內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 測(cè)試技術(shù) 第一章_信號(hào)及其頻譜分析-新版0221

1、第一章 信號(hào)及其頻譜分析測(cè)試工作的直接目的是為了獲得物理對(duì)象的狀態(tài)，或者運(yùn)動(dòng)特征信息，而信息是蘊(yùn)含于信號(hào)之中的。工程應(yīng)用中信息的分離與識(shí)別與信號(hào)分析與處理技術(shù)的水平密切相關(guān)。因此，學(xué)習(xí)有關(guān)信號(hào)的一些基礎(chǔ)知識(shí)是十分必要的。第一節(jié) 信號(hào)及其分類測(cè)試技術(shù)的主要任務(wù)就是利用測(cè)量系統(tǒng)或裝置精確地測(cè)量出各種被測(cè)物理量或被測(cè)參量。一般地說, 被測(cè)參量有三個(gè)特征, 即物理特征、量值特征、和時(shí)變特征, 分別反映被測(cè)參量的物理性質(zhì)、量值大小、和隨時(shí)間變化的情況。能否足夠精確地完成一次測(cè)量, 除和測(cè)量裝置的特性有關(guān)外, 和被測(cè)參量的這三個(gè)特征也是密切相關(guān)的。被測(cè)參量的物理性質(zhì)、量值大小對(duì)測(cè)量的影響較易理解, 而被測(cè)

2、參量的時(shí)變特征對(duì)測(cè)量的影響較為復(fù)雜, 本章將首先講述有關(guān)被測(cè)參量時(shí)變特征的基本概念和理論。 被測(cè)參量和信號(hào)是常見的兩個(gè)術(shù)語(yǔ), 它們即有關(guān)系又有區(qū)別。被測(cè)信號(hào)只涉及被測(cè)參量的量值特征和時(shí)變特征而不涉及其物理特征。由于本章是對(duì)被測(cè)參量的時(shí)變特征作一般性討論,與被測(cè)參量的物理特征無關(guān), 所以,一般情況下將使用(被測(cè))信號(hào)這個(gè)術(shù)語(yǔ)。 信號(hào)可從不同的角度進(jìn)行分類。例如按信號(hào)波形的形態(tài)可分為連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)，并簡(jiǎn)稱為連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)。 連續(xù)信號(hào)：若在所討論的時(shí)間間隔內(nèi)，對(duì)于任意時(shí)間值（除若干不連續(xù)點(diǎn)之外）都可給出確定的函數(shù)值，此信號(hào)稱為連續(xù)信號(hào)。連續(xù)信號(hào)的幅值可以是連續(xù)的，也可以是離散的(只取

3、某些規(guī)定值)。對(duì)于時(shí)間和幅值都是連續(xù)的信號(hào)又稱為模擬信號(hào)。見圖1-1a所示。 離散信號(hào)：離散信號(hào)在時(shí)間上是離散的，只在某些不連續(xù)的規(guī)定瞬時(shí)給出函數(shù)值，而在其它時(shí)間沒有定義，見圖1-1b所示。圖1-1 連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào) a) 連續(xù)信號(hào) b) 離散信號(hào) 對(duì)于連續(xù)信號(hào), 按其隨時(shí)間變化的不同又可分成如圖1-2 所示的各種信號(hào)。其中動(dòng)態(tài)信號(hào)是指幅值隨時(shí)間變化的信號(hào)而靜態(tài)信號(hào)是指幅值隨時(shí)間不變或變化非常緩慢的信號(hào)。 確定性信號(hào): 它可以用明確的教學(xué)關(guān)系來描述，對(duì)于指定的某一時(shí)刻可以確定一相應(yīng)的函數(shù)值，例如圖1-3所示的幾種信號(hào)。確定性信號(hào)又分為周期信號(hào)和非周期信號(hào)。 圖1-3 確定性信號(hào)a）準(zhǔn)周期信號(hào)

4、b）瞬態(tài)信號(hào)c）簡(jiǎn)諧信號(hào)d）復(fù)雜周期信號(hào) 周期信號(hào): 包括簡(jiǎn)單周期信號(hào)和復(fù)雜周期信號(hào)。簡(jiǎn)單周期信號(hào)即指簡(jiǎn)諧信號(hào)，而復(fù)雜周期信號(hào)是由和基頻成整數(shù)倍的簡(jiǎn)諧信號(hào)組合而成的周期信號(hào)。 非周期信號(hào): 包括準(zhǔn)周期信號(hào)和瞬態(tài)信號(hào)。準(zhǔn)周期信號(hào)是由一些不同頻率的簡(jiǎn)諧信號(hào)合成的信號(hào)，組成它的簡(jiǎn)諧分量中總會(huì)有其中兩個(gè)信號(hào)的頻率比值為無理數(shù)。復(fù)雜周期信 號(hào)的各簡(jiǎn)諧分量中任意兩個(gè)分量的頻率比都是有理數(shù)，這是準(zhǔn)周期信號(hào)與復(fù)雜周期信號(hào)的區(qū)別之處。瞬態(tài)信號(hào)是持續(xù)時(shí)間較短的各種脈沖函數(shù)或者衰減函數(shù)。 隨機(jī)信號(hào): 具有隨機(jī)特點(diǎn)，每次觀測(cè)的結(jié)果都不相同，無法用精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，更不能由此準(zhǔn)確預(yù)測(cè)未來的結(jié)果，而只能用概率統(tǒng)計(jì)的

