全等三角形(常見輔助線)用

1、2021/8/141專題學習專題學習 -幾何證明中常見的幾何證明中常見的 “添輔助線添輔助線”方法方法 -“周長問題周長問題”的轉化的轉化2021/8/142連結連結目的目的: :構造構造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形適用情況適用情況: :圖中已經圖中已經存在兩個點存在兩個點A A和和B B語言描述語言描述: :連結連結ABAB注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法2021/8/143連結連結典例典例1: 1:如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.ACBD1. 1.連結連結

2、ACAC構造全等三角形構造全等三角形2. 2.連結連結BDBD構造兩個等腰三角形構造兩個等腰三角形2021/8/144連結連結典例典例2: 2:如圖如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求證求證: :點點M M是是CDCD的中點的中點. .ACBD連結連結ACAC、ADAD構造全等三角形構造全等三角形EM2021/8/145連結連結典例典例3: 3:如圖如圖,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分別是分別是BDBD、CDCD的中點，求證：的中點，求證：AMBAMB ANCANCACBD連結連結ADAD構造全

3、等三角形構造全等三角形NM2021/8/146連結連結典例典例4: 4:如圖如圖,AB,AB與與CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的長的長. .ACBD連結連結BDBD構造全等三角形構造全等三角形O2021/8/147目的目的: :構造構造直角三角形直角三角形, ,得到得到距離相等距離相等適用情況適用情況: :圖中已經圖中已經存在一個點存在一個點A A和和一條線一條線MNMN語言描述語言描述: :過點過點A A作作AHAHMNMN注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明

4、過程中描述添法角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段2021/8/148角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例1: 1:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點求點D D到到ABAB的距離的距離. .ACD過點過點D D作作DEABDEAB構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE2021/8/149角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例2: 2:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C

5、 =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求證求證:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD過點過點D D作作DEABDEAB構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE 思考思考: : (1) (1)若若AB=15cm,AB=15cm,則則BEDBED的周長是多少的周長是多少? ? (2) (2)能否用截長補短法，在能否用截長補短法，在ABAB上截取上截取AE=ACAE=AC？2021/8/1410角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例3: 3:如圖如圖, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D

6、 =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD過點過點E E作作EFBCEFBC構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BF 思考思考: :1. 1.有沒有其他輔助線的做法有沒有其他輔助線的做法 2. 2.你從本題中還能得到哪些結論你從本題中還能得到哪些結論? ?E2021/8/1411.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例4: 4:如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求證求證:

7、 PD=PE.: PD=PE.ACD過點過點P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BF 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結論你從本題中還能得到哪些結論? ?EPGO2021/8/1412目的目的: :構造構造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等適用情況適用情況: :圖中已經存在圖中已經存在一條線段一條線段MNMN 和和垂直平分線上一個點垂直平分線上一個點X X 語言描述語言描述: :連結連結X XM M和和X XN N注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添

8、法在證明過程中描述添法.垂直平分線上點向兩端連線段垂直平分線上點向兩端連線段2021/8/1413如圖：如圖：PD、PE分別垂直平分線段分別垂直平分線段 AB、BC，則則PA_PCABCPDE2021/8/1414問題問題1:1:在某一鄉(xiāng)村公路在某一鄉(xiāng)村公路L L的同側，有兩個村莊的同側，有兩個村莊A A、B B，為，為了便于兩個村莊的人看病，鄉(xiāng)政府計劃在公路邊上修建了便于兩個村莊的人看病，鄉(xiāng)政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得它到一所醫(yī)院，使得它到兩村莊的距離相等兩村莊的距離相等，試問醫(yī)院的院，試問醫(yī)院的院址址P P應選在何處？應選在何處？LABCDP聯(lián)系生活聯(lián)系生活2021/8/1415問

9、題問題2:有三個村莊有三個村莊A、B、C，為了便于三個村莊的人，為了便于三個村莊的人看病，鄉(xiāng)政府計劃修建一所醫(yī)院，使得它到看病，鄉(xiāng)政府計劃修建一所醫(yī)院，使得它到三個村莊三個村莊的距離相等的距離相等，試問醫(yī)院的院址，試問醫(yī)院的院址P應選在何處？應選在何處？ABCP想一想，想一想，P點與點與BC有有怎樣的關系？怎樣的關系？DEFG三角形三條邊的中垂三角形三條邊的中垂線是交于一點的，這線是交于一點的，這個點到三個頂點距離個點到三個頂點距離相等相等2021/8/1416目的目的: :構造構造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等適用情況適用情況: :圖中已經存在圖中已經存在一條線段一條線段

