數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1、1復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問的通項(xiàng)公式的定義：的通項(xiàng)公式的定義：1.數(shù)列數(shù)列 na數(shù)列數(shù)列 的第的第n項(xiàng)項(xiàng) 與項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系如果可用一個公式如果可用一個公式 來表示，則來表示，則稱這個公式為數(shù)列的通項(xiàng)公式。稱這個公式為數(shù)列的通項(xiàng)公式。 na)(nfanna注意：不是任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式。注意：不是任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式。若有，通項(xiàng)公式也不一定是唯一的。若有，通項(xiàng)公式也不一定是唯一的。問題問題:是不是任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式是不是任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式?若有若有,是不是唯一的是不是唯一的?數(shù)列通項(xiàng)公式的求法數(shù)列通項(xiàng)公式的求法2dnaan) 1(1),( )(Nmndmnam2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

2、與前等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式dnnnaaanSnn2) 1(2)(11問題：問題：知道數(shù)列的通項(xiàng)公式（函數(shù)的解析式）知道數(shù)列的通項(xiàng)公式（函數(shù)的解析式）,就可以求出數(shù)列的任何一項(xiàng)。哪如何求數(shù)列的就可以求出數(shù)列的任何一項(xiàng)。哪如何求數(shù)列的通項(xiàng)公式？你會求什么數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？通項(xiàng)公式？你會求什么數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？等差數(shù)列與等比數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列3) 1( 11)1 () 1( 111qqqaaqqaqnaSnnn項(xiàng)和公式：的通項(xiàng)公式與前等比數(shù)列nan3.11nnqaa),(Nmnqamnm)2( ) 1( 11nSSnSannn 的關(guān)系：項(xiàng)和與前的通項(xiàng)數(shù)列nnnSnaa . 41

3、1nnnaSS4 數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式是數(shù)列的是數(shù)列的核心核心內(nèi)容之內(nèi)容之一一,它如同函數(shù)中的它如同函數(shù)中的解析式一樣解析式一樣,有了解析式有了解析式便可研究其性質(zhì)等便可研究其性質(zhì)等;而有了數(shù)列的而有了數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式便可便可求出任一項(xiàng)以及前求出任一項(xiàng)以及前n項(xiàng)和項(xiàng)和等等.因此因此,求數(shù)求數(shù)列的通項(xiàng)公式列的通項(xiàng)公式往往是往往是解題的突破口、關(guān)鍵解題的突破口、關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn). 因此近年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)給出數(shù)因此近年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)給出數(shù)列的解析式（包括遞推關(guān)系式和非遞推關(guān)列的解析式（包括遞推關(guān)系式和非遞推關(guān)系式），求通項(xiàng)公式的問題，對于這類問系式），求通項(xiàng)公式的問題，對于這類問題

4、考生感到困難較大題考生感到困難較大.為了突破這一難點(diǎn)，為了突破這一難點(diǎn)，現(xiàn)將求數(shù)列通項(xiàng)的思想方法系統(tǒng)歸納如下現(xiàn)將求數(shù)列通項(xiàng)的思想方法系統(tǒng)歸納如下:數(shù)列通項(xiàng)公式求法數(shù)列通項(xiàng)公式求法5數(shù)列通項(xiàng)公式求法數(shù)列通項(xiàng)公式求法常用數(shù)學(xué)思想：常用數(shù)學(xué)思想：1化歸思想；化歸思想；2. 換元思想；換元思想；3. 方程思想方程思想6【思路分析【思路分析】 此類問題雖無固定模式此類問題雖無固定模式,但也有其規(guī)律可循但也有其規(guī)律可循,主要主要靠觀察靠觀察(觀察規(guī)律觀察規(guī)律)、比較、比較(比較已知的數(shù)列比較已知的數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列為等差或等比數(shù)列)等方法等方法. 每一項(xiàng)序號每一項(xiàng)序號