5、方法來描述它的規(guī)律，所以此種信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)，也稱為非確定性信號(hào)。第二節(jié) 信號(hào)的時(shí)域描述與頻域描述 我們直接觀測(cè)或記錄的信號(hào)一般是隨時(shí)間變化的物理量，即以時(shí)間作為獨(dú)立變量，稱為信號(hào)的時(shí)間域描述，簡(jiǎn)稱時(shí)域描述。信號(hào)的時(shí)域描述只能反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間變化的特征，除簡(jiǎn)諧波外一般不能明確揭示信號(hào)的頻率組成成分。為了研究信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值大小、相位關(guān)系，應(yīng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，所謂頻譜分析就是對(duì)復(fù)雜時(shí)變信號(hào)按諧波進(jìn)行展開的過程。經(jīng)過這樣的分析變換后就可對(duì)信號(hào)做頻率域描述或簡(jiǎn)稱頻域描述了。簡(jiǎn)單地說，時(shí)域描述是指描述信號(hào)的坐標(biāo)圖中橫坐標(biāo)為時(shí)間 t，頻域描述時(shí)的橫坐標(biāo)則為頻率 f或圓頻率。 測(cè)試工

6、作中，儀表直接顯示或記錄的信號(hào)多數(shù)為時(shí)域信號(hào)，例如圖1-4 所示的周期方波信號(hào)。對(duì)這種時(shí)域描述方法大家是熟悉的, 下面就以該信號(hào)為例說明其頻域描述方法。 由付里葉級(jí)數(shù)對(duì)周期方波信號(hào)展開，得到： (1-1)中。 可見該周期方波是由無窮多個(gè)幅值和頻率不等，相角為零的正弦波疊加而成。圖1- 5直觀地展示了信號(hào)時(shí)域、頻域兩種描述間的關(guān)系。 在信號(hào)分析中, 將組成時(shí)間信號(hào)的各頻率成分找出來, 加以排列, 即為信號(hào)的頻譜。因?yàn)槊恳粋€(gè)頻率成分都以幅值大小和相位來表示，故以頻率為橫坐標(biāo)，分別以幅值和相位為縱坐標(biāo)來表示頻譜。也就是說一個(gè)信號(hào)的頻域描述需用幅頻譜和相頻譜同時(shí)描述。在圖1-5 的時(shí)域描述中示出了該周

7、期方波的時(shí)間域波形; 頻域描述中示出了幅頻譜和相頻譜及相互間的關(guān)系。若將圖1-4 的周期方波沿時(shí)間坐標(biāo)左移, 請(qǐng)考慮一下其頻域描述將發(fā)生怎樣的變化。 信號(hào)在不同域中的描述，只是為了在解決不同問題時(shí)，以使所研究的信號(hào)特征更為突出。例如在工程中為了評(píng)定機(jī)器的振動(dòng)烈度，需要振動(dòng)速度的均方根值來作為判據(jù)。這時(shí)的速度信號(hào)應(yīng)該選用時(shí)域描述。又如在機(jī)器的故障診斷中，為了尋找振源需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行 頻譜分析，即頻域描述。另外, 頻譜分析的概念和方法在設(shè)計(jì)測(cè)量系統(tǒng)、選擇測(cè)量?jī)x器和完成不失真測(cè)量等方面都有重要意義。時(shí)域描述直觀地反映信號(hào)隨時(shí)間變化的情況。頻域描述則反映信號(hào)的組成成分。同一信號(hào)無論選用那一種描述方法都含

8、有同樣的信息量，即只是兩種描述方法的相互轉(zhuǎn)換而并不增加新的信息。 圖1-5 周期方波信號(hào)的圖形描述 a) 時(shí)域和頻域描述 b) 1、3、5次諧波的疊加波形第三節(jié) 周期信號(hào)的頻譜分析 一、周期信號(hào) 周期信號(hào)的任意一個(gè)函數(shù)值都是依一定的時(shí)間間隔周而復(fù)始出現(xiàn)的，是無始無終的信號(hào)，它滿足下列關(guān)系式 (1-2)式中，為周期(正的常數(shù))。 如圖1-6 所示，由于周期信號(hào)是每隔一定的時(shí)間，按相同規(guī)律重復(fù)變化，因此，它在一個(gè)周期內(nèi)的特性可表征全時(shí)間域的特性。 二、周期信號(hào)的頻譜 由于簡(jiǎn)單周期信號(hào)的頻譜一目了然, 所以這里討論的是對(duì)復(fù)雜周期信號(hào)的頻譜分析。采用的數(shù)學(xué)工具是付里葉級(jí)數(shù)。 1. 三角形式的付里葉級(jí)數(shù)

