“基本不等式”中的母題及解題技巧

1、高二“基本不等式”中的母題及其解 題技巧，各種題型都包括知積倩理知積倩理1-基本不等式舊基本不等式舊 字字基本不等式的使用條件：1一正 60-即=所求最值的各項必須都是正值；2二定；血或 +咅為定值，即含變量的各頂?shù)暮突蚍e必須是常數(shù),3三相等當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號$即：等號能否取得.在應(yīng)用基本不等式求最值時要把握不等式成立的三個條件，若忽略了某個條件就會出現(xiàn)錯誤.2.由公式由公式護(hù)十護(hù)十妒鼻妒鼻 2 必和必和 刀冬宇可以引申岀的常用結(jié)論刀冬宇可以引申岀的常用結(jié)論aa纖耳沁b同號、；(2 + -2(a,杠異號“(3)占 yfb 學(xué) 0 . b 0)S十石爲(wèi)QfyOf且馬=尸(定值).那么當(dāng) jc=

2、i時，X+Y有最小值2fP.（簡記：“積定和最小”）（2）如果 x0, y0,且 x+y=S（定值）.那么當(dāng)x=y時,可:有最大值f.（簡記和定積最大”）類型一、直接應(yīng)用類類型一、直接應(yīng)用類此類間題較為基礎(chǔ)， 利用基本不等式求最直時應(yīng)注意： 非零的各數(shù)（或式）均為正；和或積為定值；等號能否成立，即“一正、二定、三相 等，這三個條件缺一不可.解答技巧一：直接應(yīng)用解答技巧一：直接應(yīng)用【母題一】若x0, 0 且x+ 18 貝的最大值是_ 【解轎】金于x0?）0,則2乂餅以xj,歲旦漢當(dāng)X9并： 秋創(chuàng)互丸位S1 【答案】S1【變式】【變式】1已知 X.r）= + -2（x0）,則心）有（）A.最大值為

3、 0B最小值為 0C.最大值為-4D.最小值為-4 【解析】【解析】x0,工）=一（_x）+1 一 2-2-2=-4,當(dāng)且僅L（F當(dāng)-x =, Wx= 一 1 時取等號.一乂【答案】【答案】C2.已知 0 xl,則 x（3 -3x）取得最大值時工的值為（）【解析【解析1V0 x0. x(3_3Q=3x(力3+_工1 12 = ?當(dāng)天=1 一 x,FFX= 7時取尋號.【答案】【答案】B3. (2014誠都診斷)己知定義在(0, +8)上的函數(shù)人 x) = 3r若.如 + b)=9,則人”)的最大值為_ -【解析】【解析】13小=9,.山+ &=22 価，得勿1,f(ab) = 327；

4、4 |= 2/2|06|= 2/100=20,當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|2 創(chuàng)=10時取等號，因此a + 2b的最 小值是 20.【答案】【答案】20類型二、配湊定值類類型二、配湊定值類( (恒等變形刻恒等變形刻此類問題一般不能直接使用基本不等式， 要從整體上把握運用基本不 等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變 形技巧有 z拆頂，湊頂，湊系數(shù)等.不論條件怎么變形，都需要根據(jù)條件: 湊和為定值時求積最大、湊積為定值求和最小.解答技巧二：拆項解答技巧二：拆項【母題二】已知Q0,貝i|函教W 二:十 1的最小值為 4-f 11【超析】丫。，) r+-424 2,旦莊7 1幷取年號

5、.【答案】一2解答技巧三：凄項解答技巧三：凄項【母題三】若x2.貝11函數(shù) 十三曲I最小值為【解析】.M2. bH（x-2）+占+22 +2=4,蛍且僅歲x-3幷玫琴今.【答秦】4解答技巧四：凄系數(shù)解答技巧四：凄系數(shù)【母題四】若 OPV則函數(shù)）一x（8-3x）的最大值為【解析】m,. =扣艸_3羽 w捫*+汗J工卜導(dǎo)苓且僅當(dāng)工=扌甘反尊孕【答案】y【變式】【變式】1.函數(shù)=汪（工1）的最小值是（）A. 2/3+2C. 2 苗B. 23-2D. 2 x10 .土一刁十力七 X-lX-122、/（x-l）- 汁 2=2苗+2 當(dāng)?shù)﹥H當(dāng) x-l=-,即 x=l+羽lT丿工 T時，取等號【答案】【答案

