二次項(xiàng)定理典型例題

1、典型例題一例1在二項(xiàng)式i 1的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所I 2如丿有有理項(xiàng).分析：本題是典型的特定項(xiàng)問(wèn)題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過(guò)抓通項(xiàng)公 式解決.解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：前三項(xiàng)的r =0,1,2.得系數(shù)為：t1 = 1, t2 = C； = n,上3 = C：二一n(n -1),22481 由已知：2t2 =匕 t3 n=1 n(n-1),8n = 8通項(xiàng)公式為彳 16 J3r人1二=0,1,28,Tr 1為有理項(xiàng)，故16-3r是4的倍數(shù),2.r = 0,4,8.依次得到有理項(xiàng)為= x4,T5= C；丄4 x=色x,Tg=c8斗x，一x2.248282

2、56說(shuō)明：本題通過(guò)抓特定項(xiàng)滿足的條件， 利用通項(xiàng)公式求出了 r的取值，得到了有理項(xiàng).類 似地，C，2 33)100的展開式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過(guò)抓通項(xiàng)中r的取值，得到共有17項(xiàng).典型例題二求v'x>1023：的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)以及系數(shù)最大的項(xiàng).分析：本題仍然屬于抓通項(xiàng)公式解決特定項(xiàng)的問(wèn)題，但是系數(shù)的絕對(duì)值的最大值或系 數(shù)的最大值，需要對(duì)所有項(xiàng)的系數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行研究.由于系數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)，我們可以用作商來(lái)研究系數(shù)絕對(duì)值的變化情況，另外各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)交替， 又便于用系數(shù)絕對(duì)值的大小變化抓系數(shù)的最大值.30-5r解：展開式的通項(xiàng)公式為：Tr ! =C；0(-1)r

3、 2”系數(shù)的絕對(duì)值為 C；o 2 -，記為tr d .用前后兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值作商得：tr羊I C；F 2徇10!j!(10_r)! 10_r口_ Cl。2_藥 _(r+1)!(9_r)!2 10! 一2("1)令_12(r1)得：心3即r = 0、1、2時(shí)，上述不等式成立.所以，系數(shù)的絕對(duì)值從第系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第1項(xiàng)到第4項(xiàng)增加，以后逐項(xiàng)減小.554項(xiàng)，T4=c40(1)32xW=15x。.從系數(shù)絕對(duì)值的變化情況及系數(shù)的正負(fù)交替，只要比較第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù),t32102,2101052 =16 85所以，系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng),+105 3t5x8典型例題三727例 3 已知(1

4、 -2x)=a°-a2X亠 a?x，求：(1)a1a2a' - a7；(2) a1 a3 a5 a7 ；( 3) a0 a2 a4 a6.分析：本題是有關(guān)展開式系數(shù)和的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)等式中字母的賦值，往往會(huì)得到此類問(wèn)題的結(jié)果字母經(jīng)常取的值有0、1、一 1等.解：(1)取x = 0可得a0 =1,取 X -1 得 a0 ' a' a - (-1) - 1.二 a1 a2 a3 a7 = -2.(2)取 x = -1 得 a0 _ a1 a2 _ aa6 _ a - 3 ,記 A 二 a0 a2 a4 a6, B = a1 a3 a5 a7 . A B =T, A-

5、B =37 .11可得 A(37 -1) =1093, B (1 37) - -10942 2從而 a1 a3 a5 a7 = -1094 .(3)從(2)的計(jì)算已知 a0 a2 a4 a6 =1093 .說(shuō)明：賦值法不僅可以用來(lái)求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和，對(duì)于展開式為多項(xiàng)式的代數(shù)式的系數(shù)和大多數(shù)也能用此方法解決，女口： (1 x)5 (1-2x)6的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為多少？可以看到(1 x)5(1 -2x)6的展開式仍是多項(xiàng)式，令x = 1，即得各項(xiàng)系數(shù)和為 25(-1)6 =32 . 再 比如：(1 x x2)n = a。 a/ a?x2 出卷a2nX2n , 則 a0 a2 a 亠a2n等

