中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合題匯編附答案

1、一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.如圖，點(diǎn)P在。0的直徑AB的延長(zhǎng)線上，PC為00的切線，點(diǎn)C為切點(diǎn)，連接AC, 過(guò)點(diǎn)A作PC的垂線，點(diǎn)D為垂足，AD交00于點(diǎn)E.（1）如圖 1,求證:Z DAC=Z PAC：（2）如圖2,點(diǎn)F （與點(diǎn)C位于直徑AB兩側(cè)）在上，BF = FA，連接EF,過(guò)點(diǎn)F作AD 的平行線交PC于點(diǎn)G,求證：FG=DE+DG：2（3）在的條件下,如圖3,若AE=-DG, P0=5,求EF的長(zhǎng).3【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）EF=3a【解析】【分析】（1）連接0C,求出0CIIAD,求出0C_LPC,根據(jù)切線的判定推出即可：（2）連接BE

2、交GF于H,連接0H,求出四邊形HGDE是矩形，求出DE=HG, FH=EH,即 可得出答案：（3）設(shè)0C交HE于M,連接0E、0F,求出N FHO=N EHO=45。，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出12EHII DG,求出 0M二一 AE,設(shè) 0M=a,則 HM=a, AE=2a, AE=-DG, DG=3a,23求出 ME=CD=2a» BM=2a» 解百角三角形得出 tanZ MB0=, tanP=- = ,i5BM 2 PO 2OC=k,則PC=2k,根據(jù)0P=Jk=5求出k=5根據(jù)勾股定理求出a,即可求出答案.【詳解】（1）證明：連接0C,PC為。的切線,OCX PC,r A

3、DJ_PC, OCII AD,J Z OCA=Z DAC,丁 OC=OA,Z PAC=Z OCA, Z DAC=Z PAC；（2）證明：連接BE交GF于H,連接OH,V FGII AD, Z FGD+Z D=180; Z D=90%/. Z FGD=90°, AB為。O的直徑, Z BEA=90",/. Z BED=90°, Z D=Z HGD=Z BED=90°, 四邊形HGDE是矩形，/. DE=GH, DG=HE, Z GHE=90%BF = AF，：.Z HEF=Z FEA=-Z BEA=，X 90" =45°, 22/. Z

4、 HFE=900 - Z HEF=45°, Z HEF=Z HFE, FH=EH, FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：設(shè)OC交HE于M.連接OE、OF,丁 EH二HF, OE=OF, HO=HO, FHO EHO,/. Z FHO=Z EHO=45°,V四邊形GHED是矩形，, EH II DG,/. Z OMH=Z OCP=90",/. Z HOM=900 - Z OHM=90° - 45°=45°,/. Z HOM=Z OHM, HM=MO,OM±BE,/. BM=ME,1OM- AE,22設(shè) OM=a,則 HM=

5、a, AE=2a, AE= - DG, DG=3a,3: Z HGC=Z GCM=Z GHE=90四邊形GHMC是矩形，GC=HM=a, DC=DG - GC=2a,DG=HE, GC=HM,/. ME=CD=2a, BM=2a,.MO a 1在 RtA BOM 中，tanZ MBO=,BM 2a 2,/ EH II DP,. Z P=Z MBO,CO 1tanP=,PO 2設(shè) OC=k,則 PC=2k,在 R3POC 中，OP=J5k=5,解得：k=小,OE=OC=4，在 R3OME 中，OM2+ME2=OE2, 5a2=5,a=l, HE=3a=3,在 RSHFE 中,Z HEF=45%

6、EF=&HE=3"【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用 性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.2.如圖，在銳角 ABC中，AC是最短邊.以AC為直徑的00,交BC于D,過(guò)0作OEII BC.交 0D 于 E,連接 AD、AE、CE.(1)求證：Z ACE=Z DCE；(2)若N B=45°, Z BAE=15°,求N EAO 的度數(shù)：S 2(3)若 AC=4, 7="=三，求 CF 的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2） 60。；【解析】【分析】(1)易證/ OEC=N OCE, Z OEC=N ECD,從

