離散時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間系統(tǒng)

1、§7-1 概述一、 離散時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間信號(hào)：只在某些離散的時(shí)間點(diǎn)上有值的 信號(hào)。離散時(shí)間系統(tǒng)：處理離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)?；旌蠒r(shí)間系統(tǒng)：既處理離散時(shí)間信號(hào)，又處理連 續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)。二、 連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)連續(xù)信號(hào)可以轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)，從而可以用離散時(shí)間系統(tǒng)（或數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)）進(jìn)行處理：連續(xù)信號(hào)離散信號(hào)數(shù)字信號(hào)取樣量化三、 離散信號(hào)的表示方法：1、 時(shí)間函數(shù)：f(k)<f(kT)，其中k為序號(hào)，相當(dāng)于時(shí)間。例如：2、 （有序）數(shù)列：將離散信號(hào)的數(shù)值按順序排列起來。例如：f(k)=1,0.5,0.25,0.125, 時(shí)間函數(shù)可以表達(dá)任意長（可能是無限長）的離散信號(hào)，

2、可以表達(dá)單邊或雙邊信號(hào)，但是在很多情況下難于得到；數(shù)列的方法表示比較簡(jiǎn)單，直觀，但是只能表示有始、有限長度的信號(hào)。四、 典型的離散時(shí)間信號(hào)1、 單位樣值函數(shù)：下圖表示了的波形。這個(gè)函數(shù)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)中的沖激函數(shù)相似，也有著與其相似的性質(zhì)。例如：，。2、 單位階躍函數(shù)：這個(gè)函數(shù)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)中的階躍函數(shù)相似。用它可以產(chǎn)生（或表示）單邊信號(hào)（這里稱為單邊序列）。3、 單邊指數(shù)序列：(a) (d) (b) (e) (c) (f) 比較：?jiǎn)芜呥B續(xù)指數(shù)信號(hào)：，其底一定大于零，不會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)。4、 單邊正弦序列：雙邊正弦序列：五、 離散信號(hào)的運(yùn)算1、 加法：<相同的k對(duì)應(yīng)的數(shù)相加。2、 乘法：3、 標(biāo)

3、量乘法：4、 移序：當(dāng)n>0時(shí)，信號(hào)向右移（后移）>稱為減序；當(dāng)n<0時(shí)，信號(hào)向左移（前移）>稱為增序。離散信號(hào)的移序計(jì)算相當(dāng)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)間平移計(jì)算。六、 線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)1、 線性離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)之間滿足齊次性和疊加性關(guān)系的離散時(shí)間系統(tǒng)。2、 移不變離散時(shí)間系統(tǒng) 系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)之間滿足移不變關(guān)系的離散時(shí)間系統(tǒng)。 3、 線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)同時(shí)滿足線性和移不變性的系統(tǒng)。 七、 離散時(shí)間系統(tǒng)的描述方法：見§7-3。§7-2 抽樣信號(hào)與抽樣定理離散信號(hào)可以通過對(duì)連續(xù)信號(hào)抽樣得到；連續(xù)信號(hào)可以通過抽樣轉(zhuǎn)化為離散信號(hào)，從而可以用離

4、散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行處理。但是，這牽涉到兩個(gè)問題：1） 怎樣進(jìn)行抽樣？2） 如何抽樣才能不損失原來信號(hào)中的信息？一、 抽樣器及其數(shù)學(xué)模型抽樣是通過一定的裝置（等間隔地）抽取原來連續(xù)信號(hào)中的很小的一段。其等效電路它也可以用一個(gè)開關(guān)信號(hào)相乘的數(shù)學(xué)模型來表示，其中的開關(guān)函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，開關(guān)函數(shù)近似為：可見，開關(guān)函數(shù)近似成為一個(gè)幅度為無窮小的周期性沖激序列。這個(gè)“無窮小”會(huì)給我們分析帶來不便，所以一般直接用幅度為1的周期性沖激序列代替它，即：這樣，抽樣以后的信號(hào)為： 顯然，抽樣以后的信號(hào)只與原來的信號(hào)在某些離散的時(shí)間點(diǎn)上的值有關(guān)。二、 抽樣定理顯然，利用原來的信號(hào)在某些離散的時(shí)間點(diǎn)上的值構(gòu)成的信號(hào)，是否會(huì)損失