5、與與這一項(xiàng)這一項(xiàng)的的對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系可可看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。推理能力有較高的要求。 已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式 求下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式求下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:,5555,555,55, 5)7( , 0 ,71 , 0 ,51 , 0 ,31 , 0 , 1 )6( 1337 ,1126, 917 ,710 , 1 ,32)5( ,9910,638 ,356 ,154 ,32-4 4 2 15 8 3 03 33 9,17 5 32 , 1 , 1 , 1

6、 , 1 ) 1 (，）（，）（，）（)(n 1)n ( 11為奇數(shù)為偶數(shù)nnna2 ,32 ,16 , 8 , 4 , 20 , 1 , 0 , 11, 0 , 1, 00 , 1, 0 , 1 , 0 , 1, 0 , 17 ，然后直接套用及出為等差（比）數(shù)列，求方法：若na類型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)：類型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)：ma其中一項(xiàng)）（公比公差qd 公式 式為整數(shù)，則通項(xiàng)公且公比，若為等比數(shù)列，：已知例nnaqaaaaa 512,1241748312n8 ，然后直接套用及出為等差（比）數(shù)列，求方法：若na題型二：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)：題型二：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通

7、項(xiàng)：ma其中一項(xiàng)）（公比公差qd 公式公式 為整數(shù)，則通項(xiàng)公式且公比，為等比數(shù)列，若例：已知nnaqaaaaa 512,1247483，然后套公式。與程組，解出的方與表示，得出與全部用，本題也可以把qaqaqaaaaa 1118743124512838374aaaaaaan，為等比數(shù)列，則分析：是整數(shù)，又與的兩根是方程與故知qxxaa 4128 051212428313353883)2(232 128 4nnnqaaqqaaaa，12n，等比5128374aaaaan9類型三：類等差數(shù)列類型三：類等差數(shù)列,方法歸納：方法歸納：累加累加 的通項(xiàng)公式。求數(shù)列，中，例：數(shù)列nnnnannaaaa)3

8、 , 2 , 1(2211)(1nfaann即)()2() 1 (:(的和是可求的條件nfff分析：由已知易得naann21）1(2, 32, 22, 21342312naaaaaaaann),1()1(321 21nnnaan上面各式相加得), 3 , 2 , 1(22nnnan故可求和可求和10 的通項(xiàng)公式為列，則數(shù)且滿足中，已知數(shù)列：例nnnnannaaaa21 11nnnnnaannnaa11)2(2nnannann) 1()2)(1(1其他解法探究：其他解法探究：是常數(shù)數(shù)列則可構(gòu)造nann) 1( 11645342312:13423121nnaaaaaaaannaannnn得分析)

9、1(21) 1(2111nnaannaann) 1(21221) 1(11nnaaaannnn，故有累乘的積是可求的，且若) 1()2() 1 (),(1nfffnfaann該題型方法歸納：該題型方法歸納：na累乘法求得11變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：12nnaS ，求知類型四： 求解方法：可直接應(yīng)用公式)2() 1( 11nSSnSannn 的通項(xiàng)公式。的圖象上，求數(shù)列均在函數(shù)點(diǎn)和為的前數(shù)列，其導(dǎo)函數(shù)為經(jīng)過原點(diǎn)的圖象例：已知二次函數(shù)nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)( )(,26)(,)( 13nnaS ，求知類型四： 求解方法：可直接應(yīng)用公式)2() 1( 11nSSnSannn 的通項(xiàng)

10、公式。的圖象上，求數(shù)列均在函數(shù)，點(diǎn)和為的前，數(shù)列為函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，其導(dǎo)例：已知二次函數(shù)nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)( )(,26)()( nnSxxxfn2323)( 22，故有略解：依題意易得56)1(2) 1(3232221nnnnnSSannnn時，故當(dāng)合上式時，而當(dāng)1 1 11San)(56Nnnan故14 公式為的通項(xiàng)，則滿足項(xiàng)和的前已知數(shù)列nnnnanSSna1) 1(log . 12練習(xí):不合上式，時，當(dāng)由略解32) 12() 12(2121) 1(log:111112SaSSanSnSnnnnnnnnn)()2( 2) 1( 3Nnnnann故15nnnan

