最新數(shù)值分析簡明教程第二版課后習(xí)題答案資料

1、精品文檔0.1算法1、(p.11，題1)用二分法求方程X -X-1 =0在1,2內(nèi)的近似根，要求誤差不超過10-3.【解】由二分法的誤差估計式|x=Xk匡異 二士 _ ； =10，得到2k1 _1000.兩端取自然對數(shù)得k3-仁8.96，因此取k=9，即至少需In 2二分9次.求解過程見下表。kakbkXkf(xQ符號0121.5+1234567892、( p.11，題2)證明方程f(x)=eX10x-2在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一個實根；使用 二分法求這一實根，要求誤差不超過-10。2【解】 由于f(x)=eX 10x-2，則f (x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，且f(0) =e° 10 0 -2

2、 - -1 ： 0， f (1) e1 10 1 -2 =e 8 0，即卩 f (0) f(1) ： 0，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，f(x)在區(qū)間0,1上至少有一個零點.又f'(x) =ex 100，即f (x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)的，故f (x)在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一實根.由二分法的誤差估計式|x* -xk匸尹二十；二1 10，得到2k100.兩端取自然對數(shù)得k 一 2210、2 3.3219 = 6.6438，因此取k = 7，即至少需二分In 27次.求解過程見下表。kakbkXkf(Xk)符號0010.512345670.2誤差1 - （p.2 ,題 8）已知 e=2.71828

3、；試冋其近似值 x = 2-7 , x2 = 2.71 , x2=2.71 , X3 = 2.718各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對誤差限?！窘狻坑行?shù)字：1 1因為|e-x1 | = 0.01828：0.0510 ，所以x1 =2.7有兩位有效數(shù)字；21 因為|e-x2 | = 0.00828：0.0510 ，所以x2 =2.71亦有兩位有效數(shù)字；21 3因為|e-x3 |=0.00028：0.000510 ，所以x2.718有四位有效數(shù)字;2|e X1 |X10.05<2.7-1.85%| e - X2 |0.05x22.71-1.85%0005X32.718= 0.0184%精品

4、文檔評 （1）經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)；其所有數(shù)字均為有效數(shù)字;（2）近似數(shù)的所有數(shù)字并非都是有效數(shù)字2. （ p.12，題9）設(shè)捲=2.72 ； x2 =2.71828 ； x3 =0.0718均為經(jīng)過四舍五入得出的近似值，試指明它們的絕對誤差（限）與相對誤差（限）。【解】“=0.005 ；r < 010051.84 10"；x12.720.000005 ；20.000005<x22.718281.84 10 ；邑 0.00005/；3 =0.00005 ；r3 36.96 10；x30.0718評經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其絕對誤差限為其末位數(shù)字所在位的半個單位3. （

5、p.12，題 10）已知 x1 =1.42 ； x2 =0.0184 ； x3 =184 10,的絕對誤差限均為0.5 10，問它們各有幾位有效數(shù)字？【解】 由絕對誤差限均為0.5 10,知有效數(shù)字應(yīng)從小數(shù)點后兩位算起，故X, =1.42，有三位；x2 二-0.0184 有一位；而 X3 =184 10 ° =0.0184，也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、( p.54，習(xí)題1)求作f(x)=sinx在節(jié)點x0 =0的5次泰勒插值多項式 p5(x)，并計算P5 (0.3367)和估計插值誤差，最后將P5 (0.5)有效數(shù)值與精確解進(jìn)行比較?！窘狻坑?f (x) = sin

6、x，求得 f (x) = cosx ； f (x)= f (x) = sinx ； f(5)-sin x ；(x)二 cosx ； f(6)(x)二-si nx，所以 f(2)(X0)(2)f(3)(x) = - cosx ；(X -X。)2P5(x)二 f(x°) f (x°)(x - x°)2!f (0)x2 .f(5)(0)5!-f(0) f(1)(0)x(5)5-x2!f (X。)口 (X-X°)55!13*15=X XX3!5!| f(6)(巴)| 插值誤差：R5(x)f ( )|(xx°)6 6!3 0.33673 p5(0.336