9、 在數(shù)學(xué)上, 凡滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)x(t)都可展成三角形式的付里葉級(jí)數(shù)，即:丟失= 圖1-6 復(fù)雜周期信號(hào) 式中靜態(tài)分量或直流分量為 (1-4)余弦分量的幅值為 a0改為an (1-5)正弦分量的幅值為 (1-6)式中 周期； 基波圓頻率; 基波頻率; 。 令則式可寫為 (1-7a) 或，令則式可寫為 (1-7b) 比較式(1-3)和(1-7)可得展成余眩時(shí)，展成正眩時(shí)， (1-8) 式(1-3)表明，在滿足狄利赫利條件的情況下， 任何周期函數(shù)都可分解成靜態(tài)分量及許多正、余弦分量，即周期信號(hào)是由許多個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧信號(hào)迭加而成的。 由式(1-5)、(1-6)和(1-8)可知,各分量的幅

10、值及相角都是的函數(shù)。若以圓頻率或頻率為橫坐標(biāo)、幅值 或相角為縱坐標(biāo)，繪制成如圖1-7所示的線圖，則稱為頻譜。其中或圖稱為幅值譜。該圖直觀地表示出各頻率分量的相對(duì)大小。圖中各豎線段稱為譜線, 分別代表著各頻率分量的幅值。連接 圖1-7 復(fù)雜周期信號(hào)的頻譜示意圖各譜線頂點(diǎn)的曲線(如圖1-7中 (a)幅值譜 (b)相位譜 虛線所示) 稱為包絡(luò)線，它反映了各分量幅值的變化情況。由于是整數(shù)序列，相鄰頻率的間隔或,，即各頻率成分都是或的整數(shù)倍。通常把頻率為或的一次諧波分量稱為基頻或基波,頻率為等分量分別稱為二次諧波、 三次諧波等。同理，還可畫出各分量的相位對(duì)頻率或的線圖,該圖稱為相位頻譜或簡(jiǎn)稱相位譜。幅值

11、譜和相位譜的例子如圖1-7所示。 綜上所述，周期信號(hào)的譜線只會(huì)出現(xiàn)在 0，或等離散頻率點(diǎn)上，這種頻譜稱為離散譜，它完全揭示了信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)。 例1-1 求圖1-8中周期性方波信號(hào)的頻譜。 解 在的一個(gè)周期中可表示為 圖 1-8 周期性方波信號(hào) 顯然, 該函數(shù)滿足, 是奇函數(shù)。根據(jù)式(1-4)、(1-5)和(1-6)可計(jì)算出各付里葉系數(shù)為若希望展成式(1-7b)的形式, 根據(jù)式(1-8)得則 丟失=周期性方波信號(hào)的頻譜如圖1-9所示。各偶次諧波恰好落在幅頻譜的零值點(diǎn)上，所以它的頻譜只包含奇次諧波。幅值以的速度遞減。 圖 1-9 周期方波信號(hào)的頻譜圖 2.指數(shù)形式的付里葉級(jí)數(shù) 付里葉級(jí)數(shù)也可寫成指

12、數(shù)的形式，下面由三角函數(shù)形式的付里葉級(jí)數(shù)間接導(dǎo)出指數(shù)形式的付里葉級(jí)數(shù)。 根據(jù)歐拉公式 則式(1-3)可寫作 (1-9)令則 (1-10) 將上式中第一個(gè)指數(shù)項(xiàng)中用代替，則有 于是可以得到x(t)的指數(shù)形式的付里葉級(jí)數(shù)，即若將式(1-5)和(1-6)代入式(1-10)得由式(1-8)和(1-10)可以看出 與其它系數(shù)之間的關(guān)系為 (1-13) 同樣可畫出指數(shù)形式表示的信號(hào)的頻譜。因?yàn)橐话闶菑?fù)函數(shù), 所以稱這種頻譜為復(fù)數(shù)頻譜。又因?yàn)?，可以畫出復(fù)數(shù)的幅值譜和復(fù)數(shù)相位譜，如圖1-10a、b所示。若為實(shí)數(shù)時(shí)，可用的正負(fù)表示的，因此常把幅值譜和相位譜合畫在一張圖上，見圖1-10c所示。 由于(1-11)