11、aS求通項(xiàng)的關(guān)系式，及與類型五：知 的通項(xiàng)公式求，且滿足項(xiàng)和的前列各項(xiàng)均正數(shù)的數(shù)重慶例：nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(61)07( 16nnnanaS的關(guān)系式，求通項(xiàng)及與類型五：知 析求解。再分得出相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系式式兩式相減，子，與原關(guān)系，得另一式代替或方法總結(jié)：可考慮用 )2( 11nnnn17nnnanaS的關(guān)系式，求通項(xiàng)及與類型五：知 ），再求的關(guān)系式，先求出與得消（有時用nnnnnnnnaSSSanSSa11)2(解。兩項(xiàng)的關(guān)系式再分析求式兩式相減，得出相鄰與原關(guān)系，得另一式子，代替或方法總結(jié)：可考慮用 )2( 11nnnn 的通項(xiàng)公式，求且滿足項(xiàng)和的前各項(xiàng)均正數(shù)的

12、數(shù)列重慶例：nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(6 1)07( 2362nnnaaS分析：由題意得2366112111aaSan時，當(dāng)212111111aSaaa故又或解得由由整理得整理得2361211nnnaaS且有300)3)(1111nnnnnnnnaaaaaaaa又 13) 1(3232nnaaannn的通項(xiàng)為故的等差數(shù)列，公差為是首項(xiàng)為故)()(1比或類等差比的關(guān)系？化為等差與找nnaa11nnnaSS的關(guān)系與可找出nnaa118 的通項(xiàng)公式，求數(shù)列項(xiàng)和的前數(shù)列福建nnnnnaNnaSaSna)(2 , 1,)07 ( 1.11變式訓(xùn)練：兩式相減整理得略解：,2 21n

13、naS，而3212aa)2(32) 1( 12nnann故312nnaa232nna19類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)：的通項(xiàng)： 的通項(xiàng)公式，求數(shù)列滿足項(xiàng)和為的前例：數(shù)列nnnnnaNnnaSSna)( 1220 xaqxann1xan01 xana)dqxx滿足dqxx21類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)：類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)：滿足與若數(shù)列相鄰兩項(xiàng)一nnaa1)(),(為常數(shù)dq則可考慮待定系數(shù)法設(shè)則可考慮待定系數(shù)法設(shè) xaqxann1為待定系數(shù)，其中x ()dqxx滿足構(gòu)造新的輔助數(shù)列構(gòu)造新的輔助數(shù)列 xan是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 xa 1公比為公

14、比為q的等比數(shù)列，求出的等比數(shù)列，求出 xan ,再進(jìn)一步求通項(xiàng)再進(jìn)一步求通項(xiàng) na 的通項(xiàng)公式求數(shù)列，滿足項(xiàng)和為的前例：數(shù)列nnnnnaNnnaSSna )( 121211nnaa兩式相減整理得，且解析：由32,2312111naSanaSnnnn的等比數(shù)列，公比為是首項(xiàng)為故數(shù)列2121221aannnnnaa212212121故dqaann1)2(2121nnaadqxx22 歸納提高：滿足這樣的歸納提高：滿足這樣的推遞關(guān)系的推遞關(guān)系的數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)求解問題（的通項(xiàng)求解問題（陌生的，難陌生的，難的，不會的的，不會的），可用），可用待定系數(shù)法待定系數(shù)法轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為特殊數(shù)列特殊數(shù)列（等差數(shù)列或

15、等比數(shù)（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的通項(xiàng)問題（列）的通項(xiàng)問題（熟悉的，易，我熟悉的，易，我們會的們會的） ,借助等差（比）數(shù)列的借助等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求輔助數(shù)列的通項(xiàng)，從而通項(xiàng)公式求輔助數(shù)列的通項(xiàng)，從而解決問題。解決問題。數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化、化歸思想。數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化、化歸思想。23類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)：類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)：滿足與若數(shù)列相鄰兩項(xiàng)一nnaa1)(),(為常數(shù)dq則可考慮待定系數(shù)法設(shè)則可考慮待定系數(shù)法設(shè) xaqxann1為待定系數(shù)，其中x ()dqxx滿足構(gòu)造新的輔助數(shù)列構(gòu)造新的輔助數(shù)列 xan是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 xa 1公比為公比為q的等比數(shù)列，求出的等比數(shù)

