使用遺傳算法對滾動軸承進行多目標設計優(yōu)化

1、 使用遺傳算法對滾動軸承進行多目標設計優(yōu)化Shantanu Guptaa Rajiv Tiwarib, and Shivashankar B. Naira, a. 印度理工大學，計算機科學與工程系；印度，阿薩姆邦 781039.b. 印度理工大學，機械工程系；印度，阿薩姆邦 781039.接收：2006.3.8 修訂：2006.9.6 錄用：2006.10.2 可引用：2006.12.28 摘要滾動軸承的設計要滿足很多不同的約束，如幾何、運動學以及力量，同時還要性能優(yōu)良、壽命長、可靠性高。這個需要一個最優(yōu)的設計方法來實現這些目標集體,即多目標優(yōu)化。在本文中,一個滾動軸承三個主要的目標,即動態(tài)載

2、荷Cd)、靜態(tài)載荷(Cs)和流體最小膜厚(Hmin)已經分別進行了優(yōu)化,同時采用了先進的雙向的多目標優(yōu)化算法:NSGA II(單程排序遺傳算法為基礎)。這些多種目標是滾動軸承的績效衡量,彼此競爭給我們一個交換地區(qū)即他們成為“同時最優(yōu)”,即帕累托最優(yōu)。為了觀察軸承性能參數的變化,我們完成了一個各種設計參數敏感性分析，結果表明,除了內溝曲率半徑,沒有其他設計參數對性能參數有不利影響。 關鍵詞：滾動軸承；多目標進行優(yōu)化；NSGA II；機械設計；敏感性分析； 文章概要：1.引言2滾動軸承的宏觀幾何圖形3. 滾動軸承設計的問題公式化3.1設計參數3.2.目標函數3.2.1 動態(tài)載荷（Cd）3.2.2

3、彈流最小膜厚（Hmin）3.2.3 靜態(tài)載荷（Cs）3.3 約束條件4多目標優(yōu)化5.應用和結果5.1.NSGA II算法實現及應用5.2.參數靈敏度分析5.3.貢獻6.總結附錄A.附錄附錄B. Hmin with Q的靈敏度參考文獻1 引言作為一種重要的組件在大多數的機械和航空航天工程領域被廣泛使用。家眷電器、汽車、航天、航空、微-納米機應用程序的發(fā)展促進了滾動軸承的設計的技術進步。這種動機的設計工程師提出一個設計技術,使持久的、更高效和可靠的軸承設計。這些目標很難滿足,從而使這一數值成為富有挑戰(zhàn)性的問題。此外,我們需要優(yōu)化它們集體。數值的韌性以及優(yōu)化它們的需求共同保證了一個應用進化多目標優(yōu)化

4、。優(yōu)化目標函數是動態(tài)能力(Cd)、靜態(tài)容量(Cs)和流體最小膜厚(Hmin)。由于上述韌性的問題，已經很少有優(yōu)化這些目標的嘗試了。許多研究已經報道了各種機器元素的優(yōu)化工作,然而,很少有文獻可在滾動軸承的優(yōu)化方面進行闡述。Asimow在長度和直徑的徑向軸承的最優(yōu)化設計時使用了牛頓迭代法，這是支持一個給定負載和一定的速度。目標函數是要最小化加權和的摩擦損失以及軸輪轉。Seireg和Ezzat2利用一個基于梯度搜索優(yōu)化軸承長度、徑向間隙和平均粘度的潤滑劑。目標函數被選擇用來最小化軸承潤滑劑使用量的加權和及其溫升。Maday和Wylie使用有界變量微積分的方法來來確定水動力軸承的最優(yōu)配置。以軸承的最大

5、負荷能力來選擇設計標準。Seireg回顧一些在設計機械元素和系統(tǒng)中使用優(yōu)化技術的說明性的例子。這些包括齒輪、徑向軸承、旋轉圓盤、壓力容器、軸彎曲和扭轉,梁下受縱向影響和問題的彈性接觸和負載分布。Hirani 等人的設計方法提出了一種發(fā)動機軸頸軸承。徑向間隙和軸承長度的選擇過程被最小膜厚、最大壓力和最高溫度所限制。所有上述的文獻主要關注徑向軸承設計。然而,內部幾何圖形的徑向軸承遠比滾動軸承的簡單。Changsen描述了通過使用基于梯度數值對滾動軸承進行優(yōu)化的一種設計方法。他建議到,滾動軸承的五個目標函數設計:最大疲勞壽命,最大磨損壽命,最大靜態(tài)負荷等級,最低摩擦力矩和最低自旋滾比。多目標滾動軸承

