概率到知識點總結(jié)

1、名師精編 _優(yōu)秀資料第一講隨機(jī)事件及其概率1. 了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機(jī) 事件的概念，掌握事件的關(guān)系及運算.2 理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的 加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式，以及 貝葉斯（Bayes）公式.3. 理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進(jìn) 行概率計算；理解獨立重復(fù)試驗的概念，掌握計算有 關(guān)事件概率的方法主要內(nèi)容與典型例題一隨機(jī)試驗與隨機(jī)事件1. 隨機(jī)試驗 隨機(jī)試驗滿足以下三個特點：試驗的所有可能結(jié)果（不止一個）是確定的；每次試驗會發(fā)生什么結(jié)果是無法事先預(yù)知的；試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行。但

2、也有不少的隨機(jī)試驗不滿足這個條件2. 樣本點與樣本空間 試驗的每一個可能結(jié)果稱為樣本點，用 表示。所有樣本點組成的集合就是樣本空間，用 門表示。3. 隨機(jī)事件，基本事件，必然事件，不可能事件：樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件,用A，B, C等記之。由單個樣本點構(gòu)成的隨機(jī)事件成為基本事件，樣本空間門為必然事件，不含任何樣本點的事件稱為不可能事件。二事件的關(guān)系與運算1. 包含關(guān)系：事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，記為A B。2. 相等關(guān)系：若A B且B A。n3. 并事件：A B二A,B至少發(fā)生一個 , A。14. 差事件：A-B二AB二A發(fā)生，B不發(fā)生n5. 交事件：A-B=AB=A,B同時發(fā)生

3、 ,Ai。6. 互斥事件：A和B不同時發(fā)生。7. 對立事件:A =A不發(fā)生 ， A A = 1 .8. 事件的運算律：交換律：AB = B A, A - B = B - A；結(jié)合律：AB C = (A B) C = A(BC),A - B - C = (A - B) - C = A - (B - C)；分配律：(A一 B) 一 C = AC 一 BC，(A一B)一 C = (A 一 C)_ (B C)；對偶律：AB = A - B , A - B = AB ；三事件的概率及其性質(zhì)1. 定義:設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為f 1，若對每個事件 A，有且只有一個實數(shù) P(A)與之對應(yīng),并滿足以下公理：(1

4、)(非負(fù)性)0乞P(A)叮；(規(guī)范性)PC 9 =1;oOoO(可列可加性)對任意一列兩兩互斥事件a，A2,，有P( AJ二 P(AJ ；i 二im則稱P(A)為事件A的概率。2性質(zhì)： P( ) =0 ; P(A) =1- P(A);nn若AA, ,An互斥，則P( Ai)八P(Ai);i =1i # P(A B) =P(A) P(B) -P(AB)；P(A - B - C)二 P(A) P(B) P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) P(ABC)；名師精編優(yōu)秀資料若 A B，則 P(A)空 P(B)，且 P(B 一 A)二 P(B) 一 P(A);推廣：P(B _ A)

5、=P(B) _P(AB)四 條件概率與事件的獨立性1.條件概率：設(shè)有兩個事件 A和B，P(A) 0，稱已知A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為B的條件概率，記為 P(B A)，且有P(B A)二巳色。P(A)2.獨立性：若兩事件A和B滿足P(BA)二P(B)或P(ABP(A) P(B)，則稱A和B相互獨立。類似的還有 A,a2,，代兩兩獨立和相互獨立的定義。3.簡單性質(zhì)：在A和B，A和B，A和B，A和百這四對事件中，只要其中有一對獨立, 則其余三對也獨立。五重要的概率模型1.古典概型：古典概型的特點為：試驗的可能結(jié)果只有有限個；各個可能結(jié)果是等可能的；設(shè)試驗一共有n個可能結(jié)果，而所考察的事件 A含有其

6、中的k個，則事件 A的概率為P(A)A包含的樣本點數(shù)樣本點總數(shù)注 古典概率的計算難點在于 A包含的樣本點數(shù)的計算。在計算樣本點數(shù)的時候，常用到以下排列組合公式:從n個不同元素取r的排列數(shù)為:P；n!(n -r)!從n個元素中有返回地取r個的排列數(shù)：nr ；從n個不同元素取r的組合數(shù)為：C；n!r!(n - r)!2. 幾何概型：向某個可度量的有界區(qū)域 D內(nèi)隨機(jī)地投擲一點，如果落在D內(nèi)任何兩個測度相 等的子區(qū)域的可能性相等，則隨機(jī)點落在D的子區(qū)域A內(nèi)的概率為A的測度D的測度注如果D和A是數(shù)軸上區(qū)間(平面區(qū)域或立體區(qū)域)，則測度就是區(qū)間長度(面積或體積)；幾何概率的計算關(guān)鍵是找出事件A所對應(yīng)的子區(qū)