16、列，求出 xan ,再進(jìn)一步求通項(xiàng)再進(jìn)一步求通項(xiàng) nadqaann1dqxx歸納提高：滿足這樣的歸納提高：滿足這樣的推遞關(guān)系的數(shù)列推遞關(guān)系的數(shù)列的通項(xiàng)的通項(xiàng)求解問題（求解問題（陌生的，難的，不會的陌生的，難的，不會的），可用），可用待待定系數(shù)法定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的通項(xiàng)問題（列）的通項(xiàng)問題（熟悉的，易，我們會的熟悉的，易，我們會的） ,借借助等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求輔助數(shù)列的通助等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求輔助數(shù)列的通項(xiàng)，從而解決問題。項(xiàng)，從而解決問題。數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化、化歸思想。數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化、化歸思想。24 的通項(xiàng)公式求數(shù)列，滿足項(xiàng)和為

17、的前數(shù)列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(1變式探究一：變式探究一：25 的通項(xiàng)公式，求數(shù)列滿足項(xiàng)和為的前數(shù)列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(12322313411aaSnnn分析：由 3223134211nnnaS且1124nnnaa兩式相減整理得1112144nnnnnaa可化為為什么類型呢？，轉(zhuǎn)化同除以14nnnnnnaa2144111其他解法探究：其他解法探究：nnnnnaaaaaa2144,2144,214411322332122nnnaa21212144321nnnna21121212121432nnna24 上面各式相加可得上面各式相加可

18、得幾個式子？26 的通項(xiàng)公式，求數(shù)列滿足項(xiàng)和為的前數(shù)列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(12322313411aaSnnn分析：由 3223134211nnnaS且1124nnnaa兩式相減整理得122211nnnnaa可化為的等比數(shù)列，公比為是首項(xiàng)為故數(shù)列 2 2121212aannnnnnnnaa24222121直接應(yīng)用。怎么辦？不是常數(shù)，不能12n構(gòu)造新數(shù)列，同除以12n1221211nnnnaa都是常數(shù)與相鄰兩項(xiàng)，是其、，新數(shù)列2 1 22211nnnnnnaaa變式探究一：變式探究一：27:)(22:11得由略解Nnaannn1221221111nnnnnnnna

19、aaannann1) 1(12nnna2變式：變式：28探究歸納探究歸納,總結(jié)提升總結(jié)提升:29nnnnnnnaznxaznxazxnaqzxnaAAnqaa列，構(gòu)造得等比數(shù)、然后展開對比系數(shù)確定為常數(shù)）設(shè)、若數(shù)列相鄰兩項(xiàng)滿足二qBA),() 1(qB( B)(11 的通項(xiàng)公式。上，求數(shù)列在直線點(diǎn)中，在數(shù)列山東nnnnaxyNnaanaa )(2,(, 2)06(11變式探究探究歸納：探究歸納：修改修改30nnnnnnnaznxaznxazxnaqzxnaAAnqaa，構(gòu)造得等比數(shù)列、然后展開對比系數(shù)確定設(shè)為常數(shù)）、若數(shù)列相鄰兩項(xiàng)滿足二qBA ),() 1( qB( B)(11 的通項(xiàng)公式。（

20、修改）上，求數(shù)列直線在點(diǎn)中，在數(shù)列山東nnnnaxyNnaanaa )(2,(, 2)06(111, 1zx展開后對比系數(shù)可得) 1(21) 1(1則nanann, 21naann分析：易得的等比數(shù)列，公比為是首項(xiàng)為故 2 41111anan1224111nanannnn)(2) 1(1zxnazxnann可設(shè)變式探究探究歸納：探究歸納：31nnnnaa21222122321, 21naann分析：易得方法二方法二：:2 1可得等式兩邊同除以n11112222nnnnnnaa111222nnnnnnaa各式相加可得，,2122,2222212211322332122nnnnnnaaaaaann