6、于多少？本題可以由取 x=1得到各項(xiàng)系數(shù)和，取 x=-1得到奇數(shù)1項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，兩式相加可得a0 - a2川川-a2n =丄(3n 1).此外，為了賦2值的需要，有時(shí)需要用一個(gè)新的二項(xiàng)式替換原來(lái)二項(xiàng)式，只要它們的系數(shù)等同即可如：(x 2log2x)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是多少？我們可以用一個(gè)更簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式 (1 2x)n代替原來(lái)的二項(xiàng)式，它們的系數(shù)并不改變，令x=1便得各項(xiàng)系數(shù)和為3n.典型例題四1例4( 1 )求(1 -x)3(1 - x)10展開式中x5的系數(shù)；(2)求(X 2)6展開式中的常x數(shù)項(xiàng).分析：本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問(wèn)題，(1)可以

7、視為兩個(gè)二項(xiàng)展開式相乘；(2)可以經(jīng)過(guò)代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式.解：(1 ) (1-X)3(1 - x)10展開式中的x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項(xiàng)：310c55用(1 -X)3展開式中的常數(shù)項(xiàng)乘以 (1 X)展開式中的x5項(xiàng)，可以得到 C10X ;用3104445(1-x)展開式中的一次項(xiàng)乘以(1 x)展開式中的X4項(xiàng)可得到(-3x)(C1°x ) = -3Cwx ；3210323335X 可得到 3x C10X 7C10X ；用3(1 -X)中的X3項(xiàng)乘以(1X)10展開式中的X2項(xiàng)可得到-3x3 C0X2 =-C20X5，合并同類項(xiàng)得x5項(xiàng)為:用(1 -x)中的X乘

8、以(1 X)展開式中的(C10(x 1 2)5x_C：0 - 3C；0 _U0)X5 二 _63x5 .= C；2x6_c，可得展開式( 1 丫由 Jx+ 展開式的通項(xiàng)公式<Jx丿的常數(shù)項(xiàng)為C；2二924 .說(shuō)明：?jiǎn)栴}(2)中將非二項(xiàng)式通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決這時(shí)我們還可以通過(guò) 合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問(wèn)題來(lái)解決.典型例題五例5 求(1 x-x2)Q展開式中X5的系數(shù).分析：(1X-X2)6不是二項(xiàng)式，我們可以通過(guò) 1 X-X2 = (1 x) -x2或1 (x-x2) 把它看成二項(xiàng)式展開.解:方法一：(1 x -X2)6 = (1 x) -X2 6=(1 X6) -6(1 x)5x

9、2 15(1 x)4x4 一其中含 x5 的項(xiàng)為 c6x5 -6C；x5 15C4X5 =6x5.含x5項(xiàng)的系數(shù)為6.方法二：(1 xx2)6 二 1 (XX2)F=1 6(x - x2) 15(x -x2 )220(x - x2 )315(x - x2 )46(x - x2)5 (x - x2)6其中含 X5 的項(xiàng)為 20(-3)x515(-4)x5 6x5 =6x5 .二x5項(xiàng)的系數(shù)為6.方法3 :本題還可通過(guò)把(1 x - X2)6看成6個(gè)1 * x - X2相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘555可得到乘積的一項(xiàng)， x項(xiàng)可由下列幾種可能得到.5個(gè)因式中取X, 個(gè)取1得到C6X .231323個(gè)

10、因式中取x, 個(gè)取-X2，兩個(gè)取1得到C6 C3XX).1個(gè)因式中取X,兩個(gè)取-X2，三個(gè)取1得到C6 C5X (-x ).合并同類項(xiàng)為(C； -clc； dd)x6x5, x5項(xiàng)的系數(shù)為6 .典型例題六例 6 求證：（1） C1n - 2C： ncn = n -2n ；（2）cn 丄cn （2ni -i）.23n +1n +1分析：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來(lái)證 明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值.解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過(guò)組合數(shù)公式將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來(lái)，從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì) cn c； -cn-cn =2n.解:（1）, n!n!