7、7) =0.3367 -0.33676R5(0.3367):二刨)l(x _X0)6 豈丄 X6，若 x 二 0.5，則 6! 6!50.336750.3303742887，而5!652.02 10< 0.5 10 ，精度到小數(shù)點后 5位,6!故取 p5(0.3367) =0.33037，與精確值 f (0.3367) = sin(0.3367) = 0.330374191 相比 較，在插值誤差的精度內(nèi)完全吻合！2、( p.55，題12)給定節(jié)點x°二- 1,X1 =1,X2 =3,X3 =4，試分別對下列函數(shù)導(dǎo)出拉格朗 日余項：(1) f (x) = 4x3 -3x 2 ；4

8、3(2) f (x) = x -2xf(4)(E)3【解】依題意，n =3,拉格朗日余項公式為R3(x)(x-Xi)4!1=0(1) f (4)(xH0 t R3(x) =0 ；(2) 因為f(x) = 4!，所以f(4)(巴)R3(x)(x 1)(x -1)(x -3)(x -4) = (x 1)(x -1)(x-3)(x -4)R3(x)二亠 i：(x_Xi)4!3、( p.55，題13)依據(jù)下列數(shù)據(jù)表，試用線性插值和拋物線插值分別計算sin(0.3367)的近似值并估計誤差。i012Xi0.320.340.36sin(xi)0.3145670.3334870.352274【解】依題意，n

9、 =3,拉格朗日余項公式為(1) 線性插值因為x =0.3367在節(jié)點Xo和Xi之間，先估計誤差Ri(x)f”()普一 “嚴(yán)2!R(x)gsin(x°) 二 sin(xj =X1 _ X0X1 _X°Xo _Xi1(x _ x0 )sing )(捲 _ x)sin(x0) 1二丄104 ;須保留到小數(shù)點后 4為，計算過程多余兩位。2(X1-Xo)2/4y=(X-X o)(X-Xi)Xi0二R(x)(0.3367 -0.32)sin(0.34)(0.34 - 0.3367)sin(0.32)0.020.0167 sin(0.34)0.0033 sin(0.32)10.02 0

10、.3304(2)拋物線插值插值誤差：f'')_cosG)R2 (x)(X 'XoX Xi )(X X2 )(X Xo )(X1 X)(X X2 )363maX( x-Xo)(Xi - x)(X2 - x) 3 0.011 0_6- 6 、 6 _2yy=(x-xo)(x-xi)(x-x2)Max=3(x i-Xo)3/8XoXiX2x拋物線插值公式為:(X -Xi)(X -X2)P2(X)sin(xo)十(X Xo)(x-X2)sin(捲)+ 以一恥-冷)前(乂?)(X。Xi)(X°X2)(Xi- Xo)(Xi-X2)(X2Xi)(X2 Xo)1 (Xi _

11、X)(X2 _ x)0.022 IL 2sin(Xo) (x -x°)(X2x)sin(xj -(Xi -x)(x-x。)2sin (x2)F2 (0.3367)匹 2 3.8445 sin(0.32) 38.911 sin(0.34) - 2.7555 sin(0.36)1 0.023.8445 sin(0.32) 38.911 sin(0.34)-2.7555 sin(0.36)- 0.330374390.02經(jīng)四舍五入后得：P2 (0.3367) = 0.330374，與 sin(0.3367)= 0.330374191 精確值相比較，在插值誤差范圍內(nèi)完全吻合！1.3分段插值與

12、樣條函數(shù)x3 +x21、( p.56，習(xí)題33)設(shè)分段多項式S(x)=°Nx3 +bx2 +cx1是以0,1,2為節(jié)點的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)b，c的值.【解】依題意，要求S(x)在x=1節(jié)點函數(shù)值連續(xù)：s_(1)=13 12=2 13 b 12 c 1一1 二 s .(1),即：b c =1(1)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：S_(1)=3 12 2 1=6 12 2 b 1 c=S(1),即: 2b c = 一1(2)解方程組(1)和(2),得b = _2,c = 3，即S(x)r 32x + x2x3 2x2 +3x1由于 S(1) =3 2 1*2=6 2 1 -22 =S".(

13、1)，所以 S(x)在 x=1 節(jié)點的二階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。12、已知函數(shù) y2 的一組數(shù)據(jù)，x0 = 0, x1 = 1, x2 =2 和 y0 = 1, y1 = 0.5, y2 = 0.2，1 +x(1)求其分段線性插值函數(shù)；(2)計算f (1.5)的近似值，并根據(jù)余項表達(dá)式估計誤差【解】(1)依題意，將x分為0,1和1,2兩段，對應(yīng)的插值函數(shù)為S1(x)和S2(x)，禾U用拉格朗日線性插值公式，求得X -X0y1XI _ X01 .0.5 二-0.5x 1 -0-1 1-0 'S2(x)X一紅 y1X1 X2亠y2X2 - X1x _ 2x _ 1鼻二 050.2 一0.3x0.81

