立體幾何中的向量法--夾角問題

1、3.2 立體幾何中的向量法 (3)第三章 空間向量與立體幾何空間向量與空間角空間向量與空間角本節(jié)課主要學(xué)習(xí)利用空間向量求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角.以學(xué)生探究為主，探討如何利用空間向量求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等. 講解二面角的平面角與兩個半平面的法向量之間的關(guān)系，突破難點。通過例1和例2鞏固掌握二面角的求法，證明線面平行，線面垂直的方法。例3是證明線面平行及求異面直線所成的角，本題可以作為一道備用題，如果時間不許可，可以直接點擊鏈接“課堂檢測”，進入課堂檢測部分。運用轉(zhuǎn)化思想，將立體幾何中的線線角、線面角、二面角轉(zhuǎn)化為空間向量所成的角，再用數(shù)量積的定義求

2、相應(yīng)的角。http:/ 空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時，可用定量的計算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證.求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點之一.本節(jié)課主要是討論怎樣用向量的辦法解決空間角問題.用空間向量解決立體幾何問題的三步曲：用空間向量解決立體幾何問題的三步曲：1.（化為向量問題）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.2.（進行向量運算）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題.3.（回到圖形問題）把向量的運算結(jié)果“翻

3、譯”成相應(yīng)的幾何意義.O OA AB Ba a b b . .異面直線所成的角異面直線所成的角lamlamb 若兩直線若兩直線 所成的角為所成的角為 , , 則則, l m(0)2cosa ba b b線面角線面角 ua ula sina ua u 設(shè)設(shè)直直線線 的的方方向向向向量量為為a a，平平面面的的法法向向量量為為u u，且且直直線線 與與平平面面所所成成的的角角為為0 0, ,則則( (2 2) )lllcoscos,AB CDAB CDAB CD DClBA 二面角二面角 1 1 方方向向向向量量法法: :將將二二面面角角轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為二二面面角角的的兩兩個個面面的的方方向向向向量量

4、（在在二二面面角角的的面面內(nèi)內(nèi)且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夾夾角角. .如如圖圖，設(shè)設(shè)二二面面角角- - - -的的大大小小為為, ,其其中中A AB B , ,A AB B, ,C CD D , ,C CD D. .lll,m n cos.m nm n l( (2 2) )法法向向量量法法將將二二面面角角轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為二二面面角角的的兩兩個個面面的的法法向向量量的的夾夾角角. .如如圖圖，向向量量n n ，m m ，則則二二面面角角- - -的的大大 小小 . .注意法向量的方向：同進同出，注意法向量的方向：同進同出，二面角等于法向量夾角的補角；二面角等于法向量夾角的補角；一進一

5、出，二面角等于法向量一進一出，二面角等于法向量夾角夾角：若若二二面面角角- - - -的的大大小小為為( (0 0) ), ,則則llnm 二面角的范圍：二面角的范圍：0,1n2 n2 n1ncos12| cos,|n n cos12| cos,|n n AOB , , 的的夾夾角角為為，cos|u vuv uv , 的夾角為 ，cos|u vuv uv題型一求異面直線的夾角題型一求異面直線的夾角 正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是A1D1、A1C1的中點，求異面直線的中點，求異面直線AE與與CF所成角的余弦值所成角的余弦值【例例1】解解不妨設(shè)正方體棱長為不妨設(shè)正方

6、體棱長為2，分別取，分別取DA、DC、DD1所在直線為所在直線為x軸、軸、y軸軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則規(guī)律方法規(guī)律方法 在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時，若能在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時，若能構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解但應(yīng)用向量法時一定要注意向量所成的角與異面直線求解但應(yīng)用向量法時一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別所成角的區(qū)別例例2、在直三棱柱、在直三棱柱ABC-A1B1C1中中, AC=3, BC=AA1=4, AB=5 , D是是AB的中

7、點。的中點。(1)求證：求證：AC1/面面CB1D(2)求求AC1與與B1C所成角的余弦值。所成角的余弦值。c1ABCA1B1D 四棱錐四棱錐PABCD中，中，PD平面平面ABCD，PA與平面與平面ABCD所成的角為所成的角為60，在四邊形，在四邊形ABCD中，中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點B、P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)求異面直線求異面直線PA與與BC所成的角的余弦值所成的角的余弦值【變式變式1】解解(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)DCDAB90，AB4，CD1，AD2.A(2，0，0)，C(0，1

8、，0)，B(2，4，0)由由PD平面平面ABCD，得，得題型二求線面角題型二求線面角例例2： 正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為的底面邊長為a， 側(cè)棱長為， 側(cè)棱長為 2a，求求 AC1與側(cè)面與側(cè)面 ABB1A1所成的角所成的角 【變式變式2】 已知正三棱柱已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面邊長為的底面邊長為 a，側(cè)棱長，側(cè)棱長為為 2a，M 為為 A1B1的中點，求的中點，求 BC1與平面與平面 AMC1所成角的正所成角的正弦值弦值 (12分分)如圖所示，正三棱柱如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為的所有棱長都為2，D為為CC1的中的中點，求二面角點，求二面角A

9、-A1D-B的余弦值的余弦值題型三二面角的求法題型三二面角的求法【例例3】 規(guī)范解答規(guī)范解答如圖所示，取如圖所示，取BC中點中點O，連，連結(jié)結(jié)AO.因為因為ABC是正三角形，所以是正三角形，所以AOBC，因為在正三棱柱，因為在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面中，平面ABC平面平面BCC1B1，所，所以以AO平面平面BCC1B1.【題后反思題后反思】 幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這是該方法的一大難點而用向量法求解二面角，無需作出二面是該方法的一大難點而用向量法求解二面角，無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，轉(zhuǎn)化為兩直線角的平面角，只