21、212221S3221nnnn1132212121212121S21nnnnn12211Snnnannnnna2122121nann 的通項(xiàng)公式。（修改）上，求數(shù)列直線在點(diǎn)中，在數(shù)列山東nnnnaxyNnaanaa )(2,(, 2)06(11累加由由得得其他解法探究：其他解法探究：32變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：nnnna2) 1(461答案33各式相加可得，,2144,2244214411322332122nnnnnnaaaaaannnnaa21222124321:24:11得由略解nnnnaa111111244244nnnnnnnnnnnaanaa變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：n

22、n212221S32令nnnna2) 1(461答案錯位相減求和法錯位相減求和法34 的通項(xiàng)公式求，且滿足已知數(shù)列例nnnnannaaaa：121211)(2) 1() 1(221zynxnaznynxann分析：設(shè)zyxnyxxnaann)2(221展開整理可得對比系數(shù)可得：與1221nnaann1121zyxyxx311zyx)3(23) 1() 1(221nnannann故有的等比數(shù)列，公比為是首項(xiàng)為故知 2 6312annannnnnna2326312得由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可3232nnann變式探究：？CBnAnqaann呢21)() 1() 1(221zynxnaqznynxann方

23、法：設(shè)探究歸納：該類型可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列：探究歸納：該類型可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列：35 的通項(xiàng)公式。求數(shù)列滿足例：已知數(shù)列nnnnnaNnaaaaaa)(23, 3, 11221的兩根是方程與023212 ttnnnnaaaa22112可得是故21nnaa121nnaa），（即取12yx常數(shù)數(shù)列122121aaaann) 1(211nnaa122211nnnnaannnaaa2312即由變式探究變式探究：若已知數(shù)列相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系式若已知數(shù)列相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系式,又又如何求其通項(xiàng)公式呢如何求其通項(xiàng)公式呢?nnnnnnnxyaayxaxaayxaa12112)()(設(shè)2112232312yxyxxyy

24、xaaannn或?qū)Ρ认禂?shù)得與02312nnnaaa可化為36（三）若數(shù)列相鄰三項(xiàng)的關(guān)系滿足若數(shù)列相鄰三項(xiàng)的關(guān)系滿足012nnnCaBaa, 0 2有解且方程CBttCyxByxyx,則有與若設(shè)解為則可得則可得)(112nnnnxaayxaa，且若0012yxaa為公比的輔助等比數(shù)列則可構(gòu)造以 y,1nnxaa轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為相鄰兩項(xiàng)的類型相鄰兩項(xiàng)的類型再分析求解再分析求解問題：問題：知道連續(xù)三項(xiàng)滿足這樣的遞推關(guān)系的知道連續(xù)三項(xiàng)滿足這樣的遞推關(guān)系的數(shù)列的通項(xiàng)，在什么條件下，你才會求其通數(shù)列的通項(xiàng)，在什么條件下，你才會求其通項(xiàng)公式呢？項(xiàng)公式呢？有解即方程02CBtt0)()(12112nnnnnnnx

25、yaayxaxaayxaa設(shè)有解對比系數(shù)得與CxyByxCaBaannn012探究歸納：探究歸納：37 的通項(xiàng)公式。求數(shù)列滿足例：已知數(shù)列nnnnnaNnaaaaaa )(23, 3, 1122121yx，即取的等比數(shù)列，公比為是首項(xiàng)為則 2 2121aaaannnnnaa21則122221)21 (21222)()()(11212312nnnnnnnnaaaaaaaa,21211nnnnnaaaa則有由上面過程知都取與,1221yxyx兩種情況一起考慮，兩種情況一起考慮，即即累加累加方程思想方程思想121nnnaa，可得消去)(22311212nnnnnnnaaaaaaa可得解析：由則可得到

26、兩個等比數(shù)列，分別求其通項(xiàng)則可得到兩個等比數(shù)列，分別求其通項(xiàng), 再由方程組求出再由方程組求出 na),(有兩組解即、有兩異根yxyx注：若注：若 02CBtt解法探究：解法探究：38 的通項(xiàng)公式求數(shù)列滿足已知數(shù)列例nnnnnaaaaaaa265, 2, 1:1221zyzxyaayxannn12)()(112zxaayzxaannnn設(shè)對比系數(shù)可得與26512nnnaaa223132265zyxzyxzyzyxyx或解得為等比數(shù)列12) 12(3121112nnnnnnaaaaaa分別得到：分別得到nnnnnaaaa是等比數(shù)列又有23)23(2231112nnnnnn

