13.4課題學習最短路徑問題教學設(shè)計

1、134 課題學習最短路徑教學設(shè)計一、教材分析1 1、 地位作用：隨著課改的深入，數(shù)學更貼近生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營中的問題，于是就出現(xiàn)了為省時、省財力、省物力而希望尋求最短路徑的數(shù)學問題。 這類問題的解答依據(jù)是“兩點之間，線段最短”或“垂線段最短”，由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別。 初中數(shù)學中路徑最短問題，體現(xiàn)了 數(shù)學來源于生活，并用數(shù)學解決現(xiàn)實生活問題的數(shù)學應用性。2 2、 目標和目標解析：（1 1）目標：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最 值問題中的作用；感悟轉(zhuǎn)化思想. .（2 2） 目標解析：達成目標的標志是：學生能講實際問題中的“地點”“河

2、”抽象 為數(shù)學中的線段和最小問題，能利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“連點之間， 線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；在探索最算路徑的過程中， 體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想 3 3、 教學重、難點教學重點：禾 I I用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“連點之間，線段最短”問題教學難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題突破難點的方法：禾 I I用軸對稱性質(zhì)，作任意已知點的對稱點， 連接對稱點和已知 點，得到一條線段，利用兩點之間線段最短來解決 二、教學準備：多媒體課件、導學案三、教學過程教學內(nèi)容與教師活動學生活 動設(shè)計意圖一、創(chuàng)設(shè)情景引入課題師： 前面我們研究過一

3、些關(guān)于“兩點的所有連線中， 線段 最短”、 “連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線 段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}現(xiàn)實生活 中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探 究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題” （板書）課題學生思 考教師 展示問題，并觀 察圖片， 獲得感 性認識 從生活中問 題出發(fā)，喚 起學生的學 習興趣及探 索欲望 二、自主探究合作交流建構(gòu)新知 追問 1 1:觀察思考，抽象為數(shù)學問題 這是一個實際問題，你打算首先做什么？ 活動 1 1:思考畫圖、得出數(shù)學問題將 A A, B B 兩地抽象為兩個點，將河 I I 抽象為一條直線.B動手畫直線追問 2 2 你

4、能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？師生活動：學生嘗試回答， 并互相補充，最后達成共識：(1 1)從 A A 地出發(fā)，到河邊 I I 飲馬，然后到 B B 地；(2 2)在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與 A,BA,B 連 接起來的兩條線段的長度之和，就是從 A A 地 到飲馬地點，再回到 B B 地的路程之和；(3 3)現(xiàn)在的問題是怎 樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線 I I 上的點.設(shè) C C 為 直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點 C C 在 I I 的 什么位置時，ACAC 與 CBCB 的和最小(如圖).AVBC 嘩*/B”強調(diào)：將最短路徑問題

5、抽象為“線段和最小問題”活動 2 2:嘗試解決數(shù)學問題問題 2 2 :如圖，點 A A，B B 在直線 I I 的同側(cè)，點 C C 是直線 上的一個動點，當點 C C 在 I I 的什么位置時，ACAC 與 CBCB 的和 最??？追問 1 1 你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條 件的點 BB嗎？觀察口答動手連線觀察口答獨立思 考合作交流匯報交流成果,書寫理由 思考感 悟活動1 1 中的將 軍飲馬為 學 生 提 供參 與 數(shù) 學 活動 的 生 活 情境， 培養(yǎng)學 生的把生活 問題轉(zhuǎn)化為 數(shù)學問題的 能力 經(jīng)歷觀察- - 畫圖- -說理 等活動，感 受幾何的研 究方法，培 養(yǎng)學生的邏 輯思

6、考能力. .達 到 軸 對 稱知 識 的 學 以致用注 意 問 題 解決 方 法 的 小結(jié)： 抓對稱 性來解決及時進行學法指導，注問題 3 3 如圖，點 A,A, B B 在直線 I I 的同側(cè)，點 C C 是直線C師生活動：學生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相 補充如果學生有困難，教師可作如下提示 作法：（1 1）作點 B B 關(guān)于直線 I I 的對稱點 BB;（2 2）連接 ABAB，與直線 I I 相交于點 C,C,則點 C C 即為所求. 如圖所示：問題 3 3 你能用所學的知識證明 ACAC +BC+BC 最短嗎?教師展示：證明：如圖，在直線 I I 上任取一點 C C （與點

7、C C 不重合），連接 ACAC，BCBC，BB CC.由軸對稱的性質(zhì)知，BCBC =B=B C,C, BCBC =B=B CC.ACAC +BC+BC=AC=AC +B+B C C = = ABAB ，ACAC +BC+BC=AC=AC +B+BC.問題， 把 剛學過 的方法 經(jīng)驗遷移過來重方法規(guī)律的提煉總結(jié) 上的一個動點，當點 C C 在 I I 的什么位置時, 最??？ACAC 與 CBCB 的和學生獨 立完成， 集體訂 正學以致用,及時鞏固學生獨 立完成， 集體訂 正注意問題解決方法的小結(jié)： 抓軸對 稱來解決CC方法提煉 C C 將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題冋題 4 4練習 如圖