14、-22 -10.30769230769 ，而 S2(1.5) = -0.3 1.5 0.8 = 0.35 ,實際誤差為：| f (1.5)S2(1.5) 1= 0.0423 乞 0.05。2 2 ，(1 X )f (XL2。®2)(1X2)32f(3)(x24x(1-x4),可(1x2)4|f (J|R(x"2!知M 2 = f (2)(1) =0.5，則余項表達(dá)式M 224| (x 1)(x -2) |2 0.5 = 0.5 = 0.0625 乞 0.51.4曲線擬合1、( p.57，習(xí)題35)用最小二乘法解下列超定方程組:"2x + 4y =113x -5y

15、=3x 2y = 62x y =7【解】構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下：2 2 2 2 Q（x, y） = （2x 4y11）（3x5y3）（x 2y6）（2x y - 7）,分別就Q對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：Q(x,y) _0 :6xy = 17(1),dx：Q(x,y) 0:-3x 46y = 48(2),解方程組（1）和(2),得46 17486 483 17x =：3.04029,y1.241762732732、（ p.57，習(xí)題37）用最小二乘法求形如、二a bx2的多項式，使之與下列數(shù)據(jù)相擬合?！窘狻苛頧 = X2，貝y y = a bX為線性擬合，根據(jù)公式（p.39,公式43），取m

16、=2, a仁0,N=5,求得55a +b遲 Xi5=5a + bZ x5i2=I： Vi(1)1i絲=1555555a送Xi2+ b瓦 X i = aZN2 + b工 Xi4=Xi）A =送 xyii=1i =1imi=1i=1依據(jù)上式中的求和項，列出下表xXi (=x i2)Xi2(=xi4)Xi yi (二Xi2y)191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8157271.453277277699369321.5將所求得的

17、系數(shù)代入方程組（1）和（2）,得5a0 十 5327b = 271.4(1)Q327a0 + 72776993 = 369321.5(2)271.4 7277699-369321.5 53277791878.1 小小 c ca0.97258 ；5 漢 7277699 - 5327 漢 53278011566u 5 369321.5 -5327 271.4400859.7b0.05004 ；5 7277699-5327 532780115662即: y =0.97258 0.05004x。精品文檔1 ；精品文檔2.1機(jī)械求積和插值求積1、( p.94，習(xí)題3)確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代

18、數(shù)精度盡量高，并指明求積公 式所具有的代數(shù)精度：h(1) f(x)dx : A0f(-h) A1f(0) A2 f (h)；i113(2) 0f(x)dx ： Aof? AG?)人2七)；1 1 o f(x)dx 行 f(0) A0 f (x0) o【解】(1 )令f (x) =1, X,X1 2時等式精確成立，可列出如下方程組：Ao A A2 = 2h(1)-A A2 = 02AA2 二 一 hhhf (x)dx ： f (h) 4f (0)f(h)，可以3f(x) =x4不成立，故公式(1)具有3次代數(shù)精度。(2)令f (x) =1, x,x2時等式精確成立，可列出如下方程組：h4解得：A

19、 = A2, A1h ,33驗證，對f(x) =x3公式亦成立，而對即:A1A2 =1代 +2A +3A2 =2(3)解得：2111113A0=A2S，A13，即：0f(x)dx：護(hù)(/-電)4求積公式，并指明該求積公式的代數(shù)精度?！窘狻恳李}意，先求插值求積系數(shù)： 七)，可以3A0 +12 A +27 A2 =16驗證，對f(x) =x3公式亦成立，而對 f (x) = X4不成立，故公式(2)具有3次代數(shù)精度。(3)令f (x) =1,x時等式精確成立，可解得:A042x。-31132即： ° f (x)dx ” f (0)盲f (?)，可以驗證，對f(x) =x3不成立，故公式(