11、=k -k!(n -k)! (k -1)!(n -k)!(n-1)!(k -1)!( n k)!nCkJn_1左邊=nC0+ nC；十+ncni=n(C0。爲(wèi) C® = n 2nJk=：右邊.(2)11 n!n!R n _ k!(n -k)! 一(k -1)!(n - k)!丄，亠=丄常n 1 (k 1)!(n -k)! n 1左邊n 11 1 （C；1 C：1 cn1）（2n1-1）=右邊.n 1n 1說(shuō)明：本題的兩個(gè)小題都是通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開式，但這需要逆用二項(xiàng)式定理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，

12、我們可以看下面的例子：求29C；0 - 28C9o 27C：o 2C2。 10的結(jié)果.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與10(12)的展開式接近，但要注意：(1 - 2)10 =C；o - C1o 2 Co 22 Co 29 - C10 -210=1 2 10 22c2o 29c9o 210C10=1 2(10 2Co 28C：o 29C；0)1從而可以得到：10 2C2028C；o 29c10 二一(310-1).2典型例題七例7利用二項(xiàng)式定理證明： 322 一8n -9是64的倍數(shù).分析：64是8的平方，問(wèn)題相當(dāng)于證明 322 8n - 9是82的倍數(shù)，為了使問(wèn)題向二項(xiàng)式定理貼近，變形 32n

13、 2 =9n (8 1)n 1，將其展開后各項(xiàng)含有8k，與82的倍數(shù)聯(lián)系起來(lái).解：/ 32n 2 -8n_9=9n 1 _8n _9 =(8 1)n 1 _8n _9=8n 1 C；8n Cn? 82 Cn.i 8 1-8n _9=8n1 -Cn ,8nCn；828(n1) 1 -8n-98n亠亠Cn 1解法1： i 2x二 C?(2x)5C；(2x)20I +C5(2x)4323左C5 (2x)匚丄丫 飛2丿芻 C5(2x)-承2x2-(8n 1 C1 1 8n， Cn；) 64 是 64 的倍數(shù).說(shuō)明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來(lái)證明整除問(wèn)題，而且可以用此方程求一些 復(fù)雜的指數(shù)式除以一

14、個(gè)數(shù)的余數(shù).典型例題八展開2xj 52x2 丿-分析1：用二項(xiàng)式定理展開式.分析解法2：= 32x5 -120x2180 135 405 _ 243x x4 8x732x102：對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開.占農(nóng)(4/)5 +C5(4x3)4(-3) +C；(4x3)3(-3)2C；(4x3)2(3)3 CZx3)13)4 C；(3)5頑榮-沁八 576。432。62。2437)= 32x5 -120x2180 135 405V8/24332x10 '說(shuō)明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(a，b)n的展開式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條 件對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開會(huì)更簡(jiǎn)

15、便.典型例題九例9 若將(x y z)10展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為()A 11B 33 C. 55 D 66分析：(x y z)10看作二項(xiàng)式(x y) z10展開.解:我們把x y亠z看成(x y) z，按二項(xiàng)式展開，共有 11 “項(xiàng)”，即10(x y z)10 二(x - y) - z10C；°(x y)10上 zk kz0這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng) z的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式(xy)10“展開,不同的乘積G0(x y)10zk ( k =0,1，10 )展開后，都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)下面，再分別考慮每一個(gè)乘積G0(x y)10zk ( k=0,1,10)其中每一

16、個(gè)乘積展開后的項(xiàng)數(shù)由(x y)10°決定，而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)故原式展開后的總項(xiàng)數(shù)為 111066,應(yīng)選D 典型例題十rn1 例10x 2 的展開式的常數(shù)項(xiàng)為 -20,求n x題中x = 0 , 當(dāng)x 0時(shí)，把項(xiàng)式 x+丄2 i轉(zhuǎn)化I x丿2n11 I/；當(dāng)x <0時(shí)，同理x + -2 丨=(-1),丿I x丿I后寫出通項(xiàng)，令含 x的幕指數(shù)為零，進(jìn)而解出n解：當(dāng)x >0時(shí)X +丄2x其通項(xiàng)為人 1 =C；nCX）2n（-1 ）r 十1）（2；（沐）2心,<X令 2n -2r =0 ,得 n =r ,展開式的常數(shù)項(xiàng)為（-。七打；當(dāng)x : 0