27、aaaaaa22321231111nnnnnnaaaa由由得得12311nnna有解0652 tt變式探究：39 ), 4 , 3(,0, )08(212212nqxpxxqpxpxxqpxxqpnnnn滿足數(shù)列的兩個實(shí)根，是方程為實(shí)數(shù)、設(shè)廣東理 的通項(xiàng)公式求數(shù)列；證明：nxqp)2( ,) 1 ( nnSnxqp項(xiàng)和的前，求，若 411 )3(練習(xí)【解析】（1）由求根公式，不妨設(shè) 2244,22ppqppq224422ppqppqp224422ppqppqq11,(),()nnnnnxn111111( )2( )( )3(3)( )2222nnnnnn nS(2)(3)40類型七：特征根法求

28、數(shù)列通。類型七：特征根法求數(shù)列通。 na011DCaBaaAannnn)0(A0)(2DxCBAx（條件：條件：若若的的相鄰兩項(xiàng)關(guān)系式可化為相鄰兩項(xiàng)關(guān)系式可化為：可用這種方法；可用這種方法；(其中方程其中方程該數(shù)列的特征根）該數(shù)列的特征根）的根稱為的根稱為征根的一元二次方程求出特得到都為與可視xxaann 1一元二次方程有兩根、一根、沒有實(shí)一元二次方程有兩根、一根、沒有實(shí)數(shù)根三種情況，下面分三情況探究：數(shù)根三種情況，下面分三情況探究：412x21xaxabnnn nbnbna(一一)若有若有兩特根兩特根與與，可令，可令構(gòu)造等比數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列,則可則可進(jìn)而求出進(jìn)而求出等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出等比數(shù)

29、列通項(xiàng)公式求出 , 2 , 1,123,53)08( :11naaaaannnn的首項(xiàng)已知數(shù)列陜西例 的通項(xiàng)公式求數(shù)列na特征根為特征根為0與與1略解：可得該數(shù)列特征根為略解：可得該數(shù)列特征根為0與與1nnnaab1可設(shè)nnnnnnnnnnbaaaaaaaab3113112311231111則nnnnaab132233nnna1x(一一)有兩特征根有兩特征根42 的通項(xiàng)公式求且滿足數(shù)列重慶nnnnnnanaaaaaa).1(0521681)05(111練習(xí)練習(xí)(改編改編)45210521682xxxxx或43 的通項(xiàng)公式求且滿足數(shù)列重慶nnnnnnanaaaaaa).1(0521681)05(

30、111練習(xí)練習(xí)nnnaaa8165245211，且條件可化為與分析：易得有兩特征21452361512218165245816522145,2145111nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabaab則可設(shè) 的等比數(shù)列，公比為是首項(xiàng)為，故即 2 21211bbbbnnn8210221452221121nnnnnnnnaaab故有(改編改編)45210521682xxxxx或44構(gòu)造輔助數(shù)列構(gòu)造輔助數(shù)列 ,分析分析0 x01xabnn nbnbna（二）有（二）有一根一根時時,可令可令 易得易得 是是等差等差數(shù)列，求數(shù)列，求進(jìn)而求出進(jìn)而求出 nb 的通項(xiàng)公式求na 的關(guān)系與nnbb1)

31、(2121)08(11Nnaaaannn且滿足數(shù)列佛山一模例：唯一特征根唯一特征根1解：依題意可得該數(shù)列有惟一特征根為解：依題意可得該數(shù)列有惟一特征根為111nnab可設(shè)21b則nnnnnnnbaaaaab11111212111111且 ) 1)(1(2121nbbbnn的差數(shù)列，公差為是首項(xiàng)為故1) 1(11nnanabnnn即該題也可以先求出前幾項(xiàng)，該題也可以先求出前幾項(xiàng)，再猜想歸納出其通項(xiàng)，但要特別注意要用數(shù)學(xué)歸納法證明。再猜想歸納出其通項(xiàng)，但要特別注意要用數(shù)學(xué)歸納法證明。45)(34, 1. 111Nnaaaaannnn且滿足數(shù)列 的通項(xiàng)公式求na 課堂練習(xí)課堂練習(xí):2341xxxxx

