線性方程組解的判定

1、3.3 線性方程組解的判定在上一節(jié)中,我們利用實例討論了線性方程組解的各種情況,分析以上解方程組的過程,可以得到用消元法解線性方程組的一般步驟：寫出線性方程組（1）的增廣矩陣.（一）設(shè),否則,將的第1行與另一行交換,使第一行第一列的元素不為0.(二) 第一行乘以()再加到第行上(),使化成如下形式對這個矩陣的第二行到第行,再按以上步驟進行,最后可以得到如下形狀的階梯型矩陣其中注意到增廣矩陣去掉最后一列就是系數(shù)矩陣，此時系數(shù)矩陣也經(jīng)過同樣初等行變換化為階梯型矩陣.容易看出, 增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩.以下分析與之間的關(guān)系,確定方程組有解的充分條件.方程組(1)相應(yīng)的階梯型方程組為（2）其中從上

2、節(jié)討論可知,方程組(2)與原方程組(1)是同解方程組.由(2)可見,化為“”形式的方程是多余的方程，去掉它們不影響方程組的解.我們只需討論階梯型方程組(2)的解的各種情形,便可知道原方程組(1)的解的情形.根據(jù)初等變換不改變矩陣秩的性質(zhì),有顯然,當方程組(2)中,則(2)中的第個方程 “”是矛盾方程，所以方程組(2)無解，從而原方程組(1)也無解.如果方程組(2)中,又有以下兩種情況：1. 當時，方程組（2）可以寫成 （3）因為，則滿足：依據(jù)克萊姆法則，方程組有唯一解.對于上述等價方程組（3）的解，除了利用克萊姆法則求解外，我們還可以從方程組(3)的最后一個方程中解出,再回代到第個方程,求出.

3、如此繼續(xù)下去,則可求出未知量.(2)當時,方程組(2)可改寫成(4)同樣對它進行回代過程,則可求出含有個未知量的表達式(5)由此可見,任給個未知量的一組值,就可定出的值,從而得到(4)或(1)的一個解.如果取,其中為任意常數(shù),則方程組(4)有如下無窮多組解：（6）這是（4）的無窮多解的一般形式，也是（1）的無窮多解的一般形式. 個未知量可稱為自由未知量.以上解還可以表達為向量形式：=+(5)也稱(5)式為方程組(1)的解向量.綜上所述,可得線性方程組解的判定理論.定理1 以為系數(shù)矩陣的元線性方程組,若記增廣矩陣為,則(1) 若,則線性方程組有唯一一組解;(2) 若,則線性方程組有無窮多組解;且

4、有個自由未知量;(3) 若,則線性方程組有無解.例1 已知線性方程組1. 求增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩； 2. 判別線性方程組解的情況，如果有解，則求出其解. 解 1) 對增廣矩陣作初等行變換,化成階梯型矩陣,可以同時得到增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩.解法如下:           則 秩.2) 因為,所以此線性方程組有唯一一組解.對所得階梯型矩陣再作初等行變換化成行最簡型,有              所以此方程組的唯一解為1. 求解

5、線性方程組 解 對增廣矩陣作初等行變換,化成行最簡型.            因為,所以,方程組有無窮組解.與原方程組同解的線性方程組為:將含未知量的項移到等式的右端,得設(shè)未知量,得方程組得通解為(為任意常數(shù))方程組得解也可以表示為向量形式:例3 求解線性方程組解 對增廣矩陣作初等行變換,化成行最簡型       因為 所以,方程組無解.例4 取何值時,線性方程組有解,并求其解.解  當時,方程組有唯一解當時, ,方程組有無窮多解.設(shè)(為任意常數(shù)),于是得

6、到方程組得通解為也可表示為向量得形式:例5 為何值時線性方程組1) 有唯一組解; 2) 有無窮組解; 3) 無解.解 對增廣矩陣施以初等行變換                       =1) 當且時, ,線性方程組有唯一一組解;2) 當時, ,線性方程組有無窮多組解;3) 當時, 線性方程組解.1. 齊次線性方程組 當線性方程組(1)的常數(shù)項均為零時,這樣的方程組稱為與線性方程組(1)對應(yīng)的齊次方程組.

7、其一般形式為（6）其中 為系數(shù)矩陣，為常數(shù)項矩陣.則（6）式可寫成向量方程（7）當然,增廣矩陣由于增廣矩陣的最后一列元素全為零,顯而易見恒有依據(jù)定理1,齊次線性方程組有解.若,則方程組(7)有唯一一組解,即有且只有零解；若，則方程組（7）有無窮組解，也就是除了零解外，還有非零解.上述結(jié)果可以敘述為如下定理定理2 對于個方程個未知量的齊次線性方程組,則有1）若秩,則齊次線性方程組有非零解；2）若秩,則齊次線性方程組只有零解.推論 當方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù),即時,則齊次線性方程組有非零解.對于個未知量個方程構(gòu)成的齊次線性方程組(7),根據(jù)克萊姆法則,當系數(shù)行列式值等于零時,也就是系數(shù)矩陣經(jīng)過初

8、等行變換化為階梯型矩陣必有零行,從而系數(shù)矩陣的秩因此此齊次線性方程組(7)有非零解,這一結(jié)論與第一章第四節(jié)的推論是一致的.那么,如何求解齊次線性方程組 方法與非齊次線性方程組相同,對方程組的增廣矩陣進行初等行變換,化成簡化的階梯型矩陣,再判斷有無非零解,若有非零解,再還原成同解的線性方程組后,即得方程組得解.例6 已知齊次線性方程組判斷有無非零解；1. 若有非零解，求解的一般解. 解 對增廣矩陣作初等行變換,化成簡化的階梯型矩陣,有         則 系數(shù)矩陣的秩, 所以方程組有非零解;得原方程組的同解方程組為即(為自由變量)令,得

9、方程組得解為方程組的解可寫成向量形式=1. 求齊次線性方程組的解 解 對增廣矩陣作初等行變換,化成簡化的階梯型矩陣,有                              容易看出,系數(shù)矩陣的秩,所以原方程組有非零組解.原方程組的同解方程組為若選擇為自由未知量,并設(shè)得(為任意實數(shù))也可表示為向量形式=視圖就是觀看工作的一種方式。為了便于設(shè)計者從不同的方式觀看自己設(shè)計的幻燈片，PowerP