20、3)具有2次代數(shù)精度。f(x) =x2公式亦成立，而對試構(gòu)造計算積分l=ff(x)dx的插值型40dx =31 x -1 40 1 3dx 2 Qx223、；x)A°1 x _x°dxxi x°1 x-1-11 1 =1；左=右;2 2當(dāng)f(x)=x，左邊=(f(x)dx = 1x右邊=1 11 ?2424i ；左 =右;當(dāng)f (x) =x2,左邊=f f(x)dx =3lx3右邊=丄丄J鳥二2 16 2 1616 "右;插值求積公式:113f(x)dx 八 Akf(xkH-f(-) -f(；)1當(dāng)f (x) = 1,左邊=0 f (x)dx = 1 ；

21、右邊=故該插值求積公式具有一次代數(shù)精度。2.2梯形公式和Simpson公式1、( p.95，習(xí)題9)設(shè)已給出f(x)=1 esin4x的數(shù)據(jù)表,x0.000.250.500.751.00f(x)1.000 001.655 341.551 521.066 660.721 591分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分I f (X)dx的近似值?！窘狻?(1)用復(fù)化梯形法b a a = 0, b = 1, n = 5, h =nn 4 hT5 八；f(Xk) f(Xkd心210.254hn 4f(a) 2、f(xQ f(b)2k 40.25丄丄丄丄T5f(0.00) 2 f(0.25) f (0.50

22、) f (0.75) f (1.00)2T5 =0.125 1.000002 (1.655341.551521.06666)0.72159T5 = 1.28358(2 )用復(fù)化辛普生法b a 1 a = 0, b = 1, n = 2, h0.5n 2n 1 hhnn_1S2 八刃 f(xQ 4f(xkf(Xk.J =：f(a) 4 f(xk2、f(xQf(b)76k 267 k 2k=i0 5S2f (0.00) 4 f(0.25) f (0.75) 2 f (0.50) f (1.00)61S21.00000 10.888 3.10304 0.721591.309391 12、( p.95

23、，習(xí)題10)設(shè)用復(fù)化梯形法計算積分Iexdx，為使截斷誤差不超過 1 10問應(yīng)當(dāng)劃分區(qū)間【0,1】為多少等分？如果改用復(fù)化辛普生法呢？【解】(1)用復(fù)化梯形法，a =0,b =1, f (x)二f'(x)二f''(x) =ex，設(shè)需劃分n等分， 則其截斷誤差表達(dá)式為：|Rt HI-Tn卜(b - a)32 max12n2f''()(1 -0)312n31依題意，要求| Rt |10，即2-< 1 10* 二 n2 _: 212.849，可取 n = 213。(2)用復(fù)化辛普生法，12n226a =0,b =1, f (x) = f'(x)二

24、 f “''(x) =ex，截斷誤差表達(dá)式為:|Rs|I -Sn 卜(b-a)5180(2n)4maxf""()(1-0)5ee4 e4 ；2880n42880n41依題意，要求| RS |10*，即2e 1e 1010- n4 _ 370666，可取 n =4,劃分 8 等分。2880n4214402.3數(shù)值微分1、( p.96，習(xí)題24)導(dǎo)出三點公式(51)、(52)和(53)的余項表達(dá)式精品文檔f'(Xo)：丄_3f (xo) 4f(X1)_ f(X2)(51)2hf'(xi)：丄_f (xo) f(X2)(52)2hf'(X2

25、)：丄f(xo) -4f(xi) 3f(X2)(53)2h【解】如果只求節(jié)點上的導(dǎo)數(shù)值，利用插值型求導(dǎo)公式得到的余項表達(dá)式為 f (n (匕)nR(xjf'(Xk) - p'(Xk)二行Xk-Xj)(n +1)! y由三點公式(51)、(52)和(53)可知，n =2,h =x, -x0 = x2 -x,，貝U 、 fH(J)2 “、f''o)“、“、 f'"o)R(xorj(xo - Xj ) = T (X0 一 X1 )(Xo 一 X2)= T h2f (2 珂】)一 2f'''(,)R"爲(wèi)腫"呼

26、(牛)h2j=1f(21)( 2)-_2R(X2)=2 ；區(qū)7)=亠化十)區(qū)7)亠人2(2 1)! j j 3!312、( p.96，習(xí)題25)設(shè)已給出f(x)2的數(shù)據(jù)表,(1+x)X1.0f(x)0.25001.11.20.22680.2066試用三點公式計算f'(1.0), f'(1.1), f'(1.2)的值，并估計誤差【解】已知X。=1.0,為=1.1, X2=12 h =X1-X0=X2-X1 =0.1,用三點公式計算微商：1 1f'(1.0)-3f (1.0) 4f (1.1) - f (1.2)-3 0.25004 0.2268 - 0.2066

