標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差

1、標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)離差或均方根差）是反映一組測(cè)量數(shù)據(jù) 離散程度 的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。是指統(tǒng)計(jì)結(jié)果在某一個(gè)時(shí)段內(nèi)誤差上下波動(dòng)的幅度。是正態(tài)分布 的重要參數(shù)之一。是測(cè)量變動(dòng)的統(tǒng)計(jì)測(cè)算法。它通常不用作獨(dú)立的指標(biāo)而與其它指標(biāo)配合使用。標(biāo)準(zhǔn)偏差在 誤差理論、質(zhì)量管理、計(jì)量型抽樣檢驗(yàn) 等領(lǐng)域中均得到了廣泛的應(yīng)用。因此，標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算十分重要，它的準(zhǔn)確與否對(duì)器具的不確定度 、測(cè)量的不確定度以及所接收產(chǎn)品的質(zhì) 量有重要影響。然而在對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算中，不少人不論測(cè)量次數(shù)多少 ，均按貝塞爾公式 計(jì)算。樣本標(biāo)準(zhǔn)差的表示公式S =（巴1嚴(yán)數(shù)學(xué)表達(dá)式：（$1 x）2 +（X2 i）2 + （叭可'71 1* S

2、-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%）n值不應(yīng)少于20-30個(gè)1n ；* n-試樣總數(shù)或測(cè)量次數(shù)，一般* i-物料中某成分的各次測(cè)量值,標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法*在價(jià)格變化劇烈時(shí)，該指標(biāo)值通常很高。*如果價(jià)格保持平穩(wěn)，這個(gè)指標(biāo)值不高。在價(jià)格發(fā)生劇烈的上漲 /下降之前，該指標(biāo)值總是很 低。標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算步驟標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算步驟是：步驟一、（每個(gè)樣本數(shù)據(jù)-樣本全部數(shù)據(jù)之平均值）2步驟二、把步驟一所得的各個(gè)數(shù)值相加。步驟三、把步驟二的結(jié)果除以（n - 1） （ “n指樣本數(shù)目）。步驟四、從步驟三所得的數(shù)值之平方根就是抽樣的標(biāo)準(zhǔn)偏差。六個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計(jì)算公式設(shè)對(duì)真值為X的某量進(jìn)行一組等精度測(cè)量，其測(cè)得值為1仆|

3、2、In。令測(cè)得值I與該量真值X之差為真差占0-則有02 = |2 - XOn = |n - X我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)差）O為a = limnlimn(1)由于真值X都是不可知的，因此真差o占也就無(wú)法求得，故式只有理論意義而無(wú)實(shí)用價(jià)值。標(biāo)準(zhǔn)偏差O的常用估計(jì)一貝塞爾公式由于真值是不可知的，在實(shí)際應(yīng)用中，我們常用n次測(cè)量的算術(shù)平均值£(£ =來(lái)代表真值。理論上也證明隨著測(cè)量次數(shù)的增多術(shù)平均值最接近真值，當(dāng) 也:時(shí)，算術(shù)平均值就是真值。于是我們用測(cè)得值 li與算術(shù)平均值 之差一一剩余誤差（也叫殘差）Vi來(lái)代替真差 o,即Vi = Li-I設(shè)一組等精度測(cè)量值為1l、|2、則-

4、: = <1 -W b EVnl n L通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差b與剩余誤差V的關(guān)系為i=l式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。它用于有限次測(cè)量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算。由于當(dāng)汽 時(shí)，二：r ：汽,可見(jiàn)貝塞爾公式與b的定義式 是完全一致的應(yīng)該指岀，在n有限時(shí)，用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差b的一個(gè)估計(jì)值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差b因此，我們稱式為標(biāo)準(zhǔn)偏差 b的常用估計(jì)。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，我們將b的估計(jì)值用“ S表示。于是，將式改寫(xiě)為5 =(2')在求S時(shí)，為免去求算術(shù)平均值 的麻煩，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過(guò)程從略)有nn£仏-心M(珀尸n于是，式(2')可寫(xiě)為按式(2"