8、，一個旅游船*從大橋 ABAB 的 P P 處前往山腳下的 Q Q 處接游客，然后將游客送往河 畫出旅游船的最短路徑.BCBC 上，再返回 P P 處，請互相交 流解題 經(jīng)驗B大橋基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接 PQPQ 線段 PQPQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一 條直線 BCBC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點 P P，Q Q 在直線 BCBC 的同側(cè), 如何在 BCBC 上找到一點 R,R,使 PRPR 與 Q QR R的和最小”.問題 5 5 造橋選址問題如圖，A A 和 B B 兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋 MNMN 喬早在何處才能使從 A A 到 B

9、B 的路徑 AMNAMN 最短？（假定河 的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）獨立完 成，交流 經(jīng)驗觀察思 考，動手 畫圖，用 軸對稱知識進 行解決經(jīng)歷觀察- - 畫圖- -說理 等活動，感 受幾何的研 究方法，培 養(yǎng)學生的邏 輯思考能力. .提煉思想方法：軸對稱,線段和最短體會轉(zhuǎn)化思想，體驗軸對稱知識的應用思維分析：1 1、如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從 A A 到 B B的路徑是 AM+MN+BAM+MN+B 那么怎樣確定什么情況 下最短呢？2 2、禾U用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？思維點撥：改變 AM+MN+BAM+MN+B 的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？ 什么圖形變換

10、能幫助我們呢？（估計有以下方法）1 1、把 A A 平移到岸邊 2 2、把 B B 平移到岸邊. .3 3、把橋平移到和 A A 相連. .4 4、把橋平移到和 B B 相連. .教師：上述方法都能做到使 AM+MN+BAM+MN+B 不變呢？請檢驗. .1 1、2 2 兩種方法改變了 . .怎樣調(diào)整呢？把 A A 或 B B 分別向下或 上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢 ？問題解決：如圖，平移 A A 到 A1A1,使AA1A1 等于河寬，連接 A1A1B交河岸于N作橋MN,此時路徑AM + MN+BN最 短. . 理由；另任作橋MINI,連接AM1,BN1,A INI. . 由平移性質(zhì)

11、可知，AM=A1N,AA1=MN = M1N1,AM1=A1N1. . AM+MN+BAM+MN+B 轉(zhuǎn)化為AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1轉(zhuǎn)化為AA1+ A1N1+BN1. . 在A1N1B中，由線段公理知 A1N1+BNA1N1+BNAA1BA1B 因此AM1+M1N1 + BN1 AM+MN+BNAM+MN+BN 如0圖所示：A各抒己動手體驗合作與交流動手作圖1、性方法是煉 JM、 -Mi將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“線段和最爪問題” 性、牡I交流體 會體驗轉(zhuǎn)化思 想教學內(nèi)容與教師活動N1學生活 動設(shè)計意圖三、鞏固訓練1、（一）基礎(chǔ)訓練：1 1 最短路徑問題（i i）求直線異側(cè)的兩點與

12、直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求.如圖所示，點 A A, B B 分別是直線 l l 異側(cè)的兩個點，在 1 1 上找一個點 C C,使CACA + CBCB 最短，這時點 C C 是直線 1 1 與 ABAB 的交點.A（2 2）求直線冋側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點， 則與該直線的交點即為所求.如圖所示，點 A A, B B 分別是直線 l l 同側(cè)的兩個點，在 1 1 上找一個點 C C,使 CACA+ CBCB 最短，這時先作點 B B 關(guān)于直線 l l 的對稱點 B B,則點

13、 C C 是直線 1 1 與 ABAB的交點.jtB學生獨 立思考 解決問 題鞏固所學知識，增強學 生應用知識 的能力，滲 透轉(zhuǎn)化思 想. .C C 疋12.如圖，A A 和 B B 兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一 座橋 MNMN 和 P PQ Q橋分別建在何處才能使從 A A 到 B B 的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）A AB如圖，問題中所走總路徑是 AM+MN+NP+PQBAM+MN+NP+PQB .橋 MNMN 和 PQPQ在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線 段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè) 先走橋長. .平移的方法

14、有三種：兩個橋長都平移到 A A 點處、都獨立思 考，合 作交流 提煉方法， 為課本例題 奠定基礎(chǔ). .平移到 B B 點處、MNMN 平移到 A A 點處，PQPQ 平移到 B B 點處B B，要在河邊建一自來水廠向(1)(1) 若要使廠部到 A A，B B 村的距離相等，則應選擇在哪建廠？(2)(2) 若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應建在什么地方？(三)綜合訓練：茅坪民族中學八(2)(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖 a a 所示兩直排( (圖中的 AOAO，BO)BO)，AOAO 桌面上擺滿了橘子，OBOB 桌面上擺滿了糖果, 站在 C C 處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？圖 b b四、反思小結(jié)布置作業(yè) 小結(jié)反思(1) 本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？(2) 軸對稱在所研究問題中起什么作用？解決問題中，我們應用了哪些數(shù)學思想方法？ 你還有哪些收獲？作業(yè)布置、課后延伸必做題：課本 P93-15P93-15 題；選做題：生活中，你發(fā)現(xiàn)那些需要 用到本課知識