5、信息？或者，在何條件下，可以用抽樣后的信號(hào)，不失真地還原出原來的信號(hào)？1、 抽樣信號(hào)的頻譜：其中，稱為抽樣（角）頻率；T稱為抽樣（取樣）周期?？梢?，抽樣后信號(hào)的譜是抽樣以前的譜按抽樣（角）頻率周期化的結(jié)果。如果原來信號(hào)最大頻率分量為的譜，抽樣頻率，則周期化后的各個(gè)頻譜不會(huì)相互重疊。將抽樣信號(hào)通過一個(gè)截止頻率為、增益為T的ILPF，可以不失真地還原原來的信號(hào)。此低通濾波器的沖激響應(yīng):則這個(gè)定理稱為Nyquist抽樣定理，或Shannon抽樣定理。它說明模擬信號(hào)可以有條件地由其無數(shù)個(gè)離散點(diǎn)上的數(shù)值恢復(fù)出，也就是說在時(shí)，用信號(hào)的一些離散的時(shí)間點(diǎn)上的數(shù)值來代替這個(gè)信號(hào)可以不損失任何信息。能夠完全不失真

6、地還原信號(hào)所需要的最小的抽樣頻率稱為Nyquist抽樣頻率，或Shannon抽樣頻率。（a） 原信號(hào) (b) 原信號(hào)的頻譜（c）單位沖激序列 （d）單位沖激序列的頻譜（）(e) (f) 的頻譜l 在實(shí)際工程中的做法與取樣中的過程正好相反：首先測(cè)量得到f(kT),然后再構(gòu)成抽樣信號(hào)。工程上的采樣就是指測(cè)量到kT時(shí)刻f(t)的值。l 在構(gòu)成抽樣信號(hào)時(shí)，不可能產(chǎn)生沖激信號(hào)，這時(shí)候可以用任意的周期性脈沖信號(hào)代替，其結(jié)果不變。l 恢復(fù)信號(hào)時(shí)，ILPF是不可能實(shí)現(xiàn)的，只能用其它的LPF，所以抽樣頻率必須進(jìn)一步增加，一般取的35倍。抽樣信號(hào)經(jīng)過非理想低通濾波器l 如果原來的信號(hào)是一個(gè)帶限信號(hào)，則Nyquis

7、t抽樣定理還可以做適當(dāng)修改。l 抽樣也是一個(gè)線性處理過程，它滿足齊次性和疊加性。這是我們通過它達(dá)到用離散時(shí)間系統(tǒng)處理連續(xù)信號(hào)的基礎(chǔ)。l 通過抽樣可以將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)化為離散數(shù)字信號(hào)，從而可以用數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)進(jìn)行處理，達(dá)到模擬信號(hào)處理無法達(dá)到的效果。e(t)r(t)A/D轉(zhuǎn)換DSP處理D/A轉(zhuǎn)換LPF濾波§7-3 離散時(shí)間系統(tǒng)的描述離散時(shí)間系統(tǒng)的描述方法有三種：1） 數(shù)學(xué)模型>差分方程2） 物理模型>框圖3） 系統(tǒng)函數(shù)>Z.T.，在第八章中介紹。一、 數(shù)學(xué)模型離散時(shí)間系統(tǒng)處理的信號(hào)是離散信號(hào)，信號(hào)只在某些不連續(xù)的時(shí)間點(diǎn)上存在，不存在微分，也就不可能用微分方程描述，只能用