17、時(shí),同理可得，展開式的常數(shù)項(xiàng)為（-1）nC；n無(wú)論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為（_1）nC2n令（-1）nc2n = 20，以 n =1,2,3，逐個(gè)代入，得 n = 3 典型例題十例11的展開式的第3項(xiàng)小于第4項(xiàng)，則x的取值范圍是分析：首先運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出展開式的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可.解:使有意義,必須依題意，有 t3 : t4，即 g2,c、x）C10 (、X)313 2 13 x解得 0 ： x ： 8 5 648 9 x的取值范圍是 儀 0£xv8V6489應(yīng)填：0：x 95648 典型例題十二例12已知(xlog2X 1)n的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為1：

18、2：3，這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)？若展開式的倒數(shù)第二項(xiàng)為112，求x的值.解：設(shè)連續(xù)三項(xiàng)是第k、 k 1、 k 2項(xiàng)(k N 且k 1),則有T：c：c=1： 2：3,n!(k -1)(n -k 1)!n !k ! (n - k)!n!(k 1)(n -k -1)!=1： 2： 3.1(n -k)(n -k 1)1k (n -k)= 1：2：3.k(n k)1k1(n _k)(n _k +1)一2n k +1-2k(k+1)2(k+1)21Ik (nk)3k (nk)3k(k 1)=14 , k=5所求連續(xù)三項(xiàng)為第 5、6、7三項(xiàng).又由已知，c£xlog2X =112 .即 xlog2X =8

19、 .兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)，(log2x)2=3 , log2x = -3 ,x = 23，或 x = 2 ".說(shuō)明：當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)，常利用二項(xiàng)式通項(xiàng), 根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進(jìn)行求解.典型例題十三例13(12x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).分析：根據(jù)已知條件可求出 n,再根據(jù)n的奇偶性；確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解：T6 二C；(2x)5 , T7 二 C：(2x)6，依題意有C；25 =C；26 二 n =8 .- (1 2x)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為TCs(2x)1120x

20、4 .設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大，則有c8 -2 >c8Ac8 -2r * r =5或 r =6 (v r 二 0,1,2 , 8).系婁最大的項(xiàng)為：T6 =1792x5, T7 -1792x6.說(shuō)明：(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù) 變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例題十四例14設(shè)f (x(1 x)m (1 x)n(m, nN .),若其展開式中關(guān)于 x的一次項(xiàng)的系數(shù)2和為11,問(wèn)m,n為何值時(shí)，含x項(xiàng)的

21、系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值.分析：根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)關(guān)于n的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討 最小值問(wèn)題.解：cm ' C； - n m =11.2 2cm c1/22、 m n -11(m -m - n _n)=2 2110-2m n2n2-11 n 55 =(n - 匕)229942 n =5或6 , m=6或5時(shí)，x項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為 25 .119911說(shuō)明：二次函數(shù)y = (x )2的對(duì)稱軸方程為 x ，即x = 5.5，由于5、6距11 2995.5等距離，且對(duì)n，N ., 5、6距5.5最近，所以(n )的最小值在n=5或n=624處取得.典型例題十五例

22、15 若(3x -1) a7x7 a6xa1x a0,求(1)a1a2a7 ； (2)a1a3asa7 ； (3)a°a?a4.解：令x =0，則a0 = -1,令 x =1，則 a7 aa1 a 27 =128 . ai a2 腫-川6 =129 .令 x - -1，則一a7 a§ -5 8483 a a1 a。= (4) 由得：印 a3 a5 a?=丄128_( 一4)7=82562 2由得:a°a2a4 ' a6(a7 a6 a5 a4 a3 a2 aa0)2'(-a? a6 - a5 a4 - a3 a2 - a1 a。)1 128(乂)7