10、MNMN 和和垂直平分線上一個點垂直平分線上一個點X X 語言描述語言描述: :連結連結X XM M和和X XN N注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法.中線延長一倍中線延長一倍2021/8/14171. 1.已知，如圖已知，如圖ADAD是是ABCABC的中線，的中線，.中線延長一倍中線延長一倍ABCDE)(21ACABAD求證：延長延長ADAD到點到點E E，使，使DE=AEDE=AE，連結連結CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5，求，求ADAD的取值范圍？的取值范圍？2021/8/1418m = 42

11、.35m = 42.23已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求證求證:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取點上取點E使得使得AE=AC，連接，連接DE截長截長F在在AC的延長線上取點的延長線上取點F使得使得CF=CD，連接，連接DF補短補短2021/8/1419A1BCD234如圖所示，已知如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線，直線DC經過點經過點E交交AD于點于點D，交交BC于點于點C。求證：。求證：AD+BC=ABEF在在AB上取點上取點F使得使得AF=AD,連接連接EF截長補短2021/8/1420例1 如圖，已知：在正方形ABCD中，BAC的平分線交BC于E.求證

12、：AB+BE=ACABCDFEG截長補短法截長補短法2021/8/1421旋轉法旋轉法對題目中出現(xiàn)有一個公共端點的相等線段時，可對題目中出現(xiàn)有一個公共端點的相等線段時，可試用旋轉方法構造全等三角形。試用旋轉方法構造全等三角形。 . 例3如圖所示，已知點 、 分別在正方形 的邊 與 上，并且 AF平分 EAD ，求證： BEDFAEABCDEFG2021/8/142245E A F B D A C F E如圖，已知在正方形中，在上，在上，求證： 2021/8/1423B A C A B C E D N M如圖，ABC中，是邊上的中點，于，交 的平分線于，過作于，作于求證：2021/8/14241

13、. 1.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,則則DBEDBE的周長是多少的周長是多少? ?.“周長問題周長問題”的轉化的轉化 借助借助“角平分線性質角平分線性質”BACDEBE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AC=BE+AE=AB2021/8/14252. 2.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o, D, D在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上, ,E E在在ACAC的垂直平分線上的垂直平分線上. .若若BC=6cm,

14、BC=6cm,求求ADEADE的周長的周長. .“周長問題周長問題”的轉化的轉化 借助借助“垂直平分線性質垂直平分線性質”BACDEAD+AE+DE=BD+CE+DE=BC2021/8/14263. 3.如圖如圖,A,A、A A1關于關于OMOM對稱對稱, A, A、A A2關于關于ONON對稱對稱. .若若A A1 A A2 =6cm, =6cm,求求ABCABC的周長的周長. .“周長問題周長問題”的轉化的轉化 借助借助“垂直平分線性質垂直平分線性質”BACOMAB+AC+BC=A=A1 B+ A A2 C+BC=A=A1 A A2A1A2N2021/8/14274. 4.如圖如圖, ,

15、ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分線的垂直平分線. .若若AN=3cm, AN=3cm, ABMABM周長為周長為13cm13cm，求，求ABCABC的周長的周長. .“周長問題周長問題”的轉化的轉化 借助借助“垂直平分線性質垂直平分線性質”BACMAB+BC+AC=AB+ BM+MC+6N=AB+ BM+AM+6=13+62021/8/14285. 5.如圖如圖, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分線，的角平分線，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周長為周長為13cm13cm，求，求ABCABC的周長的周長. .“周長問題周長問題”的轉化的轉化 借助借助“等腰三角形性質等腰三角形性質”BACPAB+AC+BC=AM+ BM+AN+NC+6N=AM+ MP+AN+NP+6=13+6M=AM+AN+MN+62021/8/1429線段與角求相等，先找全等試試看線段與角求相等，先找全等試試