8、差分方程描述離散信號(hào)相鄰的幾個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的關(guān)系。例731例73-1 著名的斐波納奇（Fibonacci）數(shù)列問題。假設(shè)每對(duì)大兔子每個(gè)月生一對(duì)小兔子，而每對(duì)小兔子一個(gè)月后長成大兔子，而且不會(huì)發(fā)生死亡。在最初一個(gè)月內(nèi)有一對(duì)大兔子，問第n個(gè)月時(shí)一共有幾對(duì)兔子。這里，每一個(gè)月中兔子的對(duì)數(shù)就構(gòu)成了一個(gè)離散的時(shí)間信號(hào)。列出描述該問題的差分方程。解：這里，我們用表示第個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)。顯然，第個(gè)月兔子無論大小，在第個(gè)月都會(huì)是大兔子，從而在第個(gè)月中生出個(gè)小兔子；同時(shí)，因?yàn)榧僭O(shè)兔子不會(huì)死亡，第月的對(duì)兔子在第月中依然存在，使第月中大兔子的個(gè)數(shù)為。而第月中兔子的總個(gè)數(shù)等于大兔子對(duì)數(shù)與小兔子對(duì)數(shù)之和，由此可以得到方程：

9、這就是斐波納奇（Fibonacci）數(shù)列問題的差分方程。與微分方程一樣，對(duì)于差分方程，我們一般將其中的未知的函數(shù)或序列放在方程等式的左邊，而將激勵(lì)函數(shù)或數(shù)列等放在等式的右邊。所以，可以將上式表示成：l 差分方程與微分方程一樣，也必須有初始條件。如果已知y(0),則可以得到差分方程的解：,l 差分方程也可以加激勵(lì)：假設(shè)k年從外地引入x(k)個(gè)人，則：。例732例732 一個(gè)空運(yùn)控制系統(tǒng)，它用一臺(tái)計(jì)算機(jī)每隔一秒鐘計(jì)算一次某一飛機(jī)應(yīng)有的高度，另外用一雷達(dá)于以上計(jì)算同時(shí)對(duì)此飛機(jī)實(shí)測(cè)一次高度，把應(yīng)有高度與一秒鐘前的實(shí)測(cè)高度相比較得一差值，飛機(jī)的高度將根據(jù)此差值為正或?yàn)樨?fù)來改變。設(shè)飛機(jī)改變高度的垂直速度正

10、比于此差值，即米秒。求該問題的差分方程。解：從第k-1秒到第k秒這1秒鐘內(nèi)飛機(jī)升高為 經(jīng)整理即得這就是表示控制信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)之間關(guān)系的差分方程，它描寫了這個(gè)離散時(shí)間（每隔1秒鐘計(jì)算和實(shí)測(cè)一次）的空運(yùn)控制系統(tǒng)的工作。差分方程的一般形式：l 差分方程在形式上與微分方程相似，只不過微分計(jì)算變成了移序計(jì)算；l 差分方程也有階，差分方程的階定義為其中最大移序與最小移序之差；l 求解差分方程也必須有初始條件，初始條件的個(gè)數(shù)必須等于差分方程的階數(shù)；l 與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的結(jié)論相似，線性移不變系統(tǒng)可以用一個(gè)常系數(shù)差分方程描述。l 因?yàn)椴罘址匠炭梢院芊奖愕赜糜?jì)算機(jī)求其數(shù)值解，所以很多微分方程可以近似為差分方程求近