7、域，并計算其測度。3. 貝努利概型：在 n重貝努利試驗中，事件Ak = A恰好發(fā)生k次(Q <k< n)的概率為：P(AJpn(1 - p)n±。六重要公式1. 乘法公式：P(AB) =P(A)P(B A) =P(B)P(AB)P(AA2 A.)二 P(A)P(A A) P(An A1A2 An)2. 全概率公式：設(shè)事件 A,A2,，An兩兩互斥，且 P(A).0(1空n)。事件B滿足nB =BAii 4則有nP(B)=二 P(Ai)P(B Ai)。i33.貝葉斯公式：設(shè)事件A,A2, ,An兩兩互斥，且P(A)0(仁沱n)，P(B) 0,事件B滿足nB = BAii呂則

8、有P(A|B)=咻尸陽)。 遲 P(A)P(BA)i d第二講隨機(jī)變量及其分布1. 理解隨機(jī)變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及性 質(zhì)，會計算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率2. 理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念， 掌 握0-1分布、二項分布、泊松(Poisson)分布及其應(yīng) 用.3.理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用.4. 會求隨機(jī)變量函數(shù)的分布主要內(nèi)容與典型例題一隨機(jī)變量及其分布函數(shù)、分布律與密度函數(shù)1. 隨機(jī)變量 對于給定的隨機(jī)試驗，i】是其樣本空間，若對w 門，有且只有一個實數(shù) xc )與之對應(yīng)，則稱此定義在'1上的實值函數(shù) X為隨機(jī)變量

9、。2. 分布函數(shù)設(shè)X是一個隨機(jī)變量，稱函數(shù)F(x) =P(X _ x)(：x ：)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。性質(zhì) 0 冬 F (x)乞 1 ( - ： : x - - )；對任意兩點x-i, x2，當(dāng)xx2時，有F(xJ F(x2)； lim F (x) =0 ； lim F (x) =1 ；X ，.xJ : lim F(x)二F(x0) ( 一 ： : x0 ：:)；x jxo P(a ： X 乞 b)二 F(b) F(a)注記滿足上述性質(zhì)、和的函數(shù)必為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。3.分布律Xx1x2-XiPP1P2Pi性質(zhì) 0 乞 Pi <1 , '、Pi =1oi4.密度函數(shù) 設(shè)隨機(jī)

10、變量X的分布函數(shù)為F(x),若非負(fù)函數(shù)f(x),對任意的x，使得xF(x)= f(t)dt則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f (x)為X的概率密度函數(shù)，并稱X的分布是連續(xù)型分布。性質(zhì) f (x) _ 0 ； f (x)dx 二 1 ；(滿足上述兩個性質(zhì)的函數(shù)必為某隨機(jī)變量的密度函數(shù))b P(a ： X zb)二 f (x)dxaF (x)是連續(xù)函數(shù)，且在f (x)的連續(xù)點處有F (x) = f (x)；對-c R，有 P(X =c) =0 ；對任意的a,b R (a : b)，有bP(a ： X < b) = P(a ： X :： b)二 P(a 乞 X : b)二 P(a 空 X 乞 b)二

11、f(x)dxa二重要的一維分布0 1、1. (0-1)分布分布律為X ，0c P £1。J-p P丿2. 二項分布 在n重貝努利試驗中，事件 A發(fā)生的次數(shù)X的分布為k kn _kP(X 二 k)二 CnP (1-P) (k=0,12,n)記作X B(n, p)。當(dāng)n = 1時，二項分布即為(0-1 )分布。、k3. 泊松分布 分布律為P(X =k) e'(k =0,1,2, L)，記為X PC )。k!4. 均勻分布密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為a ： x ： bother0,x _ab a1,記作 X U(a,b).5. 指數(shù)分布密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(x)0,x 0和 ot

12、herF(x)0,記為X E()。6.正態(tài)分布密度函數(shù)為1_(x-a2f(x)二1 止 e,；都是常數(shù)，匚0)2 2x2記作X N(.L,二)。當(dāng)=0,二=1時，密度函數(shù)為f (x)二稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X N (0,1)。性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為偶函數(shù)，所以有G(-x) = 1-(x)，其中門(x)是n(,；2)的分布函數(shù)。2X _ 4若XN(j；)，則有N(0,1)，繼而有b _ Pa _ »P(a X b)二譏 )- >()。(J5J三隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.離散情形 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為XX1xXkPP1P2pk則丫二g(X)的分布律為Y = g(x)

13、g(xjgg)g(xQpP1P2pk其中g(shù)(xj、gg)、g(xQ、具有各不相同的值。若g(x的值中有相同的,則應(yīng)把那些相同的值分別合并，同時把對應(yīng)的概率pi相加。2. 連續(xù)情形 設(shè)X的密度函數(shù)為fX (x),求丫二g(X)的密度函數(shù)的步驟為先求Y的分布函數(shù)：FY(y)二 P(Y 乞 y)二 P(g(X)乞 y g(xy fx (x)dx再求Y的密度函數(shù)：fY (y)二FY(y)。第三講 多維隨機(jī)變量及其分布1. 理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分 布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、 邊緣密度和條件密度，會求與二維隨機(jī)變量相關(guān)事件 的概率.2. 理解隨機(jī)變量的獨立性的概念，