5、;)求S時(shí)，只需求岀各測(cè)得值的平方和和各測(cè)得值之和的平方藝n(D2,即標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義S2為樣本方差s21幷一 1n工仙-勸2i=l數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明 S2是總體方差02的無(wú)偏估計(jì)。即在大量重復(fù)試驗(yàn)中 ，S2圍繞o2散布，它們之 間沒(méi)有系統(tǒng)誤差。而式(2')在n有限時(shí),S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 o的無(wú)偏估計(jì)，也就是說(shuō)S和o之 間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們，對(duì)于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體 ，總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 o的無(wú)偏估計(jì)值為即Si和s僅相差一個(gè)系數(shù) K o,K。是與樣本個(gè)數(shù)測(cè)量次數(shù)有關(guān)的一個(gè)系數(shù)，K昇直見(jiàn)表計(jì)算K。時(shí)用到r n + i) = n r(r(j) = Wr (i) = i

6、表i&值nana2L25337LW24201.013260L004331J28481.036225L0105曲L00364L08549” 1,03173080L003251.063810L0281401加90L002861050915L0180SOL005110CL0025由表1知，當(dāng)n>30時(shí)，汽河丄丄I。因此，當(dāng)n>30時(shí)，式（3'）和式（2'）之間的差異可略而不計(jì)。在n=3050時(shí)，最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)n<10時(shí)，由于K。值的影響已不可忽略，宜用式（3'）,求標(biāo)準(zhǔn)偏差。這時(shí)再用貝塞爾公式顯然是不妥的。標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計(jì)將b的

7、定義式（1）中的真值X用算術(shù)平均值代替且當(dāng)n有限時(shí)就得到r jUi/rfia1/血21414L1280. 886203.73510.2683L732L6936591213 71%0.26542.0002.0590.486223319C.26252.2362.326賀<33.8580.2596 '2.4507.53405112413.895 -10,25772.6462.7W0370253.9310.25482腫12.8470351304.0860.24593.00b2.9700337354.2190.237I103.1623.07803254043220.231113317347

8、30315|4544150.226123伽3.2580.307504.4980.222133.606:3.3360.3001005.0250499143.7423,4070.2942005.4950J82153.8733.4720.2884005.8820J7O16.4*0003+5320.2835006.0610J6517；4.1233,5880.2797006,2890J5918194.24343593.64013.6890.2750.27110006.4940J54- -式適用于n>50時(shí)的情況，當(dāng)n>50時(shí),n和(n-1)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響就很小了2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差b的極差估計(jì)由

9、于以上幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式計(jì)算量較大，不宜現(xiàn)場(chǎng)采用而極差估計(jì)的方法則有運(yùn)算簡(jiǎn)便，計(jì)算量小宜于現(xiàn)場(chǎng)采用的特點(diǎn)。極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的n個(gè)樣本測(cè)得值中的最大值與最小值之差。若對(duì)某量作次等精度測(cè)量測(cè)得h、'，且它們服從正態(tài)分布，則maxl min概率統(tǒng)計(jì)告訴我們用極差來(lái)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式為S3稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差b的無(wú)偏極差估計(jì)，d2為與樣本個(gè)數(shù)n(測(cè)得值個(gè)數(shù))有關(guān)的無(wú)偏極差系數(shù)，其值見(jiàn)表2由表2知，當(dāng)nW 15時(shí)二、 ,因此，標(biāo)準(zhǔn)偏差 b更粗略的估計(jì)值為(5')還可以看岀，當(dāng)200W nWlOOO時(shí)，曲心 了因而又有(5"

10、;)顯然，不需查表利用式(5')和(5") 了即可對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差值作岀快速估計(jì)，用以對(duì)用貝塞爾公式及其他公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。應(yīng)指岀，式(5)的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低 ，但當(dāng)5W nW 15時(shí)式(5)不僅大大提高了計(jì) 算速度，而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n>10時(shí)，由于舍去數(shù)據(jù)信息較多，因此誤差較大，為了提高準(zhǔn)確度 這時(shí)應(yīng)將測(cè)得值分成四個(gè)或五個(gè)一組，先求岀各組的極差 Ri、 ' :,再由各組極差求岀極差平均值 。p = % + 尺2 + + Rk極差平均值和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為需指岀，此時(shí)d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù) N(=nK)去查表2。再則，分組