11、似數(shù)值解。例733例733 一RC電路如圖a)所示，若于輸入端加一離散的抽樣信號(hào)e(t)，如圖 b)所示，現(xiàn)在要求寫出描寫此系統(tǒng)工作時(shí)每隔時(shí)間T輸出電壓與輸入信號(hào)間的關(guān)系的差分方程。a) b)解：圖 (b)所示的抽樣信號(hào)是一有始函數(shù)，它可以表示為如下沖激序列之和 現(xiàn)在來考察該電路在時(shí)的輸出響應(yīng)。當(dāng)t由小于kT趨于kT而該時(shí)刻的沖激尚未施加時(shí)，輸出電壓為u(k)。 由該時(shí)刻開始即tkT時(shí)的電容電壓零輸入分量顯然應(yīng)為 又可知此電路的沖激響應(yīng)是 用在這里，則可得：當(dāng)t=kT第k個(gè)沖激加于電路后即時(shí)，電容電壓的零狀態(tài)分量應(yīng)為 于是得t>kT后總輸出電壓為 當(dāng)t=kT時(shí)，上式成為 經(jīng)整理，并將記為

12、一般形式，即得 這就是描述輸出離散電壓與輸入抽樣電壓間關(guān)系的差分方程。例734例734 圖所示一電阻的梯形網(wǎng)絡(luò)，其中每一串臂電阻值同為R，每一并臂電阻值同為另一值，為某一正實(shí)數(shù)。所以這網(wǎng)絡(luò)是一重復(fù)的梯形結(jié)構(gòu)。該網(wǎng)絡(luò)各個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)公共節(jié)點(diǎn)的電壓為，分別為0、l、2、n。試寫出這個(gè)系統(tǒng)的差分方程， 電阻的重復(fù)T形網(wǎng)絡(luò)解：把系統(tǒng)中第個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流關(guān)系特別畫出如圖所示。由圖顯然可見，；同時(shí)，根據(jù)圖中電壓電流的簡(jiǎn)單關(guān)系，此式即可寫成 再經(jīng)整理，即得該系統(tǒng)的差分方程二、物理模型與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一樣，離散時(shí)間系統(tǒng)也可以用框圖的形式描述。1、 基本運(yùn)算單元離散時(shí)間系統(tǒng)框圖的基本運(yùn)算單元有加法器、標(biāo)量乘法器和延時(shí)（移序

13、）器構(gòu)成。 (a)初始條件為零 (b)初始條件不為零延時(shí)器2、 離散時(shí)間系統(tǒng)框圖的構(gòu)成離散時(shí)間系統(tǒng)框圖構(gòu)成與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)很相似，只不過將其中的積分器變成延時(shí)（移序）器。離散時(shí)間系統(tǒng)的初始狀態(tài)可以包含在延時(shí)（移序）器中。一階離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬框圖n階離散時(shí)間系統(tǒng)模擬框圖例735 一離散時(shí)間系統(tǒng)由以下差分方程描寫 試作出此系統(tǒng)的模擬框圖。 解 輔助函數(shù)，就可看出 由此兩式，讀者可以很容易地自行證明，它們合起來等效于所給的差分方程。 對(duì)于本題的簡(jiǎn)單方程，可令kn-1，于是原方程成為 如y(k)為無限序列，k和n均為由-到的自然數(shù)，把此式中的n改為k，此式仍可成立。如y(k)為有限序列，則只要考慮到序

14、列的起迄處有序數(shù)1的差別，上式中把n改成k亦可成立。于是有 如果另有一個(gè)系統(tǒng)的方程為 則讀者可以自行證明，與此式相對(duì)應(yīng)的模擬框圖的結(jié)構(gòu)仍同上圖，但是要由第一個(gè)延時(shí)器之前引出,如圖中虛線所示。§7-4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)離散差分方程的解法：1） 時(shí)域經(jīng)典法 與微分方程一樣，將解分為通解（齊次解）和特解兩部分。首先確定形式解，再代入初始條件（或邊界條件），確定其中的待定系數(shù)。優(yōu)點(diǎn)：物理概念清晰，可以一次得到全部解；缺點(diǎn)：特解有時(shí)很難求，不實(shí)用。2） 近代時(shí)域法：將解分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分。對(duì)零輸入響應(yīng)仍然用時(shí)域經(jīng)典法；零狀態(tài)響應(yīng)用卷積和求解。這種方法是求解差分方程的主要方