10、需求出平面的法向量，轉(zhuǎn)化為兩直線(或兩向或兩向量量)所成的角，通過向量的數(shù)量積運算即可獲解，體現(xiàn)了空間所成的角，通過向量的數(shù)量積運算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性向量的巨大優(yōu)越性(1)證明：直線證明：直線MN平面平面OCD；(2)求異面直線求異面直線AB與與MD所成角的大小所成角的大小思路分析思路分析 建系建系求相關(guān)點坐標(biāo)求相關(guān)點坐標(biāo)求相關(guān)向量坐標(biāo)求相關(guān)向量坐標(biāo)向量向量運算運算結(jié)論結(jié)論解解作作APCD于點于點P，分別以，分別以AB，AP，AO所在的直線為所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖所示，如圖所示，【示示例例】例例3. 3. 長方體中，長方體

11、中，AB=2AB=2，BC=BBBC=BB1 1=1=1，E E為中點為中點（1 1）求證：面）求證：面EBDEBD面面EBCEBC；（2 2）求）求DCDC與面與面EBCEBC所成的角；所成的角；（3 3）求二面角）求二面角C-DE-BC-DE-B。 A1C1B1BCD1EAD例例6.6.正方體中，正方體中，P P為為A A1 1B B1 1中點中點（1 1）求二面角）求二面角A A1 1-AC-AC1 1-B-B1 1（2 2）求二面角）求二面角P-ACP-AC1 1-B-B1 1（3 3）求面）求面PACPAC1 1與面與面ABCDABCD所成的銳二面角。所成的銳二面角。 A1C1B1B

12、CD1ADP 例例1 1：如圖，甲站在水庫底面上的點如圖，甲站在水庫底面上的點A A處，乙站在水壩斜面上的點處，乙站在水壩斜面上的點B B處。處。從從A A，B B到直線到直線 （庫底與水壩的交線）的距離（庫底與水壩的交線）的距離ACAC和和BDBD分別為分別為 和和 ,CD,CD的長為的長為 , AB, AB的長為的長為 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。 labcd解：解：如圖，如圖，. dABcCDbBDaAC ，化為向量問題化為向量問題根據(jù)向量的加法法則根據(jù)向量的加法法則DBCDACAB 進行向量運算進行向量運算222)(DBCDACABd )(2222

13、DBCDDBACCDACBDCDAB DBACbca 2222DBCAbca 2222ABCD 例例1圖圖典例展示典例展示所以所以.2cos2222abdcba 回到圖形問題回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為庫底與水壩所成二面角的余弦值為.22222abdcba 于是，得于是，得22222dcbaDBCA 設(shè)向量設(shè)向量 與與 的夾角為的夾角為 ， 就是庫底與水壩所成的二面角。就是庫底與水壩所成的二面角。CADB 因此因此.cos22222dcbaab 例例2 2 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，側(cè)棱是正方形，側(cè)棱PDPD底面

14、底面ABCDABCD，PD=DC,EPD=DC,E是是PCPC的中點，作的中點，作EFPBEFPB交交PBPB于點于點F.F.(1)(1)求證：求證：PA/PA/平面平面EDB.EDB.(2)(2)求證：求證：PBPB平面平面EFD.EFD.A AB BC CD DP PE EF F(3)(3)求二面角求二面角C-PB-DC-PB-D的大小的大小. .ABCDP PE EF FxyzG解：解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D D為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點，設(shè)原點，設(shè)DC=1.DC=1.(1)(1)證明：連接證明：連接AC,ACAC,AC交交BDBD于點于點G,G,連接連接E

15、G.EG.(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,),2 2APE依依題題意意得得因因為為底底面面A AB BC CD D是是正正方方形形，所所以以點點G G是是此此正正方方形形的的中中心心，1 1 1 1故故點點G G的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為( (, , , ,0 0) ), ,2 2 2 211(1,0, 1),(,0,).22PAEG 且2/ /.PAEGPAEG 所以，即,EGEDBPAEDB而平面且平面/ /.PAEDB所以，平面(1,1,0),(1,1,).1BPB （2 2）證證明明：依依題題意意得得1 1(0,),2 21100.22DEPBDE 又故.PBDE所以,EFPBEFD

16、EE由已知且.PBEFD所以平面已已知知P PB B E EF F, , 由由（2 2）可可知知P PB B D DF F, ,故故E EF FD D是是二二面面角角C C - - P PB B - - D D的的平平面面角角. . ( , , ),( , ,1),x y zPFx y z 設(shè)設(shè)點點F F的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為則則,PFkPB 因為( ,1)(1,1, 1)( , ,),x y zkk kk 所所以以,1,xk yk zk即0,PB DF 因為(3)(3)(1,1, 1) ( , ,1)1310,k kkkkkk 所以1,3k 所以1 1 2(),3 3 3F所以點 的坐標(biāo)為，1 1(0,),2 2E又點 的坐標(biāo)為1 11(,),3 66FE 所以cos1 111121(,) (,)13 663336,1266363FE FDEFDFE FD 因為60 ,60 .EFDCPBD所以即二面角 的大小為 112(,),333FD (1)證明：直線MN平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大小 例例3.3.分析：分析：建系建系求相關(guān)點坐標(biāo)求相關(guān)點坐標(biāo)求相關(guān)向量坐標(biāo)求相關(guān)向量坐標(biāo)向