二項(xiàng)式定理的練習(xí)及答案

1、二項(xiàng)式定理得練習(xí)及答案基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練(一)選擇題1展開式中常數(shù)項(xiàng)就是()A、第 4 項(xiàng) B、 C、 D、22. (x-l)u展開式中x得偶次項(xiàng)系數(shù)之與就是()A、2018 B、1023 C、1024D、 10243. 展開式中有理項(xiàng)得項(xiàng)數(shù)就是()A、4 B、5 C、6 D、74. 若與同時(shí)有最大值，則m等于()A、4 或 5 B、5 或 6 C、3 或 4 D. 55. 設(shè)(2x3)則 ao+ai+a2+a3 得值為()A、 1 B、 16 C、 15 D、 156 展開式中得中間兩項(xiàng)為()A、B、CD、(二) 填空題7. 在展開式中,得系數(shù)就是.8. 9. 得展開式中得有理項(xiàng)就是展開式得第項(xiàng).

2、10. (2x1)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之與就是.11. 展開式中系數(shù)最大得項(xiàng)就是12.0、991'精確到0、01得近似值就是.(三) 解答題13. 求(1+x+x2) (lx)10展開式中x"得系數(shù).14. 求(1+x)+ (l+x)'+(1+x)°展開式中 得系數(shù).15. 已知(12x)5展開式中第2項(xiàng)大于第1項(xiàng)而不小于第3,求x得取值范闈.16. 若展開式中,x得系數(shù)為21,問m、n為何值時(shí),F得系數(shù)最??？17. 自然數(shù)n為偶數(shù)時(shí),求證：18. 求被9除得余數(shù).19. 已知得展開式中，第五項(xiàng)與第三項(xiàng)得二項(xiàng)式系數(shù)之比為14;3,求展開式得常數(shù)項(xiàng).20.

3、 在(x：+3x+2)5得展開式中，求x得系數(shù).21. 求(2x+l)12展開式中系數(shù)最大得項(xiàng).參考解答：1. 通項(xiàng),由，常數(shù)項(xiàng)就是，選(B)2. 設(shè)f (x) = (xl)u,偶次項(xiàng)系數(shù)之與就是，選(C)3. 通項(xiàng)，當(dāng)r=0, 2, 4, 6時(shí)，均為有理項(xiàng)，故有理項(xiàng)得項(xiàng)數(shù)為4個(gè)，選(A)4. 要使最人，因?yàn)?7為奇數(shù)，則或或n二9,若n二&要使最大，則m=4,若n二9,要使最大，則或或 m二5,綜上知,m二4或m二5,故選(A)5. C 6、C 7、；8、4n;9、3,9, 15,2110. (2x1)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之與實(shí)為(2x+l)5展開式系數(shù)之與，故令x二1,則所

4、求 與為3：11. (l+3x+3x'+x)性(l+x)3此題中得系數(shù)就就是二項(xiàng)式系數(shù)，系數(shù)最人得項(xiàng)就是T子、12. 0、9915二(10、009) 5=13. ，要得到含得項(xiàng),必須第一個(gè)因式中得1與(lx)。展開式中得項(xiàng)作積，第一個(gè)因式中得一 £與(1x)9展開式中得項(xiàng)作積，故X得系數(shù)就是.14. =,原式中乳實(shí)為這分子中得X*,則所求系數(shù)為.15 由16. 由條件得m+n二21, F得項(xiàng)為，則因nN,故當(dāng)n二10或11時(shí)上式有最小值，也就就是m二11 與n=10,或m=10與n=U時(shí),x得系數(shù)最小.17. 原式二(C： + C； + C； + + C：T + C：) +

5、(C； + C： + C； + + C穿)=2» + 2 = 3.2心18. 8011 = (81 - I)11 = C®81u- CSl10 + + C；81 -1 = 8U- l(k e Z),VkGZ, .9klGZ,被 9 除余&19. 依題意A3n(nl) (n2) (n3)/4!=4n(nl)/2!n=10.設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，又令，此所求常數(shù)項(xiàng)為180.20.在(x+1)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1,含x得項(xiàng)為，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為2'32,含x得項(xiàng)為 展開式中含x得項(xiàng)為，此展開式中x得系數(shù)為24021.設(shè)Te得系數(shù)最大，則Tm得系數(shù)不

