材料加工中的數(shù)值模擬方法-微觀組織數(shù)值模擬(6)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1材料加工中的數(shù)值模擬方法材料加工中的數(shù)值模擬方法-微觀組織數(shù)微觀組織數(shù)值模擬值模擬(6)第一頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。相場法應(yīng)用實例（II） 純物質(zhì)凝固相場模型的建立純物質(zhì)凝固相場模型的建立 序參量確定序參量確定自由能密度函數(shù)確定自由能密度函數(shù)確定相場動力學(xué)方程相場動力學(xué)方程溫度場方程溫度場方程相場參數(shù)確定相場參數(shù)確定各向異性各向異性噪聲噪聲第1頁/共42頁第二頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。純物質(zhì)相場模型包含兩個場變量：相場和溫度場(無濃度場)。 第2頁/共42頁第三頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。相場動力學(xué)方程initial preparation of (x,t

2、=0)subsequent (x,t)Solid s=1 liquid L=0propagation of interface)()()(222pTTTLHgFmmV22)1 ()(g)23()(2pVFMtdFFV)23(2)(32g)1 (6)( p)()()(122pTTTLgHtMmm第3頁/共42頁第四頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)熱傳導(dǎo)方程:0QJtQ考慮固/液界面熵的變化： PfhQTcLttt溫度場方程( )tpQfThcJLt This (phenomenological) term accounts for the release of latent heat

3、 as the interface advances( )ht( ( , )hx t( ( ,)hx ttqJk T This is a flux-conservative equation, i.e. it conserves heat Flux in the absence of latent heatWFourier定律 pdHTdSdQ)(LhTcHpp( )tpfThck TLt 第4頁/共42頁第五頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。純物質(zhì)凝固相場模型( )tpfThck TLt 2ThuDutt)()()(122pTTTLgHtMmm22)1 ()(g)23()(2pupgt)(

4、)(22MH1H/HTcLMp2pmcLTTu/pTckD)(h第5頁/共42頁第六頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。TDtT2LsnfnTnTKVL10dTTM尖銳界面模型相場模型？漸近分析漸近分析10ad Daa21Interface kinetic coefficientCapillary lengthNote the details of a1 and a2 depend on the form of h(). See A. Karma and W.R. Rappel, Phys. Rev. E (1996) 2ThuDuttupgt)()(22第6頁/共42頁第七頁，編輯于星期日：

5、十五點 五十四分。MMW第7頁/共42頁第八頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。各向異性各向異性 p各向異性是自然界呈現(xiàn)如此豐富多彩的根源第8頁/共42頁第九頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。第9頁/共42頁第十頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。 04=1cos4 n1212iihhh二維四重對稱晶體的界面能極圖及其平衡形狀晶面的界面能與該晶面到中心的距離 44041cos4.1 31sincos.1 3snanWulff理論第10頁/共42頁第十一頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。 cossinnxy1tanyx各向異性的描述2222yxxyxyxy 第11頁/共42頁第十二頁，編輯于

6、星期日：十五點 五十四分。22222222() 2 2()()()yxxyxyyxyxxxyyyxxyfxy )4cos1 (40r4sin44rddxyarctg2222211yxyxxxyxxyxxxyxxyxyxyxxx2222211yxyxyxyyxyxyxyyxyxyxyyyy4cos164rdd 界面能各向異性在相場動力學(xué)方程中的描述第12頁/共42頁第十三頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。 222(1)(1)tyxnuxy upgyxffnxyt)()()()(222各向同性相場控制方程：upgt)()(2242)(42g532)(53p)4cos1 (40r240)4cos1

7、 (r)1 ()1 (2222ut第13頁/共42頁第十四頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。01000 2000 3000 4000 5000 6000 700001000200030004000500060007000 with noise no noisep晶體的實際生長中，能量、溫度和濃度的隨機漲落是客觀存在的。p引入噪聲可以獲得形貌逼真的具有高次分支的枝晶，噪聲的引入僅引發(fā)側(cè)向分支的生長，并不改變枝晶尖端穩(wěn)態(tài)行為。隨機漲落（噪聲） p側(cè)向分枝產(chǎn)生的原因：噪聲選擇放大機制？內(nèi)在確定性機制？未有定論。在相場方程和濃度方程中引入與時間和空間相關(guān)的均值為零的成高斯分布的隨機變量直接在相場方程