13、中不僅包括正頻率項(xiàng)，而且含有負(fù)頻率項(xiàng)。因此，頻譜相對(duì)于縱軸左右對(duì)稱。 比較圖1-9和圖1-10可知，這兩種頻譜表示的方法實(shí)質(zhì)上是相同的，其不同之點(diǎn)只在于圖 1-9中每條譜線代表一個(gè)分量的幅值，而圖1-10中每條譜線代表一個(gè)分量幅值的一半。 在圖1-10出現(xiàn)的負(fù)頻率是由于將寫成指數(shù)形式時(shí)，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)自然分成和兩項(xiàng)，從而引入了項(xiàng)。因此，負(fù)頻率的出現(xiàn)完全是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，沒有任何物理意義。 三、周期信號(hào)的對(duì)稱性質(zhì)與付里葉系數(shù)的關(guān)系 為了在求周期信號(hào)頻譜時(shí)避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，下面簡(jiǎn)要地介紹有關(guān)周期信號(hào)的性質(zhì)與付里葉系數(shù)的關(guān)系。 若周期函數(shù) x(t) 是實(shí)函數(shù)，而且它的波形滿足某種對(duì)稱性質(zhì)，則在其付里

14、葉級(jí)數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn)，留下的各項(xiàng)系數(shù)的表示也變得比較簡(jiǎn)單。 例1-2 求圖1-11所示周期性三角波的頻譜。 圖1-11 周期性三角波 解 x(t)的一個(gè)周期中可表示為 信號(hào)波形對(duì)于縱軸是對(duì)稱的，且滿足即是偶函數(shù)。 因?yàn)橹械谋环e函數(shù)為偶函數(shù), 而中的為為奇函數(shù), 于是各付里葉系數(shù)為 所以 展開的付里葉級(jí)數(shù)中不含有正弦項(xiàng)，只含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。 通過對(duì)被積函數(shù)奇偶特性的分析, 根據(jù)定積分的性質(zhì)可以得出周期信號(hào)對(duì)稱性和付里葉系數(shù)的關(guān)系如下: (1) 波形以橫軸為中心線時(shí)，直流分量或常值分量為零，即； (2) 波形對(duì)稱縱軸或偶函數(shù)時(shí)，； (3) 波形相對(duì)于縱坐標(biāo)反對(duì)稱或奇函數(shù)時(shí)，。 例1-3 圖1-

15、12為周期性矩形脈沖信號(hào)，脈沖寬度為,幅值為，其周期為。此信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)學(xué)表示及圖形如下, 試求其頻譜。 解 1.展成三角形式的付里葉級(jí)數(shù)由圖可知該周期矩形脈沖信號(hào)是偶函數(shù)，故其三角形式的付里葉級(jí)數(shù)為 圖1-12 周期矩形脈沖信號(hào) 系數(shù)為 設(shè) 則 式中為抽樣函數(shù)或采樣函數(shù) (1-14)則周期矩形信號(hào)的三角形式付里葉級(jí)數(shù)為 , 或 (1-15) (2) 展成指數(shù)形式的付里葉級(jí)數(shù) 由式(1-12)可得 （1-16）所以 對(duì)式 (1-15), 如果給定或就可以求出直流分量、基波與各次諧波分量的幅值，它們?yōu)椋?因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，通常將幅值譜和相位譜合畫在一幅圖上，如圖1-13a所示。同樣，對(duì)式(1-1

16、6)也可畫出復(fù)數(shù)頻譜，如圖1-13b所示。由以上分析可知, 復(fù)雜周期信號(hào)的頻譜具有以下三個(gè)共同特點(diǎn): 1) 頻譜是由一根根離散的 圖1-13 周期矩形脈沖信號(hào)頻譜示意圖譜線組成的； 2) 每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，不存在非整數(shù)的頻率分量； 3) 各諧波分量的幅值隨諧波次數(shù)或頻率的增高而減小。 有時(shí)也把這三個(gè)特點(diǎn)概括成：離散性、諧波性、和收斂性。 第四節(jié) 非周期信號(hào)的頻譜分析 上節(jié)討論周期信號(hào)的付里葉級(jí)數(shù)，并得到了它的離散頻譜。本節(jié)將上述付里葉分析方法推廣到非周期信號(hào)中去，由此導(dǎo)出付里葉變換。 現(xiàn)仍以周期矩形信號(hào)為例，由圖1-14 可見，當(dāng)周期增大時(shí)，則相鄰譜線之間間隔 減小，即譜線變

17、密。若周期無限增大，則譜線間隔變?yōu)闊o限小，即趨于零值。這樣離散的頻譜變成了連續(xù)的頻譜。由式(1-12)可看出，隨周期增大，振幅值 也相應(yīng)的變小，周期趨于無限大時(shí),則振幅值趨于零。 這就是說按第二節(jié)所表示的譜線將失去應(yīng)有的意義。但從物理概念上考慮，既然成為一個(gè)信號(hào)，必然含有一定的能量，無論信號(hào)怎樣分解，其所含能量是不變的。所以不管周期大到什么程度，頻譜的分布依然存在。或者從數(shù)學(xué)角度看，在極限情況下，無限多的無窮小量之和，仍可等于一有限值，此有限值的大小取決于信號(hào)的能量。 根據(jù)上述原因，對(duì)非周期信號(hào)，引入一個(gè)新的概念來表示頻譜，即頻譜密度函數(shù)。以下從付里葉級(jí)數(shù)出發(fā)推導(dǎo)出付里葉變換，并說明頻譜密度函