27、- -0.24702h2匯0.11f'(1.1)：f'(1.2)f(x)二1Hf (1.0) f (1.2)-0.25000.2066 =-0.21702h2 0.11 1f (1.0) -4f (1.1) 3f (1.2)0.2500 -4 0.2268 3 0.2066 = -0.18702h2 0.11f'(x)二(1 x)用余項表達(dá)式計算誤f'''( 0)以h3f'''( ) 2h 3!R(1.2)二 f'''( 2)R(1.0)二R(1.1)二(1 x)主差2-24 0.1立5"

28、_2 3；= f''(x)=(1 x)6-24f'''(X"L，3 h23(1 1.0)224 0.13!(1 1.0)5 -24 0.12 3(1 1.1)-0.0025:0.00125-0.04967精品文檔3、( p.96，習(xí)題 26)設(shè)f(x) =sinx，分別取步長h =0.1,0.01,0.001，用中點公式(52)計算f'(0.8)的值，令中間數(shù)據(jù)保留小數(shù)點后第6位。【解】中心差商公式：f'(a) ： f(a h) f (a，截斷誤差：R(h) = f (a) h2。可2h3!見步長h越小，截斷誤差亦越小。(1)

29、h = O1,Xo = 0.8h = 0.7公2 = 0.8 + h = 0.9,則1 1f'(0.8)sin(0.9) - sin(0.7)0.783327 - 0.644218 ： 0.695545 ；2h20.1 h = 0.01, x0 = 0.8h 二 0.79, x2 二 0.8 h = 0.81,則1 1f'(0.8)sin(0.81) -sin(0.79)0.724287 - 0.710353 ： 0.69672h2901(3) h = 0.001,x0 = 0.8 一 h 二 0.799,x2 = 0.8 h 0.801,則1 1f'(0.8)sin(

30、 0.801) -sin( 0.799)0.718052 - 0.716659 ： 0.69652h2 7.01而精確值 f'(0.8) =cos(0.8) =0.6967067，可見當(dāng) h =0.01時得到的誤差最小。在h = 0.001時反而誤差增大的原因是f (0.8 h)與f (0.8 - h)很接近，直接相減會造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。因此，從舍入誤差的角度看，步長不宜太小。3.1 Euler 格式1、( p.124，題1)列出求解下列初值問題的歐拉格式2 2(1) y' = x2y2(0 乞 XE0.4)，y(0) =1，取 h=0.2 ；(2) y'=上 丫

31、 (1 乞 x iM.2)，y(0) =1，取 h=0.2 ；(X丿x【解】(1)yn 1 二 yn hy'n 二 y“ h(x； - y；) = y“ 0.2 (x； - y；)；2 2(2)Yn 1 二 ynh 臺仏)=yn 0.2 (粵仏)。XnXnXnX.2、( p.124，題2)取h =0.2，用歐拉方法求解初值問題y'= -y -xy2(0 _ x_ 0.6)，y(0) =1?！窘狻繗W拉格式：y 1= yn hy'yn h(-yn -Xny；) =yn °2 (-y. -Xny：);化 簡后，yn 0.8yn -0.2xny2，計算結(jié)果見下表。n0

32、123Xn0.00.20.40.6Ya1.00.80.61440.46133、( p.124，題3)取h =0.1，用歐拉方法求解初值問題y_2y2(0乞x乞4),1 +x x1y(0) =0。并與精確解y2比較計算結(jié)果。1 +X21 2 1 2【解】歐拉格式：yn 1 =yn hy'n *n h( y - 2 y n) = y.，0.2 ( -2yn)；1+Xn1+Xn2 0 2化簡后，yn 1二yn -0.4y22，計算結(jié)果見下表。1 +Xnyp =ynhf (Xn,yn) =ynh(-yn« yc = % +hf(Xn,yp) =yn +h(yp-Xny；) = 0.8

33、yn -0.2Xny；22-Xnyp)二 yn -0.2 (yp x.yp)。1、( p.124，題7)用改進(jìn)的歐拉方法求解上述題2，并比較計算結(jié)果?！窘狻抗剑阂驗?y' = f (x, y) - -y - xy2(0 _ x _ 0.6)，h =0.2，且 y(0) =1，則改進(jìn)的歐拉(yp y2n0123Xn0.00.20.40.6yp1.00.67300.51470.3941yc0.760.70920.55640.4319yn0.880.69110.53560.413yn 1計算結(jié)果見下表。與原結(jié)果比較見下表n0123Xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.