15、法；3） 變換域解法：Z變換（ Z.T.），相當(dāng)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的L.T.變換法。在第八章中介紹。4） 數(shù)值解法：利用前向預(yù)測(cè)形式的差分方程，通過迭代計(jì)算的方法，得到數(shù)值解。這種方法用計(jì)算機(jī)求解比較方便，但是無法得到通式。例如：對(duì)于Fibonacci問題，有差分方程：y(k+2)- y(k+1)-y(k)=0；è y(k+2)= y(k+1)+y(k)；è y(k)= y(k-1)+y(k-2)；現(xiàn)在已知：y(0)=0,y(1)=1,則可以得到：y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5,y(6)=8, 本章重點(diǎn)介紹近代時(shí)域法。 首先，在本節(jié)中介紹近代時(shí)域法中零

16、輸入響應(yīng)的求法，或齊次差分方程的求解方法。一、 差分方程的算子表示法為了記錄方便，引入移位算子S：則可以將一般的差分方程記為： 或：其中：二、零輸入響應(yīng)的求法零輸入響應(yīng)對(duì)應(yīng)于齊次差分方程：或：1、一階系統(tǒng)>假設(shè)：已知，則：；² 分析上面的結(jié)論，其中的可以定義為系統(tǒng)的特征方程的特征根，相應(yīng)的解中就有了。結(jié)合在求解微分方程中的一些結(jié)論，可以分析出求解差分方程的零輸入響應(yīng)的基本思路，猜想它應(yīng)該有下面的形式：其中為差分方程的特征根。2、n階系統(tǒng)與微分方程求解方法相似，也分為以下幾部：（1） 求特征方程即H(S)的分母多項(xiàng)式D(S)=0根（特征根）、；（2） 根據(jù)D(S)=0的根，確定r

17、(k)的形式解：a、 假設(shè)D(S)=0沒有重根，則其形式解為： b、 假設(shè)D(S)=0有重根，假設(shè)是一個(gè)m重根，則形式解為： 其余情況以此類推。（3） 帶入初始條件，確定待定系數(shù)。對(duì)于一般差分方程，初始條件為。將它帶入形式解中，可以得到n元一次線性方程組：由此不難確定待定系數(shù)。例741例741 試求斐波納奇數(shù)列的解。解：斐波納奇數(shù)列所滿足的差分方程在這個(gè)方程中，不存在激勵(lì)，所以它的解中只有零輸入響應(yīng)部分。利用移序算子，將上面的方程記為：從而得到特征方程其特征根為。由此得到將初始條件y(1)=1,y(2)=1代入，可以得到：解此聯(lián)立方程，可以得到，于是斐波納奇數(shù)列的解的通式為：三、 特征根與系統(tǒng)

18、穩(wěn)定性在離散系統(tǒng)信號(hào)處理中，同樣需要滿足穩(wěn)定性條件。系統(tǒng)的響應(yīng)不應(yīng)該隨著而趨向無窮大，而應(yīng)該是一個(gè)有限的值。所以，對(duì)于系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)中的各個(gè)分量，都應(yīng)該隨而有限。1、 當(dāng)時(shí)，（有重根時(shí)），系統(tǒng)穩(wěn)定。2、 當(dāng)時(shí)，1） 如果沒有重根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；2） 有重根時(shí)， ，系統(tǒng)不穩(wěn)定。3、 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。是一個(gè)復(fù)數(shù)，可以在復(fù)平面上表示為一個(gè)點(diǎn)。復(fù)平面上每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)信號(hào)模式。系統(tǒng)穩(wěn)定性要求特征根全部在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓單位圓的內(nèi)部，在單位圓上最多只能有單根。比較：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。例742例742 有一離散時(shí)間系統(tǒng)，用下列差分方程描寫 系統(tǒng)的初始條件為,。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