18、數(shù)的物理意義。設(shè)有一個(gè)周期信號(hào) ，它的復(fù)數(shù)頻譜，如圖1-14所示。將展成指數(shù)形式的付里葉級(jí)數(shù)為 圖1-14 從周期信號(hào)的離散頻譜到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜其頻譜 兩邊乘以得到 (1-17) 當(dāng)重復(fù)周期時(shí)，原來的周期性矩形脈沖信號(hào)變成了非周期的瞬態(tài)信號(hào), 譜線間隔，而離散的頻率變成了連續(xù)變化的頻率。在這種極限情況下，但是，可望不趨于零，而趨于有限值，且變成一個(gè)連續(xù)函數(shù)，通常記作或即 在這個(gè)量中，反映單位頻帶的頻譜值頻譜密度函數(shù)，或簡(jiǎn)稱為頻譜函數(shù)。如果以的幅值為高, 以間隔為寬畫出一個(gè)小矩形, 如圖1-14c 所示，則該小矩形的面積等于頻率處頻譜值。這樣式(1-17) 在非周期信號(hào)的情況下變成 即 (

19、1-18) 同樣，付里葉級(jí)數(shù) 因?yàn)樽V線間隔，上式可改寫為在周期趨近于無限大的極限情況下，上式各量應(yīng)作如下改變：于是，付里葉級(jí)數(shù)變成積分形式，得 (1-19)式(1-18)、(1-19)是用周期信號(hào)的付里葉級(jí)數(shù)通過極限的方法導(dǎo)出的非周期信號(hào)的表達(dá)式,稱為付里葉變換。通常式(1-18)稱為付里葉正變換，式(1-19)稱為付里葉逆變換，兩者互稱為付里葉變換對(duì)，通常表示為 將代入式(1-18)、(1-19) 則有 (1-20) (1-21)因此就避免了在付里葉變換中出現(xiàn)常數(shù)因子而使公式簡(jiǎn)化。 一般是實(shí)變量的復(fù)函數(shù)，可寫為 其中是的模，它代表信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大小。是的相位函數(shù)，它表示信號(hào)中各頻率分

20、量之間的相位關(guān)系。習(xí)慣上也把與曲線分別稱為非周期信號(hào)的幅值頻譜與相位頻譜。由例1-4 可知，它們都是頻譜的連續(xù)函數(shù)，在形狀上與相應(yīng)的周期信號(hào)頻譜包絡(luò)線相同。 上面的討論中是利用周期信號(hào)取極限變成非周期信號(hào)的方法，由周期信號(hào)的付里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出付里葉變換，從離散頻譜演變?yōu)檫B續(xù)頻譜。這一過程還可以反過來進(jìn)行，亦即由非周期信號(hào)演變成周期信號(hào),從連續(xù)頻譜引出離散頻譜。這說明了周期信號(hào)與非周期信號(hào)，付里葉級(jí)數(shù)與付里葉變換，離散頻譜與連續(xù)頻譜在一定條件下可互相轉(zhuǎn)化統(tǒng)一起來。 需要指出的是，前面推導(dǎo)付里葉變換時(shí)并未遵循數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格步驟。從理論上講, 付里葉變換也應(yīng)該滿足一定的條件才能存在。付里葉變換存在的充分

21、條件是在無限區(qū)間內(nèi)滿足絕對(duì)可積條件，即要求積分收斂 。嚴(yán)格的推導(dǎo)請(qǐng)參閱數(shù)學(xué)專著。 例1-4 求圖1-15所示矩形沖擊信號(hào)的頻譜。 解 根據(jù)式1-18 得故因 ；即 圖1-15 矩形沖擊信號(hào)所以 就表示了頻譜密度函數(shù)值和相角隨頻率的變化情況。 圖1-16 矩形沖擊信號(hào) 非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻譜, 并且頻譜密度函數(shù)的值隨頻率的增高而減小, 即也具有收斂性。 在以上頻譜分析的基礎(chǔ)上，下面介紹測(cè)試實(shí)踐中在設(shè)計(jì)、選擇傳感器或者測(cè)試系統(tǒng)時(shí)經(jīng)常遇到的一個(gè)問題，即如何確定被測(cè)信號(hào)的頻率范圍。 無論是周期還是非周期信號(hào), 都可以利用頻譜分析的方法分解成一系列的諧波分量, 即任一確定性信號(hào)都可看成是一系列諧波分