34、4613yn(改進(jìn))0.880.69110.53560.4133.3龍格-庫塔方法1、( p.124，題11)用四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法求解初值問題y-8-3y，y(0) = 2，試取步長h =0.2計算y(0.4)的近似值，要求小數(shù)點后保留4位數(shù)字?！窘狻?四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法公式:yn .1 二 yn 6(Ki 2K2 2K3 K4)Ki = f (Xn, yn)h« K2 = f (x 1, yn + Ki) 乜 2hK3 = f (x 1 , yn + K2) 性 2iK 4 f(xn4yn + K3)列表求得y(0.4)如下:nXnyn00.02.00010.22.30

35、0420.42.46544.1迭代法及收斂定理(k =0,1,2,)，求201 ( p.153，題2、(p.153，題2)證明方程xcosx有且僅有一實根。試確定這樣的區(qū)間a,b，使迭)試取Xo = 1，用迭代公式Xk 1 = -2Xk +2Xk +10方程X111 1【證明】設(shè)：g(x) cosx，則當(dāng)xR時，g(x) cosx，,，且一階導(dǎo)數(shù)2 22 21111g'(x) si nx 連續(xù)，|g'(x)|=|si nx|1，所以迭代過程Xk 1 cosxk 對22221x0 R均收斂。(壓縮映像定理)，方程xcosx有且僅有一實根。 證畢2 2x1 代過程xk 1cosxk

36、對X。 a, b均收斂。2 10x - 20 = 0的根，要求準(zhǔn)確到10 "?！窘狻?迭代計算結(jié)果列于下表kXkXk-Xk-11<0.001kXk|Xk-Xk-11<0.00111.538460.53846N61.365930.00937N21.295020.24344N71.370090.00416N31.401820.10680N81.368240.00185N41.354210.04761N91.369060.00082Y51.375300.02109N因為 | X9 - x8 | ： 0.00082 : 10，所以 x ” x9 二 1.36906。3、( p.1

37、53，題4)證明迭代過程二土 丄對任意初值2XkX0 1均收斂于 2。I證明】設(shè):g(x|1，對于任意xxx 1，因為一21=2，所以 g(x) _2 。x1 _2xx1一階導(dǎo)數(shù)g'(x)=1 1彳12x 2根據(jù)壓縮映像定理，迭代公式初值x01均收斂。假設(shè)lim xk=X ，對迭代式xk 1+Xk11兩邊取極限，則有于占，則&譏2，解得宀朋，因宀2 不在x 1范圍內(nèi)，須舍去。-.2。證畢4.2牛頓迭代法1、(p.154，題17)試用牛頓迭代法求下列方程的根，要求計算結(jié)果有4位有效數(shù)字:(1)x3 -3x _1 = 0， x0 = 2(2)x2 -3x ex 2=0， x0 =1

38、【解】(1)Xk 1設(shè) f (x) = x3 -3x -1，則f (Xk) _X3 -3XkXk f f'(Xk)3x2-3f'(x) =3x2 _3， -12x3+123(x： -1)牛頓迭代公式:(k =0,1,2,)，迭代計算過kXk|Xk-Xk-11<0.0001kXk|Xk-Xk-11<0.000111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879450.00944N程見下列表。因為 | x3 - x2 | ： 0.00006 <10，所以 xx3 = 1.879。2 _3x(2)設(shè) f (x)二 x2 -3x -ex2，則

39、 f' (x) = 2x -3 -ex，牛頓迭代公式：Xk _ e k (Xk -1)-2kk(k = 0,1,2,)2，則 f'(x) = 2x -3 -Xk 3Xk e * +2Xk 1 = XkXkx；f (Xk)2Xk -3- ef (Xk)kXk|Xk-Xk-11<0.0001kXk|Xk-Xk-11<0.00110.268940.73106N30.257530.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y因為 | X3 -X2 I： 0.00000 ： 10 '，所以 x : X4 二 0.2575。，迭代計算過程