19、。 解 該系統(tǒng)的差分方程的齊次式為 應(yīng)用移序算子，此式可寫成 或 算子方程 具有兩個(gè)根，。故此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 把初始條件代入求系數(shù)、，有 解此聯(lián)立式，得，。于是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 此解包含有一常數(shù)項(xiàng)和一底數(shù)大于1的乘冪，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。§7-5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的解法：1） 經(jīng)典法：分通解和特解兩部分分別求解。2） 時(shí)域卷積和法：類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的卷積積分方法。3） 變換域法：Z.T. ，類似于L.T.本節(jié)介紹卷積和法。一、 離散信號(hào)的時(shí)域分解 選用子信號(hào)單位函數(shù)，可以將離散時(shí)間信號(hào)分解為很多個(gè)單位函數(shù)之和：引入卷積和計(jì)算：則可以將上式簡(jiǎn)記為：二、 的求解假設(shè)線性移

20、不變系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)（單位函數(shù)響應(yīng)）是，則：對(duì)的響應(yīng)是，<移不變 對(duì)的響應(yīng)是，<齊次性響應(yīng)是，<疊加性即：系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)為：所以，如果知道系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)，通過卷積和計(jì)算，就可以得到系統(tǒng)對(duì)任意信號(hào)的響應(yīng)。l 假設(shè)激勵(lì)信號(hào)是一個(gè)有始信號(hào)，則上面的卷積和公式中的求和上下限可以簡(jiǎn)化為：l 如果系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，則也是一個(gè)有始信號(hào)，則可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化：三、 卷積和1、 卷積和可以通過其定義求得。例：P30，表7-1：常用卷積和公式。2、 卷積和的數(shù)值解法1） 圖解法：反褶、平移、相乘、疊加例：e(k)=2,1,5, h(k)=1,2,3 e(k): 2 1 5 h(k): 1 2 3

21、 h(-k):3 2 1>r(0)=2 h(1-k):3 2 1>r(1)=5 h(2-k): 3 2 1>r(2)=13 h(3-k): 3 2 1>r(3)=13 h(4-k): 3 2 1>r(4)=15 h(5-k): 3 2 1>r(5)=0 h(6-k): 3 2 1>r(6)=0所以，r(k)=2,5,13,13,15從此例可見，有限長序列的卷積和仍然是有限長序列。2） 多項(xiàng)式乘法 e(k): 2， 1， 5* h(k): 1， 2， 3 6， 3，15 4， 2，10 2， 1， 5 2， 5， 13，13，15 >r(k)3）

22、陣列法：21512 152421036315各對(duì)角線元素相加，可以得到結(jié)果。3、 卷積和的性質(zhì)：卷積和有很多與卷積積分相似的性質(zhì)。其中最重要的是移序特性（相當(dāng)與卷積積分中的時(shí)移或微積分特性）：如果，則：四、 h(k)的求解方法：有四種：1)遞推法（數(shù)值解法） 2）祘子法 3）初始條件法 4）系統(tǒng)函數(shù)法（ZT）這里僅介紹祘子法。1、 祘子法（部分分式分解）在離散系統(tǒng)中，同樣可以利用轉(zhuǎn)移祘子，通過部分分式分解的方法，將高階系統(tǒng)分解為多個(gè)低階系統(tǒng)之和，解出單位函數(shù)響應(yīng)。其分解方法與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的部分分式分解法相似。這里同樣要分幾種情況討論：1） 如果m<na、 如果特征方程沒有重根，則：b、