32、aann得都為與視121 ,2111ababnn則分析：可設(shè)21)2(2323412111nnnnnnnnaaaaaaab112111nnnnbbba 的等差數(shù)列，公差為是首項(xiàng)是111bbnnaannbnnn1221) 1)(1(1故有46（三）沒有特征根，則可由遞推關(guān)系式得（三）沒有特征根，則可由遞推關(guān)系式得出若干項(xiàng)可判斷出若干項(xiàng)可判斷 na是是周期數(shù)列周期數(shù)列 的通項(xiàng)公式求且滿足例：數(shù)列nnnnnaNnaaaaa).(12111231).(12211aaNnaaannn分析：由)()2( 23) 12( 1 Nkknknan由遞推性可得無實(shí)根得都為與視121xxxxaann112223aa

33、a47其他方法：有構(gòu)造常數(shù)數(shù)列，取對數(shù)（注意其他方法：有構(gòu)造常數(shù)數(shù)列，取對數(shù)（注意真數(shù)大于零），取倒數(shù)，歸納法（注意要用真數(shù)大于零），取倒數(shù)，歸納法（注意要用數(shù)學(xué)歸納法證明）數(shù)學(xué)歸納法證明） 的通項(xiàng)公式為則數(shù)列，的正項(xiàng)數(shù)列，且是首項(xiàng)為若nnnnnnaaanaana01 1 . 112210121211nnnnnnaaaana的降冪處理分析：先按左邊能否因式分式？左邊能否因式分式？0)(111nnnnaanaan01nnaa又nnnaan1) 1(是常數(shù)數(shù)列nnanaanann1111故有，可用什么方法處理？若1) 1(11nnaanaannnnn累乘法48 的通項(xiàng)公式，求且滿足數(shù)列nnnnaa

34、anana6) 1() 1() 1(. 2211 11an時，易得當(dāng)時，原式可化為當(dāng)2n) 1() 1() 1(1nanannn對應(yīng)在一起與與nnan，an) 1() 1(111111nnanann兩邊同除) 1)(1(nn以n兩邊再除以觀察分析可知nnnnannann) 1(1) 1() 1(11) 1(1) 1() 1(1nnnnannann) 1(1) 1(1) 1(1nnnannnann是常數(shù)數(shù)列)2() 1(1) 1(nnnnan212) 1(1) 1(2annnan)2)(12(nnnan)(12(11Nnnnaan合上式，故變式探究：變式探究：49 的通項(xiàng)公式為則數(shù)列，項(xiàng)和，前中

35、，練習(xí)：已知數(shù)列nnnnaannSnaa21 61111)2)(1(2,) 1(221nnnnnnannSannSannS且有nnnnnananaSS) 1()3(,111兩式相減得nnannann)2)(1()3)(2(1為常數(shù)數(shù)列)2)(1(nann)2)(1(1132)2)(1(1nnaaannnn思想方法：配湊法構(gòu)造化歸成特殊數(shù)列，借助特殊數(shù)思想方法：配湊法構(gòu)造化歸成特殊數(shù)列，借助特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，從而解決問題。列的通項(xiàng)公式的求法，從而解決問題。50 的表達(dá)式的等比數(shù)列，求，公比為是首項(xiàng)為滿足已知數(shù)列例nnnnaaaaaaaaa311,:12312111123121311233113111)()()(nnnnnaaaaaaaa51 的通項(xiàng)公式。，求數(shù)列的圖象上，其中在函數(shù)，點(diǎn)已知山東例nnnanxxxfaaa, 3 , 2 , 12)( ,2)( :2112121) 1(12nnnnnaaaaa分析：依題意可得的等比數(shù)列公比為是首項(xiàng)為而21) 1(log1