7、而可知N OC£=Z ECD,即N ACE=N DCE；(2)延長(zhǎng)4E交8c于點(diǎn)G,易證N4GC=N8+N 84G=60°,由于OEII 8C,所以Z AEON AGC=60 所以N EAO= AEO=60q i q ， q i(3)易證產(chǎn)=不，由于薩匕=；,所以產(chǎn) = 1,由圓周角定理可知 32G1£，、&COEJ3Z AEC=Z FDC=90°,從而可證明 CDF- CE4利用三角形相似的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】(1) / OC=OE, ：. Z OEC=Z OCE.Of II 8C, Z OEC=N ECD, ：. Z OCE=Z ECD

8、,即N ACE=A DCE；(2)延長(zhǎng)作交8c于點(diǎn)G.Z AGC 是a ABG 的外角，/. Z 4GC=N 8+N BAG=60°.OEW 8C, /. Z AEON AGC=60°.OA=OE, ：. Z EAO=A AEO=60Q.q i(3)o是AC中點(diǎn)，薩里=5 SaCdf _ 2Scdf 1S koe 3S&se 3: AC 是直徑，, Z 4EC=N FDC=90°., 4ACE=N FCD, ； CDF CEA, ：. = 2/Z,. CF二正. CA 333【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，涉及平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形中線的

9、性 質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).3.如圖，48為。0的直徑，點(diǎn)。為A8下方。0上一點(diǎn)，點(diǎn)C為弧48。的中點(diǎn)，連接CD, CA.（1）求證：Z ABD=2A BDC；（2）過(guò)點(diǎn)C作CHJLA8于”，交A。于E,求證：EA二EC；（3）在（2）的條件下，若Og AD=249求線段0E的長(zhǎng)度.9【答案】（1）證明見(jiàn)解析：（2）見(jiàn)解析：（3） DE = -.2【解析】【分析】（1）連接4D,如圖1,設(shè)N80C=a, N 4DC印，根據(jù)圓周角定理得到N C48=N 8DC=a,由A8為。0直徑，得到NAD8=90。，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條

10、件得到NACE=NADC,等量代換得到N 4CE=N CA&于是得到結(jié)論：（3）如圖2,連接0C,根據(jù)圓周角定理得到NCO8=2NC48,等量代換得到/C08NABD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到0"=5,根據(jù)勾股定理得到AB=y/AD2+BD2 =26,由相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【詳解】（1）連接力。.如圖1，設(shè)N8DC=a, N4DC呻，則N CAB=Z BDC=a9二點(diǎn) C 為弧 48。中點(diǎn)，/. AC = CDN4DC=N。4c邛， N D48二。-a, :48為00直徑，/4。8=90°,a+B=90°,陽(yáng)90°-a, .NA8D=90

11、°-N 048=90°-(p - a) , /. Z ABD=2a, ：. Z ABD=2Z BDC；(2) / CH±AB. ：. Z ACE-A CAB=A ADC+A BDC=90°,Z CAB=Z CD8, ：. Z 4CE=N ADC.Z CAE=A ADC. ：. Z ACE=N CAE. ：. AE;CE；(3)如圖 2,連接 OC, Z COB=2Z CAB,Z ABD=2A 8DC, Z 8DC=N CAB, ：. Z COB=Z ABD,。OH OC 1Z OHC=Z ADB=90 ：. OCH- ABD,：. =-BD AB 2OH

12、=5, ：. BD=109 O AB=ad2 + BD? =26,二 40=13, /. AH=18.AH _AE 7F" ABun 18 AE即一=24 26399AE= , DE:一22【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出 輔助線是解題的關(guān)鍵.4.如圖.在 A8c 中，Z C=90% AC=BC. AB=30cm9 點(diǎn) P 在 48 上，AP=10cm,點(diǎn) E 從點(diǎn) P 出發(fā)沿線段PA以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PB以lcm/s的速 度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)八后立刻以原速度沿線段48向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)

13、63;、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中，以評(píng)為邊作正方形EFGH,使它與ABC在線段A8的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (s) (0<t<20).(1)當(dāng)點(diǎn)片落在4c邊上時(shí)，求t的值；(2)設(shè)正方形EFGH與ABC重疊部分的面積為S.試求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式：以點(diǎn)C為圓心，!亡為半徑作OC,當(dāng)0C與GH所在的直線相切時(shí)，求此時(shí)S的值.29/？(0<r<2)7、【答案】(1)t=2s或10s： (2)S=<-/2+50/-50(2</<10)；lOOcm?.2產(chǎn)-407+ 400? (10</<20)【解析】試題分析:(1)如圖1中，當(dāng)0仁5時(shí)，由題意AE