23、 如果特征方程有重根，假設(shè)是l重根，則：2） 如果m=n，可以先通過長除，變成一個(gè)常數(shù)和真分式之和，然后再求解3） 當(dāng)m>n時(shí)，系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。這里不予考慮。如果能夠得到各個(gè)低階子系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)，將其相加，就可以得到系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)。2、 子系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)1） 一階離散系統(tǒng)：對(duì)應(yīng)的差分方程：。a、 k<0時(shí)，r(k)=0 (因果系統(tǒng)，零狀態(tài))b、 k=0時(shí)，c、 k=1時(shí)，d、 k=2時(shí)，e、 k=3時(shí)，f、 k=4時(shí)，g、.通過數(shù)學(xué)歸納法，可以證明： 或記成： 同樣可以證明：。這個(gè)結(jié)果似乎比上面的結(jié)果規(guī)范，但是它在做部分分式分解時(shí)必須在分子上湊S。2） 或：3） 的單

24、位函數(shù)響應(yīng)為，或有了上面的結(jié)論就可以得到任意系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)。例 解的最終形式應(yīng)該是：1） 形式上最簡(jiǎn)單；2） 有理分式的分子、分母多項(xiàng)式按降冪排列；3） 分母上不能有復(fù)數(shù)或無理數(shù)；4） 在實(shí)際系統(tǒng)中，激勵(lì)、系統(tǒng)函數(shù)都為實(shí)數(shù)信號(hào)或函數(shù)，在響應(yīng)中不可能有虛部。如果出現(xiàn)共扼復(fù)根，如何計(jì)算？P35，表7-2。 例751例751： 已知差分方程：r(k+2)-5r(k+1)+6r(k)=e(k+2)-3e(k)求h(k)。解：根據(jù)差分方程，可以用移序算子表示為： 例752例752： 一離散時(shí)間系統(tǒng)用以下差分方程描寫 試求此系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)。 解 將所給差分方程用移序算子寫成 此式的轉(zhuǎn)移算子為 先用

25、長除法再用部分分式展開法，上述轉(zhuǎn)移算子可寫成 由公式，可得系統(tǒng)單位函數(shù)響應(yīng)為五、 離散時(shí)間系統(tǒng)全響應(yīng)的求解綜合前面的§7-4的內(nèi)容，可以求出離散時(shí)間系統(tǒng)全響應(yīng)。例：系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)：，激勵(lì)，初始條件為：r(0)=2,r(1)=4。求全響應(yīng)。關(guān)于初始條件r(0)、r(1)的討論：初始條件r(0)、r(1)到底是什么？有多種解釋：1） 它是系統(tǒng)在0、1時(shí)刻的值。這種解釋符合實(shí)際應(yīng)用條件。但是，其中r(0)和r(1)中必然包含零狀態(tài)響應(yīng)部分，所以不能直接用它求零輸入響應(yīng)。>應(yīng)該將其中的零狀態(tài)響應(yīng)部分減去后再帶入零輸入響應(yīng)。2） 直接是系統(tǒng)零輸入響應(yīng)部分的值，即和。這樣求解簡(jiǎn)單了，但是在實(shí)

26、際情況下很難得到。3） 有的資料上給出的初始條件是r(-1),r(-2)等。這時(shí)候它一定屬于零輸入響應(yīng)。例753： 一離散時(shí)間系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子為 此系統(tǒng)的初始條件是y(0)9，y(1)13.9。當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍序列時(shí)，試求系統(tǒng)的響應(yīng)。解: 如果這里系統(tǒng)的初始狀態(tài)僅僅是指零輸入響應(yīng)部分在0、1時(shí)刻的值，可以按以前的方法分別求得系統(tǒng)的零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)，然后相加就可以得到全響應(yīng)。但是，這里的初始狀態(tài)是系統(tǒng)全響應(yīng)的初始狀態(tài)，其中也有零狀態(tài)響應(yīng)所產(chǎn)生的部分，所以無法用它直接求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。這時(shí)，只有先求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，然后將零狀態(tài)響應(yīng)在初始狀態(tài)時(shí)的值從系統(tǒng)初始條件中減去，得到零輸入條件下的初始狀態(tài)，由此求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 先求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。為此，要先求系統(tǒng)的