6、】A2.當(dāng) xl時，不等式 x + 恒成立，則實數(shù)a的最大值為x- 1【解析】【解析】Txl,.x-l。.又工=:一 1 - 十 12 十 1=3, X1X1當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)艾=2時等號成立.則QW3,所以Q的最大值為 3.0 2x+l+2（工一 1）+? _=葉 1）+（工_）+3】十？十【解析】【解析】Vxl ,X1X1X1【母題三】若x2.貝11函數(shù) 十三曲I最小值為【解析】.M2. bH（x-2）+占+22 +2=4,蛍且僅歲x-3幷玫琴今.【答秦】4【答案】【答案】33. (2014-濰坊一模)已知ab0, ab=l,則少-L匸的最小值為ab【解析】吐空【解析】吐空= =心凹型心凹型= =心

7、土心土=(=(0)+丄沁當(dāng)當(dāng)ababababJI僅當(dāng) ab = /5 時，取等號.【答案】【答案】2 花4.已知函數(shù)幾工)=壬爐十 6(1) 若滄)&的解集為體-2,求矗的值；(2) 對任意工0,用)r恒成立，求 r的取值范圍.【解】【解】(1 M-v)fcv2- 2x + 6fr0.由已知工比 3,或工一 2是其終集，得 2x+&E = 0的兩根是一 3, 2.17白銀與系數(shù)的關(guān)系可知(一 2)+(3)=亍，即七=一才.類型三、條件巖值類類型三、條件巖值類利用基本不等式求最值的方法及注意點利用基本不等式求最值的方法及注意點(1)知和求積的最值：求解此類問題的關(guān)鍵：明確和為定值

8、，積有最 大值但應(yīng)注意以下兩點：具備條件正數(shù)；驗證等號成立.(2)因為當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)囪已知幾口0 恆成立，故ES的取值范圍是（2）知積求和的最值；明確積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本 不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件.（3）構(gòu)適不等式求最值：在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值間題時， 通常采用“變量替換”或“常數(shù) 1的替換，構(gòu)造不等式求解.技巧耳換衣（技巧耳換衣（“廣）（或整體代換）廣）（或整體代換）【母題五】已知a0 bQ9fl + d-H則+十抽最小值為a 0-HE aA-b.,弗a*、./&ar2+-+r2 + 2/-r刃1豐!魴嚴(yán)小說為4.歲旦漢當(dāng)4=6=討琴號成立.

9、a Q2【答秦】4【變式】【變式】【答案】【答案】92. 本例的條件和結(jié)論互換即：已知 a0, b0,丄+ =4,則 a + b 的a 0最小值為_ .【解析】【解析】站+扌=4,得舟+金=1. .+5=（右+卻葉叭=*+護(hù)+2寸辭畚=1 當(dāng)?shù)﹥H當(dāng) Q=b=扌時取等號【答案】【答案】13. 若本例條件變?yōu)椋阂阎?d0,b0,a + 2b = 3,則二+ g的最小值為a b【解析】1.本例的條件不變,5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng) a=b=時，取等號.的最小值為【解【解析析】 丨丨2 十機 22【解析】由o+2b=3吋十詁=1利=(卜+|號+(|=扌+僉+SI+2A/B=3-當(dāng)且僅當(dāng) a = 2i = |

10、fft,取等號【答案】【答案】I4. 本例的條件變?yōu)椋灰阎?a0, &0,。0,且 a + b + c = l,則*+ 烈的最小值為-【解析】【解析】0M0, CO,且。十 b 十 G1,.冷十+十右=吐嚴(yán)十宅十a(chǎn)bc= 3十十匚十十升 3十&=3 十依十歹十但十十b caa b D c c a bj ac 丿行十訐 3 十 2 十 2 十 2=9當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=扌時，取等號.【答案】【答案】95.若本例變?yōu)橐阎黜敒檎龜?shù)的等比數(shù)歹!/滿足=少+ 2 少，若 存在兩項Un使得Jdm On=2flai ,則丄+ 土的最小值為m n-【解析】【解析】設(shè)公比為 g(g0),白ai