6、優(yōu)化的概念也被提出了。只有基本的概念和優(yōu)化問題的解決技術沒有任何插圖。滾動軸承最優(yōu)化的目標函數在本質上是非線性的，此外,與幾何和運動學約束也有聯系。Choi 和Yoon通過考慮最大化的生活單位為目標函數，使用氣體優(yōu)化汽車輪軸承單元。Periaux討論了天然氣的應用到航空和渦輪機械。Chakraborthy等人通過基于需求的最長疲勞壽命使用氣體，描述了設計優(yōu)化問題的滾動體軸承的5個設計參數。他們提出了軸承內部幾何參數源于不同的軸承邊界尺寸。該方法的主要限制是使用單目標函數和一些約束條件是不現實的。裝配角度被認為和其他約束的值常量都被選擇(任意)固定來解決優(yōu)化問題。最近,Rao和Tiwari開發(fā)了

7、一種滾動軸承設計方法，是在氣體的幫助下將改進和現實的約束加進單目標優(yōu)化。一個工作在多目標優(yōu)化設計的滾動軸承需要加權組合這些個體目標函數即動態(tài)能力、靜態(tài)能力和最小膜厚。多目標問題被轉化為標量優(yōu)化問題。本工作在求解標量優(yōu)化問題的約束時利用了確定性和隨機算法。作為確定性方法，當模擬退火和遺傳算法作為隨機方法，內部罰函數法也被使用。這種相結合的多重“競爭”目標和優(yōu)化得到的標量目標的方式有一些明顯的缺點。（1）一個算法的運行將給只有一個權衡點（2）解決非凸點前無法取得平衡（3）沒有為每個目標函數的存在選擇權重的標準。本文提出的工作處理所有這些問題。任何基于組合方法的重量都有缺點就像未知的選擇不同目標的權

8、重,得到一個點上運行,和不能探索非凸區(qū)域的權衡,即帕累托前沿。因此,需要使用一個更好的多目標(進化)算法(MOEA)解決這一問題。Coello給了一個關于MOEA的調查。另一項調查中給出了Zitzler博士論文的理論。因為nsga II(基于遺傳算法的單程排序精英II)低的計算需求,精英的方法,參數少共享方法；它被選為該算法測定之間的權衡競爭的表現,即產生帕累前沿。本文的組織結構如下：第二部分：介紹了滾動軸承的基本幾何。第三部分：問題的數學模型為一組目標函數、設計參數和約束。第四部分：介紹了多目標優(yōu)化的概念,論述了確定性或隨機方法是否更適合這個問題。第五部分：詳細介紹了應用方法,優(yōu)化結果和敏感

9、性分析。第六部分：總結了目前的工作,其次是重要的參考。取得了滿意的結果,并給出一個好的洞察的優(yōu)缺點以及它們之間的滾動軸承的性能的措施。除了數值意義得到的最優(yōu)解,這些結果可以幫助我們更好的理解參數的有效設計及背后的滾動軸承。2. 滾動軸承的宏觀幾何圖形 滾動軸承有一個簡單的外部幾何,但其內部幾何形狀可以對應力的數量、撓度和它可以處理的應在分布產生各種不同的影響。因此,內部幾何可以直接影響軸承的壽命和性能。圖1顯示了一個典型滾動軸承的常見術語。 圖1宏觀幾何圖形的一個徑向滾珠軸承。用最簡單的形式,一個軸承的幾何形狀可以定義為三個維度,即邊界,內徑(d),外直徑(d)和軸承寬度(Bw)。這些邊界尺寸