6、小于T與Ty得系數(shù)，即有展開式中系數(shù)最人項(xiàng)為第5項(xiàng),T5=三、拓展性例題分析例1在二項(xiàng)式得展開式中，前三項(xiàng)得系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項(xiàng).分析:本題就是典型得特定項(xiàng)問題，涉及到前三項(xiàng)得系數(shù)及有理項(xiàng),可以通過抓通項(xiàng)公式 解決.解:二項(xiàng)式得展開式得通項(xiàng)公式為：前三項(xiàng)得得系數(shù)為:，由已知:， 通項(xiàng)公式為為有理項(xiàng),故就是4得倍數(shù)， 依次得到有理項(xiàng)為.說明:本題通過抓特定項(xiàng)滿足得條件,利用通項(xiàng)公式求出了 r得取值，得到了有理項(xiàng).類似 地,得展開式中有多少項(xiàng)就是有理項(xiàng)？可以通過抓通項(xiàng)中廠得取值，得到共有17頁系數(shù)與為.例2 (1)求展開式中得系數(shù);(2)求展開式中得常數(shù)項(xiàng).分析:本題得兩小題都不就

7、是二項(xiàng)式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開得問題,(1)可以視為兩個(gè)二項(xiàng)展開式相乘;(2)可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式.解:展開式中得可以瞧成下列幾種方式得到，然后合并同類項(xiàng)：用展開式中得常數(shù)項(xiàng)乘以展開式中得項(xiàng)，可以得到;用展開式中得一次項(xiàng)乘以展開式中 得項(xiàng)可得到;用中得乘以展開式中得可得到;用中得項(xiàng)乘以展開式中得項(xiàng)可得到，合并同類項(xiàng) 得項(xiàng)為：(2)由展開式得通項(xiàng)公式，可得展開式得常數(shù)項(xiàng)為.說明:問題(2)中將非二項(xiàng)式通過因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決.這時(shí)我們還可以通過合并 項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開得問題來解決.例3求展開式中得系數(shù).分析:不就是二項(xiàng)式，我們可以通過或把它瞧成二項(xiàng)式展開.解:方法一：其中含得

8、項(xiàng)為.含項(xiàng)得系數(shù)為6.方法二：=l + 6(x-x2) + 15(x-x2)2 + 20(x-x2)3 + 15(x-x2)4 + 6(x-x2)5 +(x-x2)6其中含得項(xiàng)為.項(xiàng)得系數(shù)為6.方法3:本題還可通過把瞧成6個(gè)相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘可得到乘枳得一項(xiàng),項(xiàng)可由 下列幾種可能得到.5個(gè)因式中取禺一個(gè)取1得到.3個(gè)因式中取兀一個(gè)取，兩個(gè)取1得到.1個(gè)因式中取兀兩個(gè)取，三個(gè)取1得到.合并同類項(xiàng)為，項(xiàng)得系數(shù)為6.例4求證:(1);(2).分析:二項(xiàng)式系數(shù)得性質(zhì)實(shí)際上就是組合數(shù)得性質(zhì),我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)得性質(zhì)來證 明一些組合數(shù)得等式或者求一些組合數(shù)式子得值解決這兩個(gè)小題得關(guān)鍵就是通過組合

9、數(shù)公 式將等式左邊各項(xiàng)變化得等數(shù)固定下來,從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì).解:©川 _ n 如_燈!_伙_1)!(”_約!5-1)!伙_1)!( + 燈!=nC/c-in-l左邊右邊.左邊右邊.說明:本題得兩個(gè)小題都就是通過變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之與，再用二項(xiàng)式系數(shù)得性質(zhì) 求解此外，有些組合數(shù)得式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式得展開式，但這需要逆用二項(xiàng)式定理 才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以瞧卞面得例子：例5:求得結(jié)果.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)得式與得展開式接近，但要注意:從而可以得到：.例6利用二項(xiàng)式定理證明:就是64得倍數(shù).分析：64就是8得平方，問題相當(dāng)于證明就是得倍數(shù)，為了使問題向二項(xiàng)式定

10、理貼近,變形, 將其展開后各項(xiàng)含有，與得倍數(shù)聯(lián)系起來.解:就是64得倍數(shù).說明:利用本題得方法與技巧不僅可以用來證明整除問題,而且可以用此方程求一些復(fù) 雜得指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)得余數(shù).例7展開.分析1:用二項(xiàng)式定理展開式.解法1:分析2:對(duì)較繁雜得式子，先化簡再用二項(xiàng)式定理展開.解法2:=- (1024x15-3840x12 + 5760x9 4320.? +162(1? - 2437)3 2x說明:記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式得展開式，就是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題得前提條件.對(duì)較復(fù) 雜得二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡再展開會(huì)更簡便.例8若將展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過合并同類項(xiàng)后它得項(xiàng)數(shù)為().A.ll B.33C.55D.66分析:瞧作二項(xiàng)式展開.解:我們把瞧成,按二項(xiàng)式展開，共有“項(xiàng)”，即這時(shí)，由于“與”中各項(xiàng)得指數(shù)各不相同,因此再將各個(gè)二項(xiàng)式展開，不同得乘積展開后,都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng).下面，再分別考慮每一個(gè)乘積.其中每一個(gè)乘積展開后得項(xiàng)數(shù)由決定，