11、=a-2a?=2. V7 = 2/Lji=G2kim2 曠 1=8 壓=2 曲-1-2曠 1 = 8+”_2=3+ = 5,畔+扌=+訓(xùn)+町=|5+點+御 |1 十。十 2農(nóng)，；當(dāng) 1 十“十2 花9 時不等式恒成立，枚&十 13, a4 【答案】【答案】B技巧六：構(gòu)造一元二次不等式技巧六：構(gòu)造一元二次不等式在運用該方式解題時，既要拿握公式的正用，也要汪意公式的逆用，例如arb-2ab逆用就是ab0）逆用就是訥S，Q0）等.還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件思考方式還能以保留“和（十 0）”還是“和（血）”來確定公式的運用方向.【解析【解析1Vx0,y0.由工+3y=5+4堆

12、+咼=5 （當(dāng)且僅當(dāng) x = 2y 時取等號）.【答案】【答案】C對任意正B. 4=1.3x+4j = |(3x+4+卄呼卄呼嚴(yán)苧嚴(yán)苧$X12vx-X?5-A.2等.【母懸六】若正實數(shù) I）蒜足勺 46=巧，則 X）的最小值是【闞析】A:0, y0, 2jt+y+6m7，狂7=2*/亠6（當(dāng)且僅蠶比，等令威.空,即（ZJy2/一60,3/1）（/ig +）0 X*-eV0, * xy3l2,即jej 18. xy的聶J值為IS.【答秦】is【變式】【變式】1.已知 x0, y0, x + 2y + 2.n, =8,貝J r+2y 的最小值是（A. 3B. 4c-1時等號衣立.二（工+ 2）護(hù)十

13、 4（x+2y）-32$0,鋌得 x 十 24或工十 2v8（舍去） Ai + 2y的最小是 4.【答案】【答案】B2.若正數(shù)工,y 満足 x2+ 3.n l =0 5B.也33c也D.藝【解析】【解析】對于 x2+ 3x1=0 可得）=X）彩=爭（當(dāng)且僅當(dāng)斗=呂:，即工=翠時等號成立）.【答案】【答案】B3._若實數(shù)工，y滿足 x2+y2+jcy= 1,則 x+y的最大值是_ -D.【解析】依題意.當(dāng)且2x）=_x=2j,x 十 2十 2 巧3x【解析】x2+嚴(yán) +. = 1。（x +Fo = 1 令（x +）=1 =.n 1+2=0.Sr+2* /o.8x- = 8.當(dāng)?shù)﹥H當(dāng) 0. 8x=

14、,即咒=5 時、工丄等號成立.【答案】52.（創(chuàng)新題丿規(guī)定記號0 表示一種運算，即aGb = ab+a-b（a36為正實數(shù)）.若 10=3,則丘的值為_,此時函數(shù)冗竹=詰的最小值為_.【解析】10=7%十 1十上=3,即上十jk2=Q,奴fi= 2（舍），Afr=l.腳=學(xué)=洱土 1=1+&+斗+2=3,當(dāng)且僅當(dāng)證=厶yjx xJxvx1時等號戍立.【答案】n 33. 設(shè) 3 = （1, -2）,衍=（e一 1）,亂=（- b,0）（a0 b0, 0 為 坐標(biāo)原點），若力，B,C三點共線，則2+J 的最小值是（）x=a DA 4B.-C. 8D. 9【解析】丁初=勵一剪= （al：l）

15、,J?=況一剪=（力一 1,2）.若加,B,C三點關(guān)線，則有質(zhì)衛(wèi)乙91；（d-l）X2-i X（-b-l） = 0. A26f+Z = l,又 a0,b0.:二+*=a o（|十*）-（2a十 0）=5+乎+乎5+2/軒=9,當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)（2 方=2a Qb 即 a=b=扌時等號成立.l2a+b=l,【答案】D4.設(shè)正實數(shù) x,y,2 滿足 x2-3xv + 4y;-z = 0,則當(dāng)學(xué)取得最大值時, #丄-|的最大值為（）【解析】由已知得 z=x23x）H-4y2（*）,則芋= -乂-Tr2匕_3 可+420, y0, x+y + 3=xy,且不等式（x+yF 。（兀+刃 + 10 恒咸立，則實數(shù) a 的取值范圍