14、=EH=EF,即10 - 2t=3t, t=2；如圖2 中，當(dāng) 5Vt<20 時(shí)，AE=HE, 2t - 10=10 - (2f - 10) +t, f=10：(2)分四種切線討論a、如圖3中，當(dāng)0</2時(shí)，重疊部分是正方形EFGM S= (3t) 2=9已b、如圖4中，當(dāng)2仁5時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN. c、如圖5中，當(dāng)5<t( 10時(shí)，重登部分是五邊形訐GMN. d、如圖6中，當(dāng)10V1V20時(shí)，重疊部分是正方形 EFGH.分別計(jì)算即可;分兩種情形分別列出方程即可解決問(wèn)題.試題解析:解：(1)如圖1中,當(dāng)0V區(qū)5時(shí),由題意得:AE=EH=EF,即102t=3t, t

15、=2Bl如圖 2 中，當(dāng) 5<tV20 時(shí)，AE=HE, 2t - 10=10 - (2t- 10) +t, t=10.綜上所述：仁2s或10s時(shí)，點(diǎn)H落在4C邊上.9產(chǎn)c圖3如圖4中，當(dāng)2區(qū)5時(shí)，重登部分是五邊形EFGMN, 5= (3t) 2- - (5t- 10) 2=-產(chǎn)+501-50. 2圖4如圖5中，當(dāng)5VtV10時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN, S= (20-t) 2 - - (30-3t)7 2一產(chǎn)+50L 50.2圖5如圖6中，當(dāng)10<tV20時(shí)，重登部分是正方形EFGH, S= (20-t) 2=t2 - 40t+400.9r2?(0<r<2)7 ,

16、 綜上所述：s=-r+50r-50(2</<10).2/2-401 + 400?(io</<2O)130如圖7中，當(dāng)0把5時(shí)，-t+3t=15,解得：仁一，此時(shí)S=100cm2,當(dāng)5VtV20時(shí),27-t+20- t=15» 解得：t=10,此時(shí) S=100.2綜上所述：當(dāng)OC與GH所在的直線相切時(shí)，求此時(shí)S的值為lOOcm?點(diǎn)睛：本題考查了圓綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知 識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，注意不 能漏解，屬于中考?jí)狠S題.5.已知00中，弦AB=AC,點(diǎn)P是NBAC所對(duì)弧上一動(dòng)

17、點(diǎn)，連接PA, PB.（1）如圖，把 ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 ACQ,連接PC,求證：Z ACP+Z ACQ=180°：（2）如圖，若NBAC=60°,試探究PA、PB、PC之間的關(guān)系.（3）若NBAC=120。時(shí)，（2）中的結(jié)論是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)直接寫出它 們之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2） PA=PB+PC.理由見(jiàn)解析：（3）若N BAC=120°時(shí)，（2）中的結(jié)論不成立，PA=PB+PC.【解析】試題分析：（1）如圖，連接PC.根據(jù)“內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)''即可證得結(jié)論； （2）如圖，通過(guò)作輔

18、助線BC、PE、CE （連接BC,延長(zhǎng)BP至E,使PE=PC,連接CE）構(gòu)建等邊 PCE和全等三角形 BEC" APC；然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和線段間 的和差關(guān)系可以求得PA=PB+PC；（3）如圖，在線段PC上截取PQ,使PQ=PB,過(guò)點(diǎn)A作AGJ_PC于點(diǎn)G.利用全等三 角形4AB能 AQP （SAS）的對(duì)應(yīng)邊相等推知AB=AQ, PB=PG,將PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系 轉(zhuǎn)化到 APC中來(lái)求即可.試題解析：（1）如圖，連接PC.A ACQ是由 ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的， /. Z ABP=Z ACQ.由圖知，點(diǎn)A、B、P、C四點(diǎn)共圓，/. Z ACP+Z ABP=1