22、量的和或積分。由于信號(hào)的頻譜都具有收斂性, 所以說信號(hào)的能量基本上是由低頻段各諧波信號(hào)的能量組成或者說頻率越高的諧波分量對(duì)信號(hào)構(gòu)成的影響就越小。上述基本概念，是理解和分析后面問題的基礎(chǔ)。測(cè)試前利用這一概念，可初步估算被測(cè)信號(hào)的頻率范圍，以作為設(shè)計(jì)測(cè)量系統(tǒng)或(和)選擇測(cè)量?jī)x器的依據(jù)。處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)也可利用這一概念, 根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果利用圖解法或頻譜分析儀可直接求出各諧波分量或頻譜圖。 由以前的頻譜分析可知, 一般情況下, 信號(hào)的頻率范圍是 0= 。顯然, 任何一個(gè)測(cè)量系統(tǒng)或儀器都不可能在如此大的頻率范圍內(nèi)正常工作。測(cè)試實(shí)踐中是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來選取一個(gè)信號(hào)的頻率范圍，然后在根據(jù)信號(hào)的這個(gè)頻率范圍來設(shè)計(jì)或選擇

23、測(cè)試系統(tǒng)和儀器。如果這個(gè)范圍選擇的合適，最后顯示或記錄的信號(hào)就具有足夠的精度。確定信號(hào)頻率范圍的經(jīng)驗(yàn)方法如下： (1) 復(fù)雜周期信號(hào)時(shí)：，其中，為周期; (2) 瞬態(tài)非周期信號(hào)時(shí): 頻率范圍為0n ,其中n = 45 , 為瞬態(tài)信號(hào)的持續(xù)時(shí)間。 按照由上面給出的n 值所確定的信號(hào)頻率范圍進(jìn)行測(cè)量, 可滿足機(jī)械工程中一般測(cè)試目的中對(duì)測(cè)量結(jié)果的精度要求。還有其它影響測(cè)量精度的原因, 這些將在以后介紹。 周期信號(hào)的基波頻率是1/T, 當(dāng)n取7時(shí), 就意味著忽略了7次以上的各高次諧波, 記錄的波形是7 次諧波及其以下各次諧波和直流分量的疊加。對(duì)于非周期信號(hào), 其主要頻率為f1/。顯然, 當(dāng)要完成更高精

24、度的測(cè)量時(shí), 在確定信號(hào)頻率范圍時(shí)可選取較大的n值。第五節(jié) 信號(hào)的相關(guān)分析一、信號(hào)的幅值表示1. 均值、方差、均方值信號(hào)的均值是函數(shù)在整個(gè)時(shí)間坐標(biāo)上的積分平均，即： (1-69) T觀測(cè)時(shí)間。其物理含義是表達(dá)了信號(hào)變化的中心趨勢(shì)。信號(hào)的方差是去除均值后的均方值，即： (1-70)方差是信號(hào)幅值相對(duì)于均值分散程度的一種表示，其物理含義是偏離均值的波動(dòng)分量的強(qiáng)度。信號(hào)均方值是樣本函數(shù)平方的均值，即： (1-71)其物理含義是表達(dá)了信號(hào)的平均功率或能量。均方值的正平方根稱為均方根值，又稱有效值。它也是信號(hào)平均能量的一種表達(dá)。 (1-72)均值、方差和均方值之間的關(guān)系： (1-73) 二、信號(hào)的相關(guān)分

25、析1.相關(guān) 應(yīng)用極為廣泛的一種時(shí)域分析方法（1）自相關(guān)函數(shù)的定義信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)(或)定義為:與做時(shí)移后的函數(shù)的乘積后再做積分平均運(yùn)算，即： （1-79）注：T表示信號(hào)長(zhǎng)度。實(shí)際應(yīng)用中總是取有限長(zhǎng)度信號(hào)。例1-4求正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)。解：根據(jù)定義，有 （對(duì)于三角函數(shù)可以將T理解為周期）結(jié)論：1、正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù)，在有最大值1/2；2、它保留了原正弦函數(shù)的頻率信息，但丟掉了共同的初始相位信息;（3）自相關(guān)函數(shù)能夠撿出信號(hào)中的周期成分。通過自相關(guān)分析課堂實(shí)驗(yàn)可以完成以下學(xué)習(xí)內(nèi)容： 解釋算法，體會(huì)變量的作用和意義； 讀入第12列數(shù)據(jù)，驗(yàn)證例1-4的兩條結(jié)論；用第6列數(shù)據(jù)展示其撿出

26、周期信號(hào)的功能。3.信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)（1）互相關(guān)函數(shù)的定義信號(hào)、的互相關(guān)函數(shù)定義為： （1-81）2) 在處出現(xiàn)峰值，峰值偏離原點(diǎn)的位置反映了兩信號(hào)相互錯(cuò)開多長(zhǎng)時(shí)間，其相關(guān)程度最高，如圖（1-27）所示； 相關(guān)分析可實(shí)現(xiàn)同頻成分的檢測(cè)，感官上就是波形相似性的度量，函數(shù)值的大小表示這些同頻成分在信號(hào)中所占的功率大小。4.信號(hào)相關(guān)分析在工程中的應(yīng)用1） 管道漏損位置探測(cè) 圖1-28為探測(cè)地下輸油管漏損位置的示意圖。若是聲波沿管道傳播的速度，在輸油管兩側(cè)表面放置2個(gè)傳感器，因它們的位置距離漏損處不等，則應(yīng)力波傳至兩傳感器就有時(shí)差，采集兩振動(dòng)信號(hào),，得到最大值對(duì)應(yīng)的,則泄漏點(diǎn)距中心的距離為 圖1-28