11、時(shí)一定要按測(cè)得值的先后順序排列，不能打亂或顛倒。標(biāo)準(zhǔn)偏差b的平均誤差估計(jì)平均誤差的定義為v |1| + | 砌 + + I幾 I 耳=hm 誤差理論給出1 = J-6 = 0J979<t a -a TT5(A)可以證明EN EMI! 與！ 的關(guān)系為(證明從略)于是典/n(n 1)(B)由式(A)和式(B)得nn 1) V 打從而有rti ikin(n 1)=1.2533 ESHn(n 1)5孕顯IN Jn(n 1)式就是佩特斯(CAF.Peters.1856)公式。用該公式估計(jì) S值，由于right|Vright|不需平方 故計(jì)算較為簡(jiǎn)便。但該式的準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞

12、爾公式相似。標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實(shí)例對(duì)標(biāo)稱值Ra = 0.160 < math > m < math >的一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定 ，順次測(cè)得以下15個(gè) 數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和 1.63 呵，試求該樣塊Rn的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。解：1）先求平均值.L = L60 +-12 + 5 I 0 1 7-8 - 14 + 12 + 9+ 17 + 4-4 - 10 | 4 | 4 | 315 x 100=1,60 +2715 x 1001,618(&l

13、t; math >< math > i2）再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S若用無(wú)偏極差估計(jì)公式式（5）計(jì)算，首先將測(cè)得的,15個(gè)數(shù)據(jù)按原順序分為三組，每組五個(gè)見(jiàn)表3。表3組號(hào)l_1l_5R11.481.651.601.671.520.1921.461.721.691.771.640.3131.561.501.641.741.630.24= 0.43因每組為5個(gè)數(shù)據(jù),按n=5由表2查得 二1 _53 = R = 043 x 0.247 = 0A0621(< math > firn < math >若按常用估計(jì)即貝塞爾公式式（2'）,則1 " -y 仏L)

14、3 = 0.0962(< math > fim < math > i n 若按無(wú)偏估計(jì)公式即式（3'）計(jì)算，因n=15，由表1查得Ks = 1.018，則S】=KfiS = 1.018 X 0.0962 = 0.09793(< math > fim < math >)若按最大似然估計(jì) 公式即式（4'）計(jì)算，則s2=.丄 x i 39.3985 一 1524J7215=0.09296( < math >< math > )若按平均誤差估計(jì)公式即式（6）,則12533=1.2533 x1.176/15 x 14

15、=0-1017(< math > pm < math >)現(xiàn)在用式（5'）對(duì)以上計(jì)算進(jìn)行校核J -I= -= x 0.247 = 0.0637(< math > “m < math > i可見(jiàn)以上算得的 S、Si、S2、S3和S4沒(méi)有粗大誤差。由以上計(jì)算結(jié)果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062即S2 < S < Si < S4 < S3可見(jiàn)，最大似然估計(jì)值最小，常用估計(jì)值S稍大，無(wú)偏估計(jì)值 s又大，平均誤差估計(jì)值 S4再 大，極差估計(jì)值 S最大?？v觀這幾

16、個(gè)值，它們相當(dāng)接近，最大差值僅為0.01324 。從理論上講， 用無(wú)偏估計(jì)值和常用估計(jì)比較合適 ，在本例中，它們僅相差0.0017 口?？梢韵嘈牛S著的增大， S、Si、9、S和S4之間的差別會(huì)越來(lái)越小。就本例而言，無(wú)偏極差估計(jì)值 S和無(wú)偏估計(jì)值 Si僅相差0.0083呵，這說(shuō)明無(wú)偏極差估計(jì)是既可以保證一定準(zhǔn)確度計(jì)算又簡(jiǎn)便的一種好方法。JJG102-89表面粗糙度比較樣塊 規(guī)定Ra的平均值對(duì)其標(biāo)稱值的偏離不應(yīng)超過(guò)+12%17%,標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱值的 4%12%之間。已得本樣塊二產(chǎn)，幾打宀廠川：1 產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi)，故該樣塊合格。標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviatio

17、n)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離( 離均差)的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用b表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。 標(biāo) 準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45, B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為 17.08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為 2.16分，說(shuō)明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation)- 統(tǒng)計(jì)學(xué) 名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之

18、標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦 然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來(lái)衡量。有人經(jīng)常混用均方根誤差(RMSE )與標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation )，實(shí)際上 二者并不是一回事。1.均方根誤差均方根誤差為了說(shuō)明樣本的離散程度。均方根誤差(root-mean-square error ) 亦稱標(biāo)準(zhǔn)誤差，其定義為 i= 1，2， 3，n。在有限測(cè)量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示:式中，n為測(cè)量次數(shù)；di為一組測(cè)量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計(jì)分布是正 態(tài)分布，那么隨機(jī)誤差落在土 c以內(nèi)的概率為68%。2.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差