23、 = -8128 .說(shuō)明：(1)本解法根據(jù)問(wèn)題恒等式特點(diǎn)來(lái)用“特殊值”法.這是一種重要的方法，它適 用于恒等式.(2)一般地，對(duì)于多項(xiàng)式 g(x) =(px - qT =a。- a/ - a?x2亠'亠axn , g(x)的各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1):1g(x)的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 -g(1) - g(-1).1g(x)的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 ?g(1) -g(-1).典型例題十六例16填空：(1) 230 3除以7的余數(shù); (2) 5555 +15除以8的余數(shù)是分析(1):將230分解成含7的因數(shù)，然后用二項(xiàng)式定理展開，不含7的項(xiàng)就是余數(shù).解: 230 -3 =(23)10-3=(8)10 -

24、3=(7 - 1)1。一3Cio710 - Ci1q7' Cio7 - Cw -3=7 Ci°79 Ci。?*«一2又余數(shù)不能為負(fù)數(shù)，需轉(zhuǎn)化為正數(shù)30- 2-3除以7的余數(shù)為5應(yīng)填：5分析(2):將5555寫成(56 -1)55，然后利用二項(xiàng)式定理展開.解：5555 - 15 =(56 _1)55 15= C55655 _C555654C£56 心 155555容易看出該式只有 -C55 *15=14不能被8整除，因此5515除以8的余數(shù)，即14除以8的余數(shù)，故余數(shù)為6 .應(yīng)填：6 .典型例題十七例171 +丄甘.n丿<丄1n 1證明:展開式的通項(xiàng)r

25、Pn1 n(n -1)(n -2) (n -r 1)rr!r112r -1苛(1 一利呼"T)-1+丄：展開式的通項(xiàng)< n +1 丿1(n 1)rAr!( n 1)r1 12r _1(1 )(1 ) (1 ) r ! n 1 n 1n 1由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)明顯看出Tr , :：: Tr / ,f 1、 f 1 、所以1 +丄丨_< 1 +丄|.I n.丿 i n +1.丿說(shuō)明：本題的兩個(gè)二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)為正項(xiàng)，且有一項(xiàng)相同，證明時(shí)，根據(jù)題設(shè)特點(diǎn)，采 用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明.典型例題十八2 5例18在(x 3x 2)的展開式中x的系數(shù)為( ).A. 160 B.

26、240 C. 360 D. 800分析：本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的運(yùn)用應(yīng)想辦法將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解.解法 1：由(x2 3x 2)5 =(x2 3x) 25,得TkCx23x)5A 2k-C,k 2k (x2 - 3x)5A .再一次使用通項(xiàng)公式得，T二C； <2k C；上3rx10'k,這里 0_k_5, 0_r_5-k .令 10 2k r =1,即卩 2k r =9 .所以r =1 , k = 4，由此得到x的系數(shù)為C54 24240 .解法2：由(x2 3x 2)5二(x 1)5(x 2)5，知(x T)5的展開式中x的系數(shù)為C；,常數(shù)項(xiàng)為1, (x 2)5的展開

27、式中x的系數(shù)為C； 24，常數(shù)項(xiàng)為25 .因此原式中x的系數(shù)為C54 25 - C-4 2240 .解法3：將(x2 3x 2)5看作5個(gè)三項(xiàng)式相乘，展開式中x的系數(shù)就是從其中一個(gè)三項(xiàng)式中取3x的系數(shù)3 ,從另外4個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘所得的積，即C5 3 C：，24 =240 .應(yīng)選B .典型例題十九例佃 已知 -I- 的展開式中X3的系數(shù)為9，常數(shù)a的值為<x "丿4分析：利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式.解：在a X 的展開式中，(x 2 I9、r3通項(xiàng)公式為.=<9 - , X二 C；(-1)ra9-2 xyJxjI 2 9遼丿3 9根據(jù)題設(shè)，一r 一9 = 3，所以r =8