19、80° （圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)），/. Z ACP+Z ACQ=180° （等量代換）：（2） PA=PB+PC.理由如下：如圖，連接BC,延長(zhǎng)BP至E,使PE=PC,連接CE.弦 AB二弦 AC, Z BAC=60%ABC是等邊三角形（有一內(nèi)角為60。的等腰三角形是等邊三角形）.A、B、P、C四點(diǎn)共圓，.NBAC+NBPC=180。（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）， Z BPC+Z EPC=180°, /. Z BAC=Z CPE=600,PE=PC, a PCE 是等邊三角形， CE=PC, Z E=Z ECP=Z EPC=60°又 Z BCE=60&#

20、176;+Z BCP, Z ACP=60°+Z BCP, /. Z BCE:N ACP （等量代換），CE = PC在a BEC 和必 APC 中， /BCE = NA CP , /. BEC2 APC （SAS），.二 BE=PA,AC = BC：.PA=BE=PB+PC：（3）若NBAC=120。時(shí)，（2）中的結(jié)論不成立，PA=PB+PC.理由如下: 如圖，在線段PC上截取PQ,使PQ=PB.過(guò)點(diǎn)A作AGJ_PC于點(diǎn)G.Z BAC=120% Z BAC+Z BPC=180% /. Z BPC=60°.弦 AB二弦 AC,Z APB=Z APQ=30°.PB =

21、 PQ在仆 ABP 和a AQP 中，ZAPB = ZAPQ，,二 A ABP2 AQP （SAS）, AP = AP，AB二AQ, PB=PQ （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），.AQ=AC （等量代換）.在等腰aAQC中，QG=CG.在 R3APG 中，NAPG=30°,則 AP=2AG, PG二6 AG,/. PB+PC=PG - QG+PG+CG=PG - QG+PG+QG=2PG=2 6 AG,，JJpa=2JJag，即 JJpa=pb+pc.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵要能掌握和靈活運(yùn)用圓心角、弧、弦間的關(guān) 系，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等.6.已知

22、：如圖，AB是。的直徑，PB切。0于點(diǎn)B, PA交。于點(diǎn)C, N APB是平分線 分別交BC, AB于點(diǎn)D、E,交。0于點(diǎn)F, Z A=60°,并且線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方 程xz-kx+2j? =0的兩根（k為常數(shù)）.（1）求證：PABD二PBAE；（2）求證：。的直徑長(zhǎng)為常數(shù)k：（3）求 tanN FPA 的值.【答案】見(jiàn)解析：（2）見(jiàn)解析：（3） tanN FPA=2 -耳.【解析】試題分析：（1）由PB切。O于點(diǎn)B,根據(jù)弦切角定理，可得NPBD=NA,又由PF平分N APB,可證 得APEDsAPAE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得PABD=PBAE；（2）易證得

23、BE=BD,又由線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程x? - kx+2后0的兩根（k為常 數(shù)），即可得AE+BD=k.維而求得AB二k,即：。的直徑長(zhǎng)為常數(shù)k：（3）由NA=60。，并且線段AE、BC的長(zhǎng)是一元二次方程x2-kx+2j5=0的兩根（k為常 數(shù)），可求得AE與BD的長(zhǎng)，繼而求得tanZ FPB的值，則可得tanZ FPA的值. 試題解析：（1）證明：如圖，,PB切00于點(diǎn)B,Z PBD=Z A,PF 平分 N APB, Z APE=Z BPD,，A PBDA PAE,/. PB： PA=BD： AE,/. PABD=PBAE；（2）證明:如圖，Z BED=Z A+Z EPA, Z B

24、DE=Z PBD+Z BPD.又 Z PBD=Z A, Z EPA=Z BPD,/. Z BED=Z BDE., BE=BD.線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程x2-kx+2j&=0的兩根（k為常數(shù)），/. AE+BD=k,/. AE+BD=AE+BE=AB=k,即。0直徑為常數(shù)k.（3） PB切。0于B點(diǎn)，AB為直徑., Z PBA=90°. Z A二 60°.炳：.PB=PA>sin60o=-iA,2又 PABD=PBAE,炳：.BD=-AE,2.線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程x2-kx+2j3=O的兩根（k為常數(shù)）. AEBD=2，5，即字AE?=2仃解

25、得：AE=2, BDf/5，AB=k=AE+BD=2-n/3> BE=BD=V5，在 R3 PBA 中，PB=AB*tan600= （2+日）x3=3+2/3.在 RtA PBE 中，tanZ BPF=|=_=2 - Z FPA=Z BPF,tanZ FPA=2 - /3-【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí).此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.7.如圖I,等邊 A8c的邊長(zhǎng)為3,分別以頂點(diǎn)8、八、C為圓心，84長(zhǎng)為半徑作AC、C8、84,我們把這三條弧所組成的圖形稱作萊洛三角形，顯然萊洛三角形仍然是軸對(duì) 稱