19、是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。均方根值也稱作為效值，它的計(jì)算方法是先平方、再平均、然后開(kāi)方。比如幅度為100V而占空比為0.5的方波信號(hào)，如果按平均值計(jì)算，它的電壓只有50V，而按均方根值計(jì)算則有70.71V。這是為什么呢？舉一個(gè)例子，有一組 100伏的電池組，每次供電10分鐘之后停10分鐘，也就是說(shuō)占空比為一半。如果這組電池帶動(dòng)的是10Q電阻，供電的10分鐘產(chǎn)生10A的電流和1000W的功率，停電時(shí)電流和功率為零。那么在20分鐘的一個(gè)周期內(nèi)其平均功率為 500W，這相當(dāng)于70.71V的直流電向10Q

20、電阻 供電所產(chǎn)生的功率。而 50V直流電壓向10Q電阻供電只能產(chǎn)生的 250W的功率。對(duì)于電機(jī) 與變壓器而言，只要均方根電流不超過(guò)額定電流，即使在一定時(shí)間內(nèi)過(guò)載，也不會(huì)燒壞。PMTS1.0抽油機(jī)電能圖測(cè)試儀對(duì)電流、電壓與功率的測(cè)試計(jì)算都是按有效值進(jìn)行的，不會(huì) 因?yàn)殡娏麟妷翰ㄐ位兌鴾y(cè)不準(zhǔn)。這一點(diǎn)對(duì)于測(cè)試變頻器拖動(dòng)的電機(jī)特別有用。均方根誤差 為了說(shuō)明樣本的離散程度。對(duì)于N1,.Nm,設(shè)N=(N1+.+Nm)/m;則均方根誤差記作：一t=sqrt(NA2-N1A2)+.+(NA2-NmA2)/(m(m-1);比如兩組樣本：第一組有以下三個(gè)樣本： 3，4，5第二組有一下三個(gè)樣本：2，4，6這兩組的平

21、均值都是 4，但是第一組的三個(gè)數(shù)值相對(duì)更靠近平均值，也就是離散程度小，均方差就是表示這個(gè)的。同樣，方差、標(biāo)準(zhǔn)差(方差開(kāi)根，因?yàn)閱挝徊唤y(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。幾種典型平均值的求法(1 )算術(shù)平均值這種平均值最常用。設(shè)x1、x2、x n為各次的測(cè)量值，n代表測(cè)量次數(shù)，則算術(shù)平均值為(2) 均方根平均值(3) 幾何平均值石俯=乂珂花耳=冷JI(4) 對(duì)數(shù)平均值In玉(5)加權(quán)平均值In嗎-In財(cái)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方差的計(jì)算公式準(zhǔn)確度精密度誤差偏差絕對(duì)誤差SX- fi 或 S = x-fi平均偏差d -1=1n標(biāo)準(zhǔn)偏差（n>5）氏（旳-X）23=1W - 1相對(duì)誤差%）5 = X_/xl00%相對(duì)

22、平均偏差-X100%相對(duì)標(biāo)淮偏差-X100%X準(zhǔn)確度：測(cè)定值與真實(shí)值符合的程度絕對(duì)誤差：測(cè)量值（或多次測(cè)定的平均值）與真（實(shí)）值之差稱為絕對(duì)誤差，用 表示。相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與真值的比值稱為相對(duì)誤差。常用百分?jǐn)?shù)表示。絕對(duì)誤差可正可負(fù)，可以表明測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度，但不能反映誤差在測(cè)量值 中所占比例，相對(duì)誤差反映測(cè)量誤差在測(cè)量結(jié)果中所占的比例， 衡量相對(duì)誤差更 有意義。例：用刻度0.5cm的尺測(cè)量長(zhǎng)度，可以讀準(zhǔn)到0.1cm,該尺測(cè)量的絕對(duì)誤差 為0.1cm；用刻度1mn!勺尺測(cè)量長(zhǎng)度，可以讀準(zhǔn)到 0.1mm該尺測(cè)量的絕對(duì)誤差 為 0.1mm例：分析天平稱量誤差為0.1mg,減重法需稱2次，可能的最大誤差為0.2mg, 為使稱量相對(duì)誤差小于0.1%，至少應(yīng)稱量多少樣品？解：-=2x100% 二 °