橢圓、雙曲線拋物線典型例題整理

1、橢圓典型例題一、已知橢圓焦點的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1 :已知橢圓的焦點是 Fi（0, - 1）、F2（0,1）, P是橢圓上一點，并且 PFi+ PF2= 2F1F2，求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由 PFi+ PF2 = 2FiF2= 2X2 = 4,得 2a= 4.又 c= 1,所以 b2= 3.22所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是七+3=1.2已知橢圓的兩個焦點為 F1（ 1,0）, F2（1,0），且2a = 10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2解：由橢圓定義知c= 1 , b= 5 1 =飛24. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 亦+ "24= 1.二、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：1.橢圓的

2、一個頂點為 A 2,0，其長軸長是短軸長的 2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）當(dāng)A 2,0為長軸端點時，a =2 , b=1,22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： y 1 ;41（2）當(dāng)A 2,0為短軸端點時，b=2 , a =4,2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： y 1;416三、橢圓的焦點位置由其它方程間接給出，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2 2例.求過點（一3,2）且與橢圓X9+y4 = 1有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.x2y29解：因為c2= 9 4= 5,所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+¥二=1.由點（一3,2）在橢圓上知r+2 2x y + 匚=1 15+ 10a a 5aa= 1，所以a2 = 15.所以

3、所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 四、與直線相結(jié)合的問題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：已知中心在原點，焦點在 x軸上的橢圓與直線 x y -0交于A、B兩點，M為AB中點，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長為 2,求橢圓的方程.2解：由題意，設(shè)橢圓方程為 務(wù) y2 “ ,ax y -1 =0由 x2°，得（1 +a fx2 _2a2x =0,飛+y2 =1ax + X21a21xM2yM _ 1 _ xM 2 ，2a1 +a'kOM-yM _12.,2. a = 4 ,xMa42 Xy2 =1為所求.4五、求橢圓的離心率問題。例1 一個橢圓的焦點將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率.a2-2

4、2解：2c2二 3c 二 a , c32 2例2已知橢圓=1的離心率e =k +89一 1. 3e =-，求k的值.2332 2 2 -解：當(dāng)橢圓的焦點在 X軸上時，a k 8，b =9，得c =k-1 .由e ，得k =4 .2 當(dāng)橢圓的焦點在 y軸上時，a2 =9 , b2 = k 8，得c2 = 1 - k .1 1 _ k 15由e ，得，即k =2 9445滿足條件的k = 4或k =.4六、由橢圓內(nèi)的三角形周長、面積有關(guān)的問題例：1.若厶ABC的兩個頂點坐標(biāo) A( 4,0), B(4,0), ABC的周長為18,求頂點C的軌跡方程。解：頂點C到兩個定點A, B的距離之和為定值10,

5、且大于兩定點間的距離，因此頂點C的軌跡為橢圓，并且2a= 10,所以a= 5,2c= 8,所以c= 4,所以2 2b2 = a2 c2= 9,故頂點C的軌跡方程為2x5+弋=1又A、B、C三點構(gòu)成2 2 2三角形，所以 卄0所以頂點c的軌跡方程為春+卷=1帖0)答案：養(yǎng)+29 二 1姑 0)2 22 已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 拿+召=1(a>5),它的兩焦點分別是 F1, F2,且F1F2 = 8 ,弦AB過點F1，求 ABF? 的周長.4a = 4 . 41.2 23.設(shè)F2是橢圓+牛=1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且 PF1 : PF2= 2 : 1，求 PF1F2的94面積.1 1T1

6、F2的面積為 2PF1 PF2 = 2x2X4 = 4.七、直線與橢圓的位置問題例已知橢圓y22=1，求過點p'1,11且被p平分的弦所在的直線方程.<2 2丿解法一：設(shè)所求直線的斜率為 k，則直線方程為y-k'x1 代入橢圓方程，并整理得2 I 2丿1 2k2 x2 一 2k2 2k xk2 k - =0 . 2 22k 2 一 2k 由韋達(dá)定理得 x1 ' X2 =-2.1 +2k1 t P是弦中點，x1 x2 = 1 .故得k =2 所以所求直線方程為 2x 4y -0 .“ 1 解法二：設(shè)過P 1 ,丄 啲直線與橢圓交于 Ax<2 2；1?yi、B