10、已經標準化。幫助定義完整的內部幾何的一個給定的滾動軸承(即對于給定的邊界尺寸)的參數是球直徑(Db),節(jié)圓直徑的軸承(Dm),內外滾道曲率系數(fi和fo),和數量的滾動元素(Z)。3滾動軸承設計的公式化我們試圖找出完整的內部幾何形狀(如球和螺距直徑,內外滾道曲率系數,和數量的滾動元素)的軸承(指定的標準軸承邊界尺寸),而優(yōu)化其性能特點和整體壽命。存在不止一個目標會使問題進入域的多目標優(yōu)化。任何約束多優(yōu)化優(yōu)化問題實際上是由三部分組成,即設計參數,目標函數和約束條件(定義可行設計參數空間)。我們在以后的章節(jié)中簡潔討論這些組件目前的問題。3.1 設計參數設計參數向量可以寫成:X=Dm,Db,Z,f

11、i,fo,KDmin,KDmax,e, （1）而， （2）確定軸承內部的幾何圖形的參數是Dm,Db,Z,fi和fo (見附錄一的術語)。然而,KDmin,KDmax,e和屬于約束的部分(參考章節(jié)3.2和3.3節(jié)),不代表任何直接測量軸承內部的幾何圖形。后者通常保持不變而設計軸承7,但目前情況下這些次要參數也視為變量。由于靈活性和魯棒性提出的采用基于遺傳算法的方法已經成為可能。所有角度是用弧度來度量的,尺寸使用毫米除了最小膜厚(Hmin)測量時用微米和牛頓(N)。裝配角度(o)的一個軸承(見圖2)也形成一個重要的約束數的滾動的元素?；趲缀瓮茖Я?1,可以得出以下公式為裝配角度,此時，T=D-d

12、-2Db.（4）圖2. 一個顯示裝配角度的滾動軸承。3.2.目標函數 正如前面提到的,有三個重要的滾動軸承性能的績效評估。這些即是動態(tài)容量(Cd),最小膜厚(機構)和靜態(tài)容量(Cs)。它們必須同時最大化,獲得最佳性能的軸承。接下來的部分將對這些性能參數進行更詳細的討論。3.2.1.動態(tài)電容（Cd）滾動軸承在不同目的下動態(tài)能力(Cd)是最重要的,因為這是直接形成軸承最長疲勞壽命的基礎。動態(tài)能力,也被稱為動態(tài)負載評級,被定義為“恒徑向載荷,是一群完全相同并可以持續(xù)內環(huán)一百萬年的轉數的軸承(用于固定負載和固定外環(huán))”。表示為7： （5）此時， =Dbcos/Dm. （7） 這里的因素并不是一個獨立的

13、參數。對于當前的討論中,深溝球軸承一直認為,接觸角,是零。因此,= Db / Dm。仔細檢查Eq。（5）可以觀察到,動態(tài)能力取決于(2/3)rd的力量數量的滾子和1.8次方球的直徑。因此,在優(yōu)化中，我們期望的最大可能的球直徑將帶給我們更好的動態(tài)能力。此外,由于更大的球直徑,少數量的球將被容納在一個給定的空間。動態(tài)能力可以由旋轉原理及競爭時發(fā)生在接觸區(qū)之下的八面體剪應力來推導出。因此,應該指出的是,約束相關的強度與剪切應力不會出現,尤其是在約束部分。3.2.2. 彈流最小膜厚(Hmin) 另一個關于滾動軸承的非常重要的要求是最長磨損壽命。這直接關系到潤滑劑的最小膜厚(Hmin),因為它避免了滾動

14、軸承里滾動基礎與跑道間金屬與金屬之間的接觸。彈性流體動力的潤滑（EHL）理論成功地預測到最小膜厚7?？紤]到要求的低磨損,theoptimisation問題旨在最大化給定的軸承邊界尺寸的最小膜厚。 公式分別適用于Hmin的內部和外部; 因此,為了達到最好的效果,我們最大限度地少的兩個。在Eq（8）中，環(huán)可以承擔內部或者外部作用；看看在Eq(9)中的用法。最小膜厚度的完全目標函數可以這樣給出： Hmin=min(Hmin,inner,Hmin,outer) （9）此時i代表行數。目前情況下,已考慮到單列深溝滾動軸承此時i等于1。子表達式用于最終的目標函數如下所列 （10） （11） （12）應該指

