx軸于點(diǎn)H，四邊形ACM2N2是平行四邊形，ACM2N2，N2M2HCAO，RtCAORtN2M2H，N2HOC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，)，N2H，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，x22x，解得

18、x1 ，x2 ，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N2(2，)或N3(2，)，綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)N共有三個(gè)，分別為N1(4，)，N2( ，)，N3( ，) 7已知拋物線yx2bxc與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(4，0), B(1，0)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)P在拋物線上，連接PC，PB，若PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)已知點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解：(1)把A(4，0)，B(1，0)分別代入yx2bxc，得 解得 yx2x2；(2)由(1)知拋物線的表達(dá)式為yx2x2，令x0，y2C(0，2)，OC2.A(4，0)，B(1，0)，OA4，OB1，AB5，分兩種情況：當(dāng)PCB90°