數(shù)學(xué)建模實驗2

1、數(shù)學(xué)建模實驗二2 微分方程實驗2.2 基本實驗1. 微分方程穩(wěn)定性分析對于一般的二元微分方程組 (1)稱代數(shù)方程組 (2)的實根x1=x10,x2=x20為微分方程(1)的平衡點，記作P0(x10,x20)。對于一般方程，可以考慮函數(shù)在平衡點(x10,x20)處展開，因此微分方程與線性方程 (3)有相同的平衡點。令 (4)對于(1)平衡點為(0,0)p= -tr(A)=-2;q=det(A)=1;由于p<0,則(0,0)是不穩(wěn)定的。對于(2)平衡點為(0,0)p=-tr(A)=-1;q=det(A)=2;由于p<0,則(0,0)是不穩(wěn)定的。對于(3)平衡點為(0,0)p=-tr(A

2、)=0;q=det(A)=2;由于p=0,則(0,0)是不穩(wěn)定的。 x與y的關(guān)系圖對于(4)平衡點為(0,0)p=-tr(A)=3;q=det(A)=2;由于p>0,q>0,則(0,0)是穩(wěn)定的。2. 種群增長模型得到N滿足的微分方程為 (5)令得到則方程有平衡解令，則平衡解N1是穩(wěn)定的。,則平衡解N2是不穩(wěn)定的。3. 單種群開發(fā)模型(1)令得到兩個平衡點則x0是穩(wěn)定的，x1是不穩(wěn)定的；當(dāng)畫出的線族圖如下:(2)令， (5)則平衡點是y=g(x)與直線y=Ex交點的橫坐標從g(x)的數(shù)學(xué)表達式中可以看出，其定點坐標為(N/2,hm)。hm=Nr/4,當(dāng)h>hm時，無平衡點，并

3、優(yōu)于橫有dx/dt<0,從而x(t)下降，最后導(dǎo)致無魚可捕，因而最大的捕撈量為hm=Nr/4，令其與(5)式中的h相等。得到穩(wěn)定狀態(tài)下最優(yōu)捕撈率為。4. Compertz模型單種群開發(fā)方程如下：令得到兩個平衡點則x0是不穩(wěn)定的，x1是穩(wěn)定的。令當(dāng)時，魚量x必>0。則是g(x)的極大值對應(yīng)的橫坐標則最大持續(xù)產(chǎn)量此時則捕撈強度其中g(shù)(x)曲線如下：5. 有限資源競爭模型 (6)知平衡點為1)對于平衡點P0所以P0點是不穩(wěn)定的2)對于平衡點P1若，則p>0,q>0，則P1是穩(wěn)定的。3)對于平衡點P2若，則p>0,q>0，則P2是穩(wěn)定的。綜上所述(1) 若，對于平衡

4、點P2是穩(wěn)定的，當(dāng)(2) 若，對于平衡點P1是穩(wěn)定的，當(dāng)(3) 對于線性方程組在平面上表示兩條直線l1和l21)當(dāng)，對應(yīng)的曲線如下：直線l1和l2將平面分成三個區(qū)域：在I區(qū)域：在II區(qū)域：在III區(qū)域：從圖中看出當(dāng)2)當(dāng)，對應(yīng)的曲線如下：直線l1和l2將平面分成三個區(qū)域：在I區(qū)域：在II區(qū)域：在III區(qū)域：從圖中看出當(dāng)6. 蝴蝶效應(yīng)與混沌解(1)建立微分方程組的外部函數(shù)(lorenz.m)function xdot=lorenz(t,x)xdot=-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3);再調(diào)用ode45()求解，

5、輸入：t,x=ode45(lorenz,0,100,0 0 1e-10);plot(x(:,1),x(:,2);axis(-1 50 -20 20 );xlabel('x1'),ylabel('x2')x1與x2的關(guān)系圖如下：x2與x3的關(guān)系圖如下：x1與x3的關(guān)系圖如下：(1) 令s=10，r=10，b=8/3，初始點為(0 0 10-10)x1與x2的關(guān)系圖如下：x2與x3的關(guān)系圖如下：x1與x3的關(guān)系圖如下：(2) 令s=5，r=28，b=8/3 初始點為(0 0 10-10)x1與x2的關(guān)系圖如下：x2與x3的關(guān)系圖如下：x1與x3的關(guān)系圖如下：(3)

6、令s=10，r=28，b=10 初始點為(1 1 10-10)x1與x2的關(guān)系圖如下：x2與x3的關(guān)系圖如下：x1與x3的關(guān)系圖如下：2.3 加分實驗 餐廳廢物的堆肥優(yōu)化問題1 問題分析堆肥是利用微生物的分解作用將有機廢物轉(zhuǎn)化成無害穩(wěn)定形式的生物化學(xué)過程，要提高堆肥產(chǎn)量方法之一就是通過增強細菌的生長繁殖能力以提高分解率。細菌群體的增長一般要經(jīng)歷延滯期，加速生長其、對數(shù)生長期、減數(shù)生長期、穩(wěn)定期、加速死亡期和對數(shù)死亡期。另外，對數(shù)生長期培養(yǎng)基中所有養(yǎng)分都過剩，細菌可以充分繁殖，其倍增速率恒定，取決于底物濃度、溫度、水活度、供氧量。對于當(dāng)前該餐廳來說底物濃度由每天的剩余食物、蔬菜葉和碎紙屑決定。碎