15、出的是,自然的方程式(8)和(10)近似而且使用他們時應當謹慎。然而,一個完整的負載分布分析(即找到最高負荷,Q)基于彈流潤滑(EHL)綜合方法(即同時獲得機構)遇到的困難7固有的收斂問題時在計算上非常昂貴,更不用說,它是為一個單一的解決方案。在優(yōu)化設計時實施這一分析,將是非常困難的而且在計算時間方面也是不可行的,因為它要求此類分析的軸承要執(zhí)行超過幾十萬次(在本案中)。另一個也應該注意這些方程式。(8)和(10)對彈流最小膜厚度和最大負荷給出了保守的估計。3.2.3.靜態(tài)載荷（Cs） 基本額定載荷(Cs)(或靜態(tài)容量)的滾動軸承的定義是“荷載加到一個非旋轉軸承,將導致永久變形發(fā)生位置的最大加載

16、滾動體”。靜態(tài)容量被定義為內部以及外部水溝。目標函數取兩個值的最小值,并將其最大化。這種方法類似于一個用于Hmin。 （13） Cs=min(Cs,inner,Cs,outer) （14）根據推導的靜態(tài)容量最大接觸應力發(fā)生在滾動體和軌道。因此,約束相關的接觸應力將不會明顯地反映在約束上。3.3.約束條件約束使得參數空間減小到可行的參數空間。本節(jié)總結了9個問題的約束。除了幾何約束,我們在一個給定的軸承還保持一個直觀的約束球的數量。第一個約束,最大折扣組裝角是11 （15）這建立在軸承裝配和球數數量上的方便，可以插入在之間的內部和外部的軌道上。組裝角（o)在Eq(3)里出現，其中有重要的設計變量。

17、球的直徑通過下列約束有一個上界和下界。2Db-KDmin(D-d)0,(16)KDmax(D-d)-2Db0.(17)此外,一個基于軸承寬度額外的約束限制了球的最大容許直徑,是Bw-Db0.(18)為了保證運行流動的軸承,我們必須確保在一個軸承中節(jié)圓直徑和平均直徑之間的差異應小于一定值。內圈的厚度也必須超過外環(huán)的厚度,因此,Dm-0.5(D+d)0(19)(0.5+e)(D+d)-Dm0.(20)在外層水溝底一個軸承套圈的厚度不應少于參數D,這個參數是考慮到外環(huán)而得到簡單的強度。約束條件是，0.5(D-Dm-Db)-Db0.(21)曲率半徑的槽的內部和外部的調心軸承不應小于0.515分貝7,這

18、確保了滾動體滾在沒有任何干擾的自由調。因此，fi0.515,(22)fo0.515.(23)4.總結 本文的程序優(yōu)化,提出了滾動軸承設計。這個優(yōu)化問題具有以下特點:非線性和多目標以及受到限制。靜態(tài)和動態(tài)能力和流體最小厚度一直作為目標函數最大化。約束在本質上主要是運動學。NSGA II(單程排序遺傳算法為基礎)已經應用到目前的問題。以下的結論可以得出目前的結果:動態(tài)和靜態(tài)能力同時進行優(yōu)化。參數用于約束方程(KDmin,KDmax,e)收斂到一個非常狹窄的范圍。單平衡值(每個軸承幾何)表所示為雙優(yōu)化和三重優(yōu)化是一個在幾個權衡點給出的算法。雙權衡可以幫助有效的軸承設計。取舍方面可能被用于研究各種參數

19、的影響背后的計算能力的動態(tài)和靜態(tài)的軸承。使用幾何精確的公式,使計算有用的對實際應用的軸承。觀察表明,圖每年年底的GA代,算法給出了數以百計的權衡點。我們可以執(zhí)行參數的研究,發(fā)現變化的取舍與改變操作條件。動態(tài)和靜態(tài)能力被發(fā)現對滾道曲率系數的變化非常敏感。參考文獻1 M. Asimow, Introduction to Engineering Design, McGraw Hill, New York (1966).2 A. Seireg and H. Ezzat, Optimum design of hydrodynamic journal bearings, Transactions of A

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