線性方程組(1)

1、.工程數(shù)學(xué)（本）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（三）第3章：線性方程組 學(xué)習(xí)要點：線性方程組的基本概念，向量組相關(guān)性的概念及判別，極大線性無關(guān)組及向量組的秩，基礎(chǔ)解系，線性方程組解的情況判別，線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。本章重點：向量組相關(guān)性的概念及判別，線性方程組相容性定理，齊次線性方程組基礎(chǔ)解系幾通解的求法，非齊次線性方程組特解和全部解的求法。 復(fù)習(xí)要求：了解向量的概念及線性運算，了解向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，會判斷向量組的線性相關(guān)性。 對于向量組，若存在一組不全為零的常數(shù)，使得則稱向量組線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。了解極大線性無關(guān)組和向量組秩的概念，掌握其求法。 向量組的一個部分組如滿足 線性無關(guān)； 向量組

2、中的任一向量都可由其線性表出。則稱這個部分組為該向量組的一個極大線性無關(guān)組。理解線性方程組的相容性定理及齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，掌握齊次與非齊次線性方程組解的情況的判別方法。 線性方程組有解的充分必要條件是：。 元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是：。熟練掌握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系和通解的求法。了解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，熟練掌握求非齊次線性方程組通解的方法。 例題解析： 例1 填空題（1）一個向量組中如有零向量，則此向量組一定線性。 （2）線性方程組中的一般解的自由元的個數(shù)是2，其中A是矩陣，則方程組增廣矩陣= 。 （3）設(shè)向量則 （4）若線性方程組無解，則ASAE。解：

3、（1）設(shè)0, 為一組n維向量，取，則0 += 0由定義可知，向量組0, 線性相關(guān)。 正確答案：相關(guān)（2）因為一般解的自由元個數(shù) = 方程組中未知量個數(shù) - 所以，= 5-2=3。 正確答案：3 （3）因為k=，所以k = 2。 正確答案：2 （4）因為 =當時，所以方程組無解。 正確答案：例2 單項選擇題（1）向量組的極大線性無關(guān)組是（）。A. B. C. D. （2）設(shè)線性方程組的增廣矩陣為，則此線性方程組的一般解中自由元的個數(shù)為（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （3）元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（ ）。 A. B. C. D. 與無關(guān)（4）設(shè)線性方程組的兩個解，

4、則下列向量中（ ）一定是的解。 A. B. C. D. 解：（1）因為向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，所以原向量組的極大線性無關(guān)組是。正確答案：D （2）因為方程組中未知量個數(shù)是4，增廣矩陣的秩=3，所以一般解的自由元個數(shù) = 方程組中未知量個數(shù) - = 4-3=1 所以，線性方程組的一般解中自由元的個數(shù)為1。 正確答案：A （3）元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是正確答案：C （4）因為，所以是線性方程組的解。 正確答案：D例3 求向量組，的秩和向量組的一個極大線性無關(guān)組。解：4，且向量組的一個極大無關(guān)組為。 例4 設(shè)齊次線性方程組的一般解為 （其中是自由元）求此齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系并求通解。 解：由方程組中一般解（其中是自由元）令，得；令，得 。是方程組的一個基礎(chǔ)解系。方程組的通解為，其中是任意常數(shù)。例5 當取何值時，線性方程組 有解？在有解的情況下求全部解。解：因為 當時，方程組有解，且一般解為（其中是自由元）令，得到一個特解為相應(yīng)齊次線性方程組的一般解為（其中是自由元）令，得，為一個基礎(chǔ)解系。 方程組的全部解為（其中k1是任意常數(shù)）。 例6 設(shè)向量組