28、 .代入通項(xiàng)公式，得 T9ax3.216Q Q根據(jù)題意，- ，所以a =4.164應(yīng)填：4 .典型例題二十例 20 (1)求證：1-3C： 32 C； -33 C；(-1)n3n =(-2)n若(2x .3)4 =a° qx - a2x2 a3x3 aqX4，求(a。 a? a4)2 -佝 a?)2 的值.分析：(1)注意觀察(1x)1 cnx C'xC；xn的系數(shù)、指數(shù)特征，即可通過(guò)賦值法得到證明.注意到(a0 -a2a4)(a1a3)2=(a0a1a2a3 a4)(a -a1 a2 -3 a4)，再用賦值法求之.解：(1)在公式(1 x)n =1 Cnx Cn2x'

29、; C>n 中令 X - -3，即有(1 3)n =1+C：(3)1 +C：(3)2 + +cn(-3)n= 1-3 C 32 C： -(-1)n 3n等式得證.在展開式(2x 3)4 =兔 a1x a2x2 a3x3 a4x4 中，令 x =1，得 a0 印 a2 a3 a4 二(2x . 3)4 ；令 x - -1，得a0-a1a2a3 a4 = (2. 3)4.原式 =(a0a1a2a3a4)(a0 _a1 a2 _a3 a4)=(2；3)4 (-2、3)4 =1 .說(shuō)明：注意“賦值法”在證明或求值中的應(yīng)用賦值法的模式是，在某二項(xiàng)展開式，如(a +bx)n =a° +4x

30、 +a2x2 + +anxn 或(a +b)n = C：an +cnanJLb +C：a2b2+C：bn中，對(duì)任意的xA( a,b A)該式恒成立，那么對(duì)A中的特殊值，該工也一定成立.特殊值x如何選取，沒(méi)有一成不變的規(guī)律，需視具體情況而定，其靈活性較強(qiáng).一 般取x = 0,1, -1較多一般地，多項(xiàng)式 f (x)的各項(xiàng)系數(shù)和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為1 1-f (1) - f(-1),偶次項(xiàng)系數(shù)和為 f(1) f(-1) 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)C； +C： +C： +C： =2n 及 C： +C； +C：+C； +C； + =2n* 的證明就是 賦值法應(yīng)用的范例.典型例題二一例21若N ，求證明：3

31、2n3-24n 37能被64整除.分析：考慮先將32n 3拆成與8的倍數(shù)有關(guān)的和式，再用二項(xiàng)式定理展開.解：32n 3 -24n 37=3 32n 2 -24n 37=3 9n 1 -24n 37=3 (8 1)n 24n 37=3 擴(kuò)卅 8耐 +C：+ 8n +略 8n+ +C；+ 8 +C： -24n +37-3 8n1Cn18n W(n 1) 8 1 -24n 37=3 8n1'Cn18n ' Cn2, 8n 一C；82 (8n - 9)-24n- 37=3 828n+Cn十 8n，+C：十 8n，+ +C：；+3(8n+9)24n +37=3 648n°+ch

32、 8n'+C；十 8心+64 ,- 8n_1, 4十8心，8心，均為自然數(shù)，上式各項(xiàng)均為64的整數(shù)倍.原式能被64整除.說(shuō)明：用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題，大體上就是這一模式，先將某項(xiàng)湊成與除數(shù)有關(guān)的和式，再展開證之該類題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，但不如用二項(xiàng)式定理證明簡(jiǎn)捷.典型例題二十二2例22已知(x3 3x2)n的展開式各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992(1) 求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2) 求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).分析：先由條件列方程求出 n (1)需考慮二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；(2)需列不等式確定r 解：令x =1得展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為(1 3)n =22n，而展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為=2n.有 22n _2n =992 n = 5 (1) n =5,故展開式共有6，其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、第四兩項(xiàng).2 T3 二C；(xE)3 (3x2)2 =90x6 ,2 22T4 -Cf(x')2 (3x2)3 =270x瓦設(shè)展開式中第r 1項(xiàng)的系數(shù)最大.210 4rr , 3、5 _t2 . rr r 3 Tr 1 C5 (x )(3x )C5 3 x<3r f 3rc5 3c5+ 3r+頭丄，即 <r 6-r，丄亠-5 -r r +179解得 r v r N ,22r =4，即展開