27、確定輸油管道漏損位置 2）相關(guān)測(cè)速圖1-29所示是基于相關(guān)分析的在線測(cè)量熱軋鋼帶速度的實(shí)例。光電池 光電轉(zhuǎn)換傳感器。光電池輸出的電信號(hào)是反映鋼板表面亮度隨機(jī)信號(hào)、。經(jīng)互相關(guān)處理，其的曲線在時(shí)差處出現(xiàn)峰值，說明信號(hào)、是僅有時(shí)差的非常相似的信號(hào)。熱軋鋼帶的運(yùn)動(dòng)速度為。原理示意圖相關(guān)值顯示延時(shí)讀出圖1-17 利用相關(guān)分析法進(jìn)行相關(guān)測(cè)速5.相關(guān)系數(shù)函數(shù)信號(hào)、本身的取值大小將導(dǎo)致其相關(guān)函數(shù)值的大小受影響，于是不同的成對(duì)信號(hào)的相關(guān)程度做比較時(shí)就不具有可比性。為了避免這一現(xiàn)象而將相關(guān)函數(shù)作歸一化處理，引入無量綱的相關(guān)系數(shù)函數(shù)。 互相關(guān)系數(shù)函數(shù)定義： （1-83）取值區(qū)間是-1,1。的值與、相關(guān)程度的關(guān)系如下

28、：1），說明、完全相關(guān)； 補(bǔ)充：，兩信號(hào)變化規(guī)律相同，但相位相反；2），說明、完全不相關(guān)；3），說明、部分相關(guān)。延伸問題： 三角函數(shù)的正交性 不同頻率三角函數(shù)的積分等于零； 傅氏變換和相關(guān)分析的關(guān)系都是基于三角函數(shù)正交性原理的算法； 相關(guān)分析的應(yīng)用范圍和價(jià)值 解決測(cè)速等工程技術(shù)問題，但更重要的是用于認(rèn)識(shí)事物間的聯(lián)系和行為規(guī)律。第六節(jié) 數(shù)字信號(hào)的處理與應(yīng)用 實(shí)際應(yīng)用中一般是通過信號(hào)采集設(shè)備得到模擬信號(hào)的離散數(shù)據(jù)序列，然后根據(jù)具體的信號(hào)處理任務(wù)使用計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)施各種運(yùn)算。 （請(qǐng)參閱第六章）1 離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform，簡(jiǎn)稱DFT） 已知在連續(xù)信號(hào)條

29、件下的FT式為 工程實(shí)際中，實(shí)測(cè)信號(hào)難以解析表達(dá)和長(zhǎng)度無限性使得該式不具備可操作性。則相應(yīng)的DFT為 (1-6-1)x(n) 長(zhǎng)度為N的時(shí)域離散信號(hào)；X(k) 離散頻域信號(hào)，稱為信號(hào)x(n)的頻譜。簡(jiǎn)諧信號(hào)的頻譜與泄漏 設(shè)有一數(shù)字信號(hào)x(n)，每個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)為100，幅值為1。 當(dāng)信號(hào)的截?cái)嚅L(zhǎng)度N取定值、數(shù)字頻率k為變量時(shí)，X(k)表示信號(hào)x(n)在頻率點(diǎn)k上對(duì)應(yīng)的幅值,那么可將信號(hào)的幅值看作是信號(hào)頻率k的函數(shù)。根據(jù)公式(1-6-1)可做出信號(hào)的幅值譜。圖118 正弦信號(hào)不同截?cái)鄺l件下的幅值譜 (a) 時(shí)域波形及7個(gè)周期截?cái)嗪?.3個(gè)周期的簡(jiǎn)諧信號(hào)截?cái)啵?(b) 整周期截?cái)鄷r(shí)簡(jiǎn)諧信號(hào)的DF

30、T幅值譜； (c) 非整周期截?cái)鄷r(shí)簡(jiǎn)諧信號(hào)的有泄漏DFT幅值譜；一維DFT分析存在的問題：某些簡(jiǎn)諧分量的非整周期截?cái)鄬?dǎo)致： N/2個(gè)離散的頻率不能準(zhǔn)確表達(dá)部分簡(jiǎn)諧分量的實(shí)際頻率值，即給出的頻率值存在誤差并伴隨虛假頻率成分的展示； 頻譜泄漏將導(dǎo)致顯著的頻率誤差、幅值誤差。任意譜線表示的工程頻率計(jì)算 設(shè)： 采樣時(shí)間為，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為，任意數(shù)字頻率為，則待求工程頻率為： 例如：已知數(shù)據(jù)采集卡的采樣時(shí)間 ，DFT采用1980個(gè)數(shù)據(jù)，請(qǐng)問第16根譜線代表的實(shí)際頻率是多少？解答：根據(jù)題意有2、DFT應(yīng)用頻譜分析在機(jī)械、電信、生物醫(yī)學(xué)等許多工程領(lǐng)域有重要而廣泛的應(yīng)用。圖1-19，圖1-20給出的是車用發(fā)動(dòng)機(jī)的