7、X2, y，則由題意得專+y；片 +x2 =1,y *2 =1.2 2得為72 .22yi y2將、代入得乩士捲_x2 所求直線方程為2x，4y-3=0 .八、橢圓中的最值問題(=1的右焦點為F11，即直線的斜率為22x2例橢圓16 12時，求點M的坐標(biāo).，過點A1, 3，點M在橢圓上，當(dāng) AM +2MF為最小值解：由已知：a = 4, c = 2 .所以e二丄，右準(zhǔn)線I: x2過A作AQ丄丨，垂足為Q，交橢圓于M，故MQ =2MF 顯然AM|+2MF的最小值為 AQ , 即M為所求點，因此yM3，且M在橢圓上.故xM = 3 .所以M 2、3廠3 .雙曲線典型例題一、根據(jù)方程的特點判斷圓錐曲

8、線的類型。2 2例1討論xy1表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征.25k 9k解：(1)當(dāng)k ： 9時，25-k 0 , 9-k 0,所給方程表示橢圓， 此時a2 =25-k , b2 =9-k ,2 2 2c =a -b =16，這些橢圓有共同的焦點(一 4, 0), (4, 0).(2) 當(dāng)9 : k : 25時，25-k0 , 9-k：0，所給方程表示雙曲線，此時， a2=25-k , b2=9k , c2 =a2+b2 =16，這些雙曲線也有共同的焦點(一4, 0),)(4, 0).(3) k : 25, k =9, k=25時，所給方程沒有軌跡.二、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

9、例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1) 過點P 3,15 ；： Q-16,5 :且焦點在坐標(biāo)軸上._1，4丿i 3丿(2) C=j6，經(jīng)過點(一5, 2),焦點在x軸上.2 2(3) 與雙曲線 -y 1有相同焦點，且經(jīng)過點 3 2,21642 2解：(1)設(shè)雙曲線方程為 =1m n/ P、Q兩點在雙曲線上，9+Sf卩 16n 解得 一16 |25 + 25 =1小=9.9m n2 2所求雙曲線方程為y 1169說明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的.(2)V焦點在x軸上，C = . 6 ,2 2設(shè)所求雙曲線方程為：- J =1 (其中0 ： 6)6 一254雙曲線

10、經(jīng)過點(一5, 2), 竺=12所求雙曲線方程是 -y2 =15說明：以上簡單易行的方法給我們以明快、簡捷的感覺.(3)設(shè)所求雙曲線方程為:2x16 - = 1016雙曲線過點 3.、2,2 ,=116 -&4 +九?；. =4 或-14 (舍)2 2所求雙曲線方程為 -y 112 8三、求與雙曲線有關(guān)的角度問題。2 2點P在雙曲線上的左支上且例3已知雙曲線X y 1的右焦點分別為F1、 F2 ,916PF1 PF2 =32，求.F1PF2 的大小.解：點P在雙曲線的左支上 PR - PF? =622 PF1+PF2-2PF1IPF2 =3622 PF1+ PF2=100 rf22 =

11、4c2 =4(a2+b12 )=100 RPF2 =90(2)題目的“點P在雙曲線的左支上”這個條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改 為“點P在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請讀者試探索.四、求與雙曲線有關(guān)的三角形的面積問題。2Xc4例4已知F1、F2是雙曲線y2 =1的兩個焦點，點 P在雙曲線上且滿足.F1PF90，求4F1PF2的面積.分析：利用雙曲線的定義及 ARPF2中的勾股定理可求FPF2的面積.2解： P為雙曲線 -y2 =1上的一個點且F1、F2為焦點.4 |PF_ PF2| =2a =4,證| =2c = 2>/5 RPF2 =90222在 RMPF1F2 中，PF

12、+|pf2| =|f1f2 =202 22 fPR PF2 2 = PF+ PF2 2PF1pF2=16 20-2PFPF2|=16 PF1I PF21 S氐pf2 =2刊PF2|=1五、根據(jù)雙曲線的定義求其標(biāo)準(zhǔn)方程。例5已知兩點F1 -5,0、F2 5,0，求與它們的距離差的絕對值是 解：根據(jù)雙曲線定義，t e = 5 , a = 3 b1 2 =c2 -a2 =5222.所求方程x y9可知所求點的軌跡是雙曲線._32 =42 =16=1為動點的軌跡方程，且軌跡是雙曲線.162 2例 P是雙曲線X y1上一點，F(xiàn)1、F2是雙曲線的兩個焦點,64362 2解：在雙曲線-y 1中，6436由P

13、是雙曲線上一點，得|PR PF2 =1 或 PF? =33.又 PF2 He-a =2，得 PF2 =33.六、求與圓有關(guān)的雙曲線方程。b=6，故 c=10-PF? =16 6的點的軌跡.且 PR =17,求PF2的值.例6求下列動圓圓心M的軌跡方程：(1) 與。C ：x 2所求的雙曲線的方程為： y2內(nèi)切，且過點A 2,0(2) 與0 C1： x2+(y1丫=1 和O C2： x2+(y+1=4都外切.(3) 與0 C：x +3 f +y2 =9外切，且與O C2：(x3 f + y2 =1 內(nèi)切. 解：設(shè)動圓M的半徑為r(1)tO C1與O M內(nèi)切，點A在O C外 MC=r-柩,MA=r