7、紙屑是吸收水分的調(diào)理劑，微菌呼吸所需要的溶解氧由蔬菜提供，水活度可以通過測定相對濕度來決定，其關(guān)系式是：相對濕度：B=P/P0*100%水活度：aw=P/P0其中P為該容易蒸汽壓，P0為純水蒸汽壓在這個堆肥系統(tǒng)中，可供微菌消耗的營養(yǎng)底物和溶解氧都是有限的，他們的消耗會對微菌生長率產(chǎn)生重要影響，一種微菌消耗營養(yǎng)底物的速度和底物濃度之間的關(guān)系式為：ds/dt=-KmSX/(Ks+s),式中，ds/dt表示為底物的有效消耗率，x表示為微濃度，Km表示為最大有效系數(shù)，在高濃度營養(yǎng)底物中最大的物料消耗率(物質(zhì)質(zhì)量/微菌一天的質(zhì)量)；Ks表示為半速系數(shù)(質(zhì)量/體積)，S表示為有限底物的濃度(質(zhì)量/體積)微

8、菌生長過程是一個生物化學(xué)過程，其生長率和五毒之間滿足公式：K=Ae(Ea/RT)，式中K表示為反應(yīng)速度常數(shù)，T表示為反應(yīng)的絕對溫度，R表示氣體常數(shù)，Ea表示反應(yīng)活化能，A表示頻率分子。我們知道，各種微菌都有一個最適生長溫度，如果溫度控制在最適值是微菌生長速率最高。微菌生長對水活度也有一定的要求，與微菌最高生長速率相對應(yīng)的有一最適水活度，優(yōu)化堆肥以為這盡可能少的時間內(nèi)生產(chǎn)處高質(zhì)量的肥料，參數(shù)的優(yōu)化依賴于所應(yīng)用的系統(tǒng)。2 模型的建立假設(shè)每天投入的肥料比是任意的，僅僅取決于當(dāng)天的情況，首先從已知數(shù)據(jù)中得到經(jīng)驗最佳比例，由于假設(shè)各次堆肥后肥料質(zhì)量相同，因此堆肥時間較短就對應(yīng)了較好的肥料配比，將12組數(shù)

9、據(jù)按其堆肥日期及完全堆肥時間分成三組，魅族中的較優(yōu)比例見下表：分組每組中的最短天數(shù)比例1-4No.4: 26203:82:05_8No.5:3379:28:09-12No.9:4982:44:9營養(yǎng)底物和氧氣是細菌生長的兩種底物，物耗公式為： (7)i=1時代表營養(yǎng)底物中可降解的有機物，i=2時代表氧氣。1） 在高濃度底物中，物料的轉(zhuǎn)化過程很迅速，進一步增加底物濃度就不再引起底物轉(zhuǎn)化率的提高，可假設(shè)，則(7)式簡化為： (8)這是關(guān)于底物濃度的零級反應(yīng)，消去X得到： (9 )積分后得 (10) 2)在低濃度底物中，可假設(shè)，則(7)式可簡化為： (11)消去X得： (12)： (13)3)當(dāng)Si

10、=Ksi, i=1,2 時有：dS1=Km1/Km2*dS2 下面的步驟就和1相同了3 結(jié)果分析：由上面的計算可知，當(dāng)SKs時，簡化方程(10)且Km1=Ae(-Ea/RT)，其中R=8.31L/(mol*K), Ea=51.3KJ/molT=25° C=298K時， Km=12克底物/(克微菌*天)可確定：A=12e(51.3*1000/8.31*298)當(dāng)T=49° C=322K時， 可得: Km1=A*e(51.3*1000/8.31*322)=55.7不同微生物的耗氧速度不同，這里可取86，經(jīng)過單位換算，可估算出Km2=86*0.001*24*223/22.4=20

11、.548 從而Km1/Km2=55.7/20.548=2.711下面從一只數(shù)據(jù)中選取幾組典型的數(shù)來定性說明(10)式在不同情況下的物理意義，設(shè)廢物漿中含有40%的有機揮發(fā)性物質(zhì)，有機物的降解為66%，并設(shè)蔬菜葉中含有25%的氧氣A）對于第二組數(shù)據(jù)：S1(0)=112*40%*66%=22.704 S2(0)=79*25%=19.75,S1(t)=2.711S2(t)-23.974,當(dāng)S1(t)=8.84,這表明在此情形下廢物漿中所含有的可降解的有機物可以完全被降解，氧氣的量是充足的。B)對第五組數(shù)據(jù)：S1(0)=20.856 S2(0)=7, S1(t)=2.711S2(t)+1.879, 在

12、時間足夠的情況下， S2(t)=0,S1(t)=1.879, 這表明氧氣的量是不充足的，廢物漿中所含可降解的有機物最多只能有S1(0)-S1(¥)/S1(0)=91%被降解由此我們可以確定出廢物漿和蔬菜也得最優(yōu)比例關(guān)系，最優(yōu)情況是在某個時刻t0有S1(t0)=S2(t0)=0,即廢物漿中可降解的有機物和蔬菜葉所提供的氧氣分別利用完。設(shè)堆肥原料中廢物漿的量為x，蔬菜葉的量為y，則由S1(t0)=S2(t0)=0 可得：S1(0)-2.711S2(0)=0,故有x*40%*66%=2.711*y*25%，從而得到x:y=2.567:1 對及S=Ks 的兩種情況，可用類似的方法進行分析。4 實施建議1） 堆肥過程中，每隔一段時間添加一定量的新鮮廢物，并從堆肥倉中排出等量的液體，使營養(yǎng)底物的濃度保持在一定水平之上，促進微菌大量繁殖。2） 堆肥過程中要