8、中引入與能量有關(guān)的隨機數(shù)隨機噪聲引入方法,RFMMr tt ),(tTcfrFM第14頁/共42頁第十五頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。)()()()()(1 (),(HgTfpTfpTfSL)()()()(),(pTTTLHgTfTfmmL 純物質(zhì)凝固相場模型的建立純物質(zhì)凝固相場模型的建立 dpTTTLHgFmm)()()(222序參量化學(xué)自由能密度系統(tǒng)自由能泛函)()()(122pTTTLgHtMmm相場動力學(xué)方程)23()(2p22)1 ()(g01LS，相場和溫度場第15頁/共42頁第十六頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。 純物質(zhì)凝固相場模型的建立純物質(zhì)凝固相場模型的建立 溫度場

9、控制方程( )tpfThck TLt )(h相場模型參數(shù)確定漸近分析10ad Daa21毛細(xì)長度動力學(xué)系數(shù)平衡解分析界面厚度界面能第16頁/共42頁第十七頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。 純物質(zhì)凝固相場模型的建立純物質(zhì)凝固相場模型的建立 222(1)(1)tyxnuxy各向異性動力學(xué)各向異性界面能各向異性)4cos1 (40r240)4cos1 (r加入各向異性后相場控制方程形核、側(cè)向分枝的產(chǎn)生需要加入可控的噪聲項,RFMMr tt 隨機漲落),(tTcfrFM第17頁/共42頁第十八頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。相場法應(yīng)用實例（II） 單相二元合金凝固相場模型單相二元合金凝固相場模

10、型 p自由能的構(gòu)造自由能的構(gòu)造pWBMWBM相場模型相場模型pKKSKKS相場模型相場模型第18頁/共42頁第十九頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。nLiVmcTTmA22TTtcDct nn)()1 ()(LLSSLLSScDcDcVkTTLVGibbs-Thompson Equation界面守恒條件控制方程第19頁/共42頁第二十頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。T=constant序參量單相二元合金凝固相場模型 成分場、相場、溫度場自由能函數(shù)構(gòu)造純物質(zhì)二元合金第20頁/共42頁第二十一頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。自由能密度構(gòu)造方法純物質(zhì)自由能 TfTfBA,機械混合混合熵過剩

11、自由能單相二元合金凝固相場模型 第21頁/共42頁第二十二頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。簡化 , ,1,ln1ln 111ln1ln 11ABABMMABABMMfc Tc fTcfTRT cccccc LTTTTWgc LcLpRT cccccc LTT , ,1ln1ln 1ABfc TWgc HcHpRT cccc理想溶液單相二元合金凝固相場模型 第22頁/共42頁第二十三頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。cfMcFMtcfMFMtcVcV)(22單相二元合金相場模型2222, ,22cVFfcTcdV , ,1ln1ln 1ABfc TWgc HcHpRT cccc)1)()(

12、BAcHHcPgWfccRTpHHcfAB1ln)()(可去掉第23頁/共42頁第二十四頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。v理想合金熔體的等溫凝固的理想合金熔體的等溫凝固的WBM模型模型2()( )( )(1)ABMWgpc HcHt 11cABcmcRTM pHHMctcc AMAMAATTTLH)10156()(23p)1 ()(22gBAcMMcM)1 (BMBMBBTTTLH lsmcDpDccRTM1單相二元合金相場模型Wheeler-Boettinger-McFadden(1993)第24頁/共42頁第二十五頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。令c0222221302112TTT