14、, MA-MC| = V2點M的軌跡是以C、A為焦點的雙曲線的左支，且有: a = , e =2 , b2 = e2a22雙曲線方程為2x2 -刃 1-27(2)tO M 與O C1、o C2都外切 MCj =r +1 , MC2 =r +2,MC2 _MCj=1點M的軌跡是以C2、C1為焦點的雙曲線的上支，且有:/ 2 4x“ J:4y =1 y > I3 J 4丿(3)vo M與O C1外切，且與O C2內(nèi)切 MC=r+3, MC2=r-1, MG - MC 2|=4點M的軌跡是以Ci、C2為焦點的雙曲線的右支，且有:a 2， c=3， b =c -a2 =5所求雙曲線方程為：2 2

15、-Z=1x_245w.w.w.k.s.5.u.c.o.m拋物線典型例題一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1指出拋物線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.(1) x2 =4y(2)x=ay2(a = 0)解：(1)幕p=2，焦點坐標(biāo)是(0, 1),準(zhǔn)線方程是：y = 12 11(2)原拋物線方程為：y2=X，仁2 aa程.當(dāng)a 0時,焦點坐標(biāo)是當(dāng)a 0時,焦點坐標(biāo)是綜合上述，當(dāng)p 1，拋物線開口向右，2 4a1 1(丄,0)，準(zhǔn)線方程是：x二-丄4a4ap1，拋物線開口向左，2 4a1(丄,0)，準(zhǔn)線方程是：4aa = 0時，拋物線x、求直線與拋物線相結(jié)合的問題1x =4a2 1二ay2的焦點坐標(biāo)為(一 ,0)，準(zhǔn)線

16、方程是:4a例2若直線y =kx-2與拋物線y2 =8x交于a、B兩點，且"y = kx _ 2解法一：設(shè)A(x1, y-i)、B(x2, y2)，則由：2可得:y =8x直線與拋物線相交， k=0且:0，則k -1 .AB中點橫坐標(biāo)為：.魚 x2 = 4k 2 8 = 2 ,2k解得：k =2或k =-1 (舍去).AB中點的橫坐標(biāo)為k2x2(4k8)x4丄4a,求此直線方-0.故所求直線方程為：y=2x_2 .22解法二：設(shè) A(X1，%)、B(X2,y2)，則有 y 8為 y 8X2.兩式作差解：( 一 y2)(y1 y2)二 8(x1 - x2)，即y = 8.花X2力+丫2

17、x1 x2 = 4 . y1 y2 = kx2 kx2 -2 = kg x2) -4 = 4k -4 , k故k=2或k - -1 (舍去).4k 一4則所求直線方程為：y =2x -2 .三、求直線中的參數(shù)問題2H例3 （1）設(shè)拋物線y2 =4x被直線y =2x k截得的弦長為 3 5，求k值.（2）以（1）中的弦為底邊，以 x軸上的點P為頂點作三角形，當(dāng)三角形的面積為9時，求P點坐標(biāo).y2 - 4x解：（1）由丿得：4x2+(4k-4)x+k2 = 0y =2x kk2 設(shè)直線與拋物線交于 A&yJ與B(x2, y2)兩點.則有： 捲 x2 =1-k,捲x2：4= (1 22)(為

18、X2)2 = .5(治 X2)2 4x2 丄、5(1k)2 k2】= .5(12k)二 AB =375,二 J5(1 -2k) =3/5，即 k = -4(2) S.廣9，底邊長為3、5 ,.三角形高2 96.5h 3 55點P在x軸上，.設(shè)P點坐標(biāo)是（x0,0）則點P到直線y =2x -4的距離就等于h,即pXo -0 - 46亦、22125-x0 - -1或x0 =5，即所求P點坐標(biāo)是（1, 0）或（5, 0）.四、與拋物線有關(guān)的最值問題例4 定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線y2二x上移動，求 AB的中點到y(tǒng)軸的距離的 最小值，并求出此時 AB中點的坐標(biāo).解：如圖，設(shè)F是y2 =x的焦點，A、B兩點到準(zhǔn)線的垂線分別是 AC、BD，又M到準(zhǔn)線的 垂線為MN , C、D和N是垂足，則111MN =(AC + B