26、圖形，設(shè)點(diǎn)/為對(duì)稱軸的交點(diǎn).(1)如圖2,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn)4與線段MN作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)它滾動(dòng)一周后點(diǎn)4與端 點(diǎn)N重合，則線段的長(zhǎng)為_:(2)如圖3,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn)A與等邊£>£下的頂點(diǎn)。重合，且A8J_DE, DE=2n,將它 沿等邊 OEF的邊作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)當(dāng)它第一次回到起始位置時(shí)，求這個(gè)圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 所掃過(guò)的區(qū)域的面積：(3)如圖4,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn)8與。0的圓心0重合，。的半徑為3,將它沿。的 圓周作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)它第次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)/所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 (請(qǐng)用含 的式子表示)【答案】(1) 3n； (2) 27n： (3) 273 nn.【解析】試

27、題分析：(1)先求出AC的弧長(zhǎng)，繼而得出萊洛三角形的周長(zhǎng)為3n，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出萊洛三角形等邊aDEF繞一周掃過(guò)的面積如圖所示，利用矩形的而積和扇形 的面積之和即可；(3)先判斷出萊洛三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和0重合旋轉(zhuǎn)一周點(diǎn)/的路徑，再用圓的周長(zhǎng)公式即 可得出.試題解析：解：(1) ,等邊8c 的邊長(zhǎng)為 3,NA8c=NACB=N8AC=60。，AC = BC = AB 公線段 M/V 的長(zhǎng)為1 oUlAC+lBC+lAB= 故答案為 為；(2)如圖1. V等邊 DEF的邊長(zhǎng)為2n,等邊 ABC的邊長(zhǎng)為3,，S .影人明產(chǎn)2"3=6二,由題意知，AB±DE, AG&#

28、177;AF. ：. A BAG=120 .二S酎形%g=3,圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)360程中所掃過(guò)的區(qū)域的面積為3 (S M.fjxGHf+S Habas') =3 (6n+3n) =27n；(3)如圖2,連接8/并延長(zhǎng)交AC于。/是48C的重心也是內(nèi)心.N 04=30。,13AD=-AC=-9 ：. OI=AI=22AD3_2當(dāng)它第1次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)/cosN DAI cos300所經(jīng)過(guò)的路徑是以o為圓心，0/為半徑的圓周，當(dāng)它第次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)/所經(jīng) 過(guò)的路徑長(zhǎng)為”22小=2小rm.故答案為2出m.圖2點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了弧長(zhǎng)公式，萊洛三角形的周長(zhǎng)，矩形，扇形而積公

29、式，解（1）的關(guān)鍵是求出4。的弧長(zhǎng)，解（2）的關(guān)鍵是判斷出萊洛三角形繞等邊 DEF 掃過(guò)的圖形，解（3）的關(guān)鍵是得出點(diǎn)/第一次回到起點(diǎn)時(shí)，/的路徑，是一道中等難度的 題目.8.如圖，A3是。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)。的切線交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（2）連接5C,若ZBCF = 30。, BF = 2,求CO的長(zhǎng).【答案】（1）見(jiàn)解析：（2） 2>/3Z CDF=Z DCF,由 結(jié)論成立.得N COB=60% 可【解析】【分析】連接0D,由垂徑定理證OF為CD的垂直平分線，得CF=DF, Z CDO=Z OCD,再證N CDO +Z CDB=Z OCD+Z DCF=90% 可得 OD&#

30、177;DF, （2）由N OCF=90°, Z BCF=3O% 得N OCB=60°,再證 AOCB 為等邊三角形, 得NCFO=30。，所以FO=2OC=2OB, FB=OB= 0C =2»在直角三角形OCE中，解直角三角形可 得CE,再推出CD=2CE.【詳解】（1）證明：連接0D.CF是。0的切線 Z OCF=90°/. Z OCD+Z DCF=90° /直徑AB_L弦CD/. CE=ED,即OF為CD的垂直平分線J CF=DF Z CDF=Z DCF / OC=OD,/. Z CDO=Z OCD/. Z CDO +N CDB=Z OC