14、掌握隨機(jī)變量相互獨立的條件.3. 掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率 密度，理解其中參數(shù)的概率意義.4. 會求兩個隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布，會求多個 相互獨立隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布.主要內(nèi)容與典型例題一二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)1. 定義 設(shè)試驗E的樣本空間為 門，對于每一個樣本點 w .1，都有確定的兩個實數(shù) X(w) 與Y(w)之對應(yīng)，稱有序數(shù)對(X(w),Y(w)為二維隨機(jī)變量(或二維隨機(jī)向量)，簡記為 (X,Y)。并稱X和Y是二維隨機(jī)變量(X,Y)的兩個分量。2. 分布函數(shù) 設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，稱二元函數(shù)記為F(x, y)二 P X 乞 x ' Y 乞 y= P X

15、乞 x,Y 乞 y，(-： : x, y ：)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。性質(zhì)lim F(x, y) =1;x_y):0 乞 F(x, y)乞 1 ；且 lim F(x, y) =0;y對任一固定的x , lim F (x, y) = 0 ;y>-oc對任一固定的y , lim F (x, y) = 0 ;F (x, y)關(guān)于x和y是單調(diào)不減的。F (x, y)關(guān)于x和y均為右連續(xù)函數(shù)。Pxi：X _X2，yi:：丫一 y?十區(qū)，y2)-F(xy2)-F(X2,yJF(Xi,yJ。3. 關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)：FX(x)二lim F(x,y)y關(guān)于丫的邊緣分布函數(shù)：FY(y)

16、=(lim._F(x, y)4. 獨立性的判定 X與丫獨立=F(x,y)二Fx(x) Fy(x)。二二維離散型隨機(jī)變量1.定義 如果二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取值只有有限多對或無窮可列多對，則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量。2.聯(lián)合分布律 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X ,Y)的所有可能取值為 任，yj) , i, j二1,2,且(X,Y)取各可能值得概率為PX=xi,Y=yj = pij ， i, j = 1,2,，或?qū)懗杀砀裥问剑簞t稱或為(X,Y)的聯(lián)合分布律。名師精編 _優(yōu)秀資料性質(zhì)0乞Pj叮，i,j =1,2,；八Pj =1i j:記成3. X 的邊緣分布律：P X 二 x Pij P

17、i. (i 二 1,2，),:記成Y 的邊緣分布律：PY=yj =7 Pj- Pd (j =1,2-)。4.獨立性判疋i 4X與丫相互獨立的充要條件是對一切i,j =1,2/都有PX =xi,yjH PX 訂 PY = yj.三二維連續(xù)型隨機(jī)變量1. 定義 設(shè)F (x, y)為二維隨機(jī)變量(X，丫)的聯(lián)合分布函數(shù)，若存在一個非負(fù)可積的二元函 數(shù)f (x, y)，使得對于任意的實數(shù) x、y，有x yF(x,y) =_： _：f(u,v)dudv。貝U稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f (x, y)為(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)。性質(zhì)f (x, y) 一 0 ； i；f(x,y)dxdy 二1 ；

18、 設(shè)G是xoy平面上的區(qū)域，則(X,Y)落入?yún)^(qū)域G內(nèi)的概率為P(X,Y) G . f (x, y)dxdy。G_ 2在 f(x,y)的連續(xù)點，有F(x,y)二 f(x, y)。cxcy2. 關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)：fx(x)：f(x,y)dy ,關(guān)于丫的邊緣密度函數(shù)：fY(y) = .f(x,y)dx ,3. 獨立性判定X與Y相互獨立的充要條件是f (x, y)二 fx (x) fY(y)在f (x, y)、fX (x)、fY(y)的一切公共連續(xù)點上都成立。（x, y, G,，其中G是 其它.四常見的二維分布1二維均勻分布聯(lián)合密度函數(shù)為f（x,yr G的面積xoy平面上的某個區(qū)域，則稱 （X,Y）服從區(qū)域G上的均勻分布注 在區(qū)域G上服從均勻分布的二維隨機(jī)變量（X ,Y），其取值可看作向平面 G內(nèi)隨機(jī)地投擲一點，而此點落入 G內(nèi)任何子區(qū)域內(nèi)的概率與子區(qū)域的面積成正比，而與子區(qū)域的位置無關(guān)。2.二維正態(tài)分布聯(lián)合密度為_ 1(xjl)2p( x_4)( yJ2)丄y44)2 If(x,y)e_2(M? dCTO2J（-：:X W,-： : y ；：n），其中f, .L2，F(xiàn)，；2,均為常數(shù)，且-1 20 , |訃：1，則稱（X,Y）服從二維正態(tài)分布，記作（X,Y） N（r2，G2,打，:?）。3. 關(guān)于正態(tài)分布的結(jié)論設(shè)（X,