13、LMWMdtdAMAMAA)10156()(23P)1 ()(22g)1)()()(2BAcHHcPgWMdtd)()()(2AHPgWMdtdAMAMAATTTLH得到純組元相場方程單相二元合金相場模型第25頁/共42頁第二十六頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。p自由能的構(gòu)造自由能的構(gòu)造pWBMWBM相場模型相場模型pKKSKKS相場模型相場模型第26頁/共42頁第二十七頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。 , ,1(1)ln(1)ln11ABmsLRTfc Tc fcfccccccppp從純組元A和B的自由能入手 , ,11,SLABfc Tc WcWgpfc Tpfc Tp從液相和固相

14、的自由能入手)()()(1 ()()(),(gWTfpTfpTfASALAA自由能密度構(gòu)造方法單相二元合金相場模型第27頁/共42頁第二十八頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。 WgTcfhTcfhcTfLLSS,1, 10211 ln)1ln()1 (1,LcLccccccRTfcfcTcfSSSSSSSmSSSASSSB 10211 ln)1ln()1 (1,LcLccccccRTfcfcTcfLLLLLLLmLLLALLLB單相二元合金相場模型第28頁/共42頁第二十九頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。p質(zhì)量守恒 p化學(xué)勢相等 單相二元合金相場模型第29頁/共42頁第三十頁，編輯于星期

15、日：十五點 五十四分。 fMtffDtcccc22KKSKKS合金相場模型合金相場模型 WgcfhcfhcftxcftxcfchchcLLSSLLcSScLSLS1,1插值函數(shù)插值函數(shù)雙阱函數(shù)雙阱函數(shù)p注意cs 、cL是c、的函數(shù) 單相二元合金相場模型第30頁/共42頁第三十一頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。 LSchchc1cchcchLs)(1 )(1txcftxcfLLcSScLS,ccdctxcdfccdctxcdfLLLLcsSSScLS, LLccSSccLLccScfhcfhcfcc1 LLccSSccSSccLcfhcfhcfcc1)(,SSccSSSccfdctxcdfS

16、)(,LLccLLccfdctxcLdfL單相二元合金相場模型第31頁/共42頁第三十二頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。 LLccSSccLLccSLScfhcfhcfcchc1 LLccSSccSSccSLLcfhcfhcfcchc1 LSchchc1)()(1 )(0LSLscchchchtxcftxcfLLcSScLS,LLLLcsSSSccdctxcdfcdctxcdfLS,單相二元合金相場模型第32頁/共42頁第三十三頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。 gWcfcccfcfhtMLLcSLSSLLL21 SLcchDcDtc LLccccffDtcL單相二元合金相場模型第33頁

17、/共42頁第三十四頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。單相二元合金相場模型第34頁/共42頁第三十五頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。pKKS相場模型參數(shù)與實際材料參數(shù)的聯(lián)系 w22 . 2223w),(2120eLeSLemccwDMkmRTV)1 ()()()()(1 )(1)()()(),(0001000002dcfhcfhhhcccfcfcceLLcceSScceSeLeLLcceSScceLeS實際參數(shù)：界面能、界面厚度、動力學(xué)系數(shù)相場參數(shù)：梯度項系數(shù)、雙阱勢高度w、相場動力學(xué)系數(shù)Mp通過數(shù)值方法求解控制方程 有限差分法、有限元法、有限體積法、Fourier譜方法單相二元合金相場模

18、型第35頁/共42頁第三十六頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。界面上的濃度:WBM : KKS: pWBM：界面定義為成分相同的固相和液相混合物pKKS：界面定義為化學(xué)勢相同的固相和液相混合物0cc eLeSchchc001界面上的自由能:WBM : KKS : *00*001cfhcfhfLS eLLeSScfhcfhf001單相二元合金相場模型第36頁/共42頁第三十七頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。9 . 01 . 0000)0()()(22zzwgdpWBM模型一維穩(wěn)態(tài)解pKKS模型一維穩(wěn)態(tài)解)(2002gdxdxx2tanh121)(0單相二元合金相場模型第37頁/共42頁第三十八頁，編輯于星期日：十五點 五十四分。p一維穩(wěn)態(tài)下相場解與濃度場解完全