40、見下列表。2、( p.154，題18)應(yīng)用牛頓法于方程X3 - a =0，導(dǎo)出求立方根3 a(a0)的迭代公式,并證明該迭代公式具有二階收斂性。33Xk -a 2Xk a3x23x2k =0,1,2,(2)由以上迭代公式，有:kXKHk3aa+3X22g(x ) =x ； g'(x ) =3(1x3)島 2a=o； g'X)= x2/3a。Xk 1 -x 二 g(xj - g(x)二 g'(x )(Xk -x ) 2p(Xk -x )2Xk 1 -x = g''(x )2limk 訶-x)12!=3a，可見該迭代公式具有二階收斂性。證畢【證明】(1)設(shè)：

41、f(x) = x3 a，則f'(x) =3x 10 “。 ，對任意x . 0,牛頓迭代公式、，、，f(Xk)、，xk 1 = xkxkf (Xk)5.1線性方程組迭代公式1、( p.17O，題1)用雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代求解方程組:3x1 +x” 2，要求結(jié)N +2x2 =1X1(k d)1(k)3x2【解】 雅可比迭代公式:迭代計算結(jié)果列于下表。果有3位有效數(shù)字。kX1(k)x2k)|x1k)X1(2)|x2k)x2k)i< 0.0005?000-12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N

42、50.601850.208330.018520.01389N60.597220.199080.00463 :0.00925N70.600310.201390.003090.00231N80.599540.199850.000770.00154N90.600050.200230.000510.00038N100.599920.199980.000030.00025Yx2k d)2十#)冷X1(k)x； : x!10)0.600;X2 ： x210) ： 0.200 ；由上表可見，所求根皆為小數(shù)點后第1位不為零的小數(shù)，要取3位有效數(shù)，則誤差限為xr_ix2k1(x2k)高斯-賽德爾迭代公式：333

43、，迭代計算結(jié)果列于下表。xT 一 1x1(“)+1=1(1 + x2k)、一 2 2 6k(k)X(k)X2 (k)(J) |X1-X1|x2k)-x；j|<0.0005?000-12/31/62/31/6N20.61110.1944N30.60190.19910.00920.0047N40.60030.19990.00160.0008N50.60000.19990.00030.0000YX: x!5) : 0.600;X2 x25) 0.200 ；12、( p.171，題7)取川=1.25，用松弛法求解下列方程組，要求精度為10* 。2|4x1 - 3x2 = 163x14x2 - X

44、3 = 20-X2 4X3 二-12【解】歐先寫出高斯-賽德爾迭代:(k 卅) 入1(k 1)X2(k 1)X33X(k)蔦X23 (k)_4X11 (k)x3k)5 二 943x2k).64-x2k)16-x3k)16(1)引入松弛因子，得(k 1)X1(k 1)X2(k 1)X35-4 5-4 5-4+ + +X7 X7 X7k k k對 站 必I - 4 丄 4 1-4- - - - -kk lr<k將方程組(1)代入(2)，并化簡x；k d)(k 1) x2丿1 x(k)X14= x2k)6415x(k)_16X2-x3k)-162x3k 1)45(k)11 _(k)25256X

45、264計算結(jié)果見下表。k(k)(k)v(k)I (k)l (k)xz(2)|x3k)-xT |< eX1X2X3|X1-X1|X2-X2|?0000-152.5-3.12552.53.125N21.40625:2.65625-2.14844N32.158203.03223-2.28882N41.611733.15872-2.19860N51.635773.24423-2.19187N :61.549593.28508-2.17800N71.53284:3.30793-2.17320N81.515613.31978-2.17001N91.50880:3.32615-2.16847N :01

46、.504533.32951-2.16762N11.50245P 3.33130-2.16717N :21.501293.33225-2.16694N31.50069:3.33276-2.16672N41.500373.33306-2.16676N51.50016:3.33318-2.16670N61.500103.33325-2.16668N71.500053.33329-2.166680.000050.000040.00000Y迭代解：x1 -xf7)1.5001 ,X2 = x217) :- 3.3333, x3 二 x317) :- 2.1667.13x3石1667.3 10精確解：x11.5,x23.3333,235.1線性方程組迭代公式-賽德爾迭代公式，并考1、（ p.170，題2）試列出求解下列方程組的雅可比迭代公式與高斯 察迭代過程的收斂性。10洛 +x3 _5x4 = -7% 十 8x2 _ 3x3 =113x1 2x2 -8x3 X4 = 23% -2x2 2x3 7x4 =17【解】(1)雅可比迭代公式：X1(F-x3k)10710(k 1 x3)(k 1)X4_-x(k)8x1(k)二x1X2(k)11k)238(1)(k)X17(k)-X371710Gj