31、振動(dòng)實(shí)測(cè)信號(hào)及其幅值譜。根據(jù)該頻譜可以了解氣缸內(nèi)燃燒、曲軸、凸輪軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)引起的振動(dòng)頻率和強(qiáng)度，估計(jì)各個(gè)部分對(duì)振動(dòng)的貢獻(xiàn)。從而為改進(jìn)設(shè)計(jì)控制振動(dòng)和噪聲，或者故障的在線診斷提供依據(jù)。 振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)的硬件組成 圖1-19 實(shí)測(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)圖1-20 實(shí)測(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)的幅值頻譜第七節(jié) 二維DFT譜的概念及應(yīng)用1 二維DFT譜的概念設(shè)簡(jiǎn)諧信號(hào)的離散序列為 ，周期，表示一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。以下是該信號(hào)在3種不同截?cái)嚅L(zhǎng)度時(shí)由獲得的幅頻譜： 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，包含周期數(shù)個(gè)周期； ，； ，。圖1-21 信號(hào)長(zhǎng)度與DFT幅值譜從圖中可以看出，除了主譜線以外，其它頻率點(diǎn)上都存在著一系列的非零譜線，即產(chǎn)生了通常意義

32、下的頻譜泄漏。另外還有一種情況就是每個(gè)泄漏譜線的幅值隨著時(shí)域信號(hào)截?cái)辔恢玫牟煌兓?，例如頻譜中的3個(gè)具有不同的幅值。 顯然，每根譜線的大小與數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N和數(shù)字頻率K有關(guān)，即有當(dāng)數(shù)字頻率K和數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N都是變量時(shí)，該式在KN平面上定義了一個(gè)二維DFT譜。 圖1-22 近似方波的一維幅頻譜和二維DFT幅值譜圖1-23 強(qiáng)噪聲信號(hào)的二維DFT幅值譜2 二維DFT譜的特點(diǎn) 通過對(duì)單頻信號(hào)及多頻信號(hào)在非整周期截?cái)嗲闆r下、含噪聲情況下一維幅值譜、二維譜的對(duì)比，可知二維譜具有以下特點(diǎn)：(1) 每個(gè)頻率成分的無泄漏幅值將多次出現(xiàn)，并且排列在一條直線上。直線的高度表示該頻率成分的幅值；(2) 由局部極大值構(gòu)成的連

33、線代表一個(gè)頻率成分，頻率值可由該直線的方向角確定；(3) 不受泄漏成分的干擾，避免對(duì)頻率成分的誤讀誤判。具有一定抗噪能力，在SNR低至 -10dB時(shí)，仍然能夠有效判斷信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)；(4) 需要處理的數(shù)據(jù)量成倍增加。二維DFT譜是一維DFT頻譜的擴(kuò)展，對(duì)信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)可以展示的更為準(zhǔn)確和完整。3 二維DFT譜的應(yīng)用 這里介紹一個(gè)基于二維DFT頻譜技術(shù)的小客車內(nèi)部噪聲分析實(shí)例。測(cè)試過程分別采集怠速、30km/h、60km/h、90km/h、120km/h下的車內(nèi)噪聲數(shù)據(jù)，現(xiàn)以30km/h速度下所采集到的數(shù)據(jù)為例，說明二維DFT譜在車內(nèi)噪聲信號(hào)頻譜分析中的應(yīng)用。從30km/h速度下所采集到的數(shù)據(jù)中截取5000個(gè)數(shù)據(jù)，做二維DFT譜，所得頻譜圖如圖1-24所示。圖1-24 時(shí)速30km時(shí)車內(nèi)噪聲信號(hào)的二維DFT圖根據(jù)汽車的三大主要噪聲源可知：頻譜圖中A區(qū)主要是風(fēng)噪頻譜；而B區(qū)為發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲區(qū)，其中有一個(gè)幅度最高的“山脊”是發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒過程引起的振動(dòng)噪聲；相對(duì)獨(dú)立的C區(qū)是胎噪，由凹凸不平的路面和輪胎花紋的沖擊形成。信號(hào)測(cè)試中數(shù)據(jù)采集卡設(shè)置的采樣頻率，由此可計(jì)算單位數(shù)字頻率所代表的實(shí)際頻率。 則發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒頻率為。同理可確定三種噪聲的基本頻率范圍為：風(fēng)噪為026Hz；發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲2644Hz，胎噪76100Hz。 在確定了三種噪聲（風(fēng)噪、發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲、胎噪）頻帶范圍的基礎(chǔ)上就可以分別計(jì)算不同速度下