31、D+Z DCF=90°OD±DFDF是。O的切線(2)解：連接ODZ OCF=90。, Z BCF=3O°/. Z OCB=60°OC=OBAOCB為等邊三角形，/. Z COB=60°Z CFO=30°/. FO=2OC=2OB. FB=OB= OC =2在直角三角形OCE中,Z CEO=90°Z COE=60°,cf=6：.CD=2 CF=25/3【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：垂徑定理，切線，解直角三角形.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記切線的判定 定理，靈活運(yùn)用含有30。角的直角三角形性質(zhì)，巧解直角三角形.9.如圖，已知aABC內(nèi)

32、接于。0, BC交直徑AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線交AB的延長(zhǎng) 線于點(diǎn)G,垂足為F.連接OC.(1)若NG=48。，求NACB的度數(shù)：(2)若 AB二AE,求證：NBADNCOF；(3)在(2)的條件下，連接OB,設(shè)AAOB的而積為%, 4ACF的面積為Sz.若1 StanZ CAF=,求:"的值.D3【答案】（1） 48。（2）證明見(jiàn)解析（3）-4【解析】【分析】（1）連接CD,根據(jù)圓周角定理和垂直的定義可得結(jié)論：（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：Z ABE=Z AEB,再證明N BCG=N DAC,可得CD = PB = PD，則所對(duì)的圓周角相等，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)

33、系可得結(jié) 論：（3）過(guò) 0 作 OG_LAB 于 G,證明 COF合 & OAG,則 OG=CF=x, AG=OF,設(shè) OF=a,貝lj30A=0C=2x-a,根據(jù)勾股定理列方程得：（2x-a） 2=x2+a2,則"二x,代入面積公式可得結(jié)4論.【詳解】（1）連接CD,AD是OO的直徑， . Z ACD=90°, Z ACB+Z BCD=90 / AD±CG,/. Z AFG=Z G+Z BAD=90%丁 Z BAD=Z BCD, Z ACB=Z G=48°；（2） ; AB=AE,/. Z ABE=Z AEB,Z ABC=Z G+Z BCG,

34、Z AEB=Z ACB+Z DAC,由（1）得：Z G=Z ACB,Z BCG=Z DAC,CD = PB，TAD是OO的直徑，AD±PC, CD = PD，CD = PB = PD，Z. Z BAD=2Z DAC,Z C0F=2Z DAC, , Z BAD=Z COF；CF(3)過(guò) O 作 OG_LAB 于 G,設(shè) CF=x,1tanZ CAF=2AF=2x,OC=OA,由(2)得：Z COF=Z OAG,Z OFC=Z AGO=90°, . A COF合 A OAG,/. OG=CF=Xt AG=OF,設(shè) OF=a,貝lj OA=OC=2x - a,RS COF 中，C

35、O2=CF2+OF2,(2x - a) 2=x2+a3a= Xt43OF=AG= x>4OA=OB, OG±AB>3.AB=2AG= x,213c -ABOG xx 2J £l = 2= 2=2S】-CFAF x2x 42【點(diǎn)暗】圓的綜合題，考查了三角形的而積、垂徑定理、角平分線的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判 定以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)圓周角定理找出NACB+/BCD=90。：（2）根據(jù)外角的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得：CD = PB = PD； <3）利用三角函數(shù)設(shè)未知數(shù)，根 據(jù)勾股定理列方程解決問(wèn)題.10.己知AB, CD都是。的直徑，連接DB,

36、過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)如圖 1,求證：/AOD + 2/E = 180、;（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AFI.EC交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DGLAB,垂足為點(diǎn)G,求證：DG=CF： （3）如圖3,在（2）的條件下，當(dāng)叫=3時(shí)，在OO外取一點(diǎn)H,連接CH、DH分別交4OO于點(diǎn)M、N,且/HDE = /HCE,點(diǎn)p在HD的延長(zhǎng)線上，連接PO并延長(zhǎng)交CM于【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3） 873 + 7【解析】【分析】（1）由ND+NE=90°,可得 2ND+2NE=180°,只要證明N AOD=2N D 即可:（2）如圖2中，作0RJL4F于R,只要證明 40R合 OOG即可：（3）如圖3中，連接8C、O