由一道例題教學(xué)引發(fā)的探索與反思

1、由觀摩一道例題教學(xué)片段引發(fā)的思考廉州學(xué)區(qū)李建文韓國會(huì)武小慧盧凡近日，在觀課過程中，我們看到了兩位初中教師的的同一例題的教學(xué)過程，觀課之后有所感想。下面，結(jié)合我們的認(rèn)識(shí)就課本中的這一例題及教師的教學(xué)做一分析，與大家共同做一探索和交流，不當(dāng)之處還請指正。此例題是人教版教材八年級(jí)上冊12.3 等腰三角形例已知：如圖，在ABC中， AB=AC ，點(diǎn) D 在 AC 上，且解： AB=AC ，BC=BD=AD ， ABC=C=BDC， A= ABD（等邊對(duì)等角）。設(shè) A= x，則 BDC=A+ ABD=2x，從而 ABC= C= BDC=2x。于是在ABC中，有 A+ ABC+C=180°.解得

2、 X=36°。在 ABC中， A= 36°， ABC=C=72°。1（P50）。原題及解答過程如下：BD=BC=AD ，求ABC各角的度數(shù)。ADBC一、教師的教學(xué)過程分析（一）、例題教學(xué)過程簡錄第一位教師的教學(xué)過程：1、 先讓學(xué)生自己嘗試解答此問題，同時(shí)指名學(xué)生1 上黑板板書解法；2、 指名讓學(xué)生1 講解自己的解法；3、 指名學(xué)生 2 指出學(xué)生 1 解法中存在的問題。第二位教師的教學(xué)過程：1、投影出示問題讓學(xué)生思考；2、指名學(xué)生 1 回答解法；3、投影課本解法。（二）、教學(xué)過程簡單分析1、例題的作用認(rèn)識(shí)課本中的例題的一般具有鞏固性、綜合性、典型性和示范性。兩位教師

3、的教學(xué)都能體現(xiàn)了鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、 提高基本技能和對(duì)推理的示范的作用， 對(duì)于本例題所體現(xiàn)出來的綜合性、典型性教師還可作進(jìn)一步挖掘，以使例題的作用實(shí)現(xiàn)最大化。2、例題思路的分析通過教師的教學(xué)學(xué)生們知道了例題答案，但是學(xué)生只知道這么解答，沒有思考為什么這么解答，教師也沒有說為什么這么解答。對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)生來說，如果不是課前學(xué)生看了課本的解法，或者不看投影內(nèi)容是想不出這種列方程的解法。學(xué)生們雖然現(xiàn)在知道怎樣做此題了，但是今后再遇到這類問題，可能還是不知道怎么思考。3、對(duì)學(xué)生的關(guān)注教師的教學(xué)不僅關(guān)注教材內(nèi)容如何教， 更要關(guān)注學(xué)生如何學(xué)。 要使文本形態(tài)的學(xué)科知識(shí)變成學(xué)生能夠接受的學(xué)習(xí)形態(tài)課堂知識(shí)， 還需要教師

4、對(duì)教材進(jìn)行恰當(dāng)處理。 教師的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅要符合知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，更要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；教學(xué)設(shè)計(jì)不僅在教師眼中的合理，更要符合學(xué)生的思維，讓學(xué)生的思維“自然地流淌出來” 。4、對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)雖然教師在“引導(dǎo)” ，但是教師引導(dǎo)的是學(xué)生如何“講” ，并沒有在引導(dǎo)學(xué)生如何“想” ；雖然學(xué)生在交流，但是學(xué)生在講“解法” ，而沒有講“想法” 。教學(xué)過程只是由教師的“講解”變成了學(xué)生的“講解”，變化的只是講的主體，仍然沒有改變“告訴式教學(xué)”的本質(zhì)，教學(xué)方式?jīng)]有根本改變。5、例題的變式教學(xué)教師教學(xué)過程中， 沒有圍繞例題進(jìn)行變式教學(xué)， 沒有找出例題和習(xí)題之間的內(nèi)在聯(lián)系。 練習(xí) 1（ 1）中的三角形就是例題中的

5、等腰 ABC （頂角是底角一半的等腰三角形） 。練習(xí) 3 是例題的變式，是用 CBD=26°換掉例題中的 AB=AC 。6、例題中包含的數(shù)學(xué)思想方法本例題的解答過程包含著轉(zhuǎn)化、方程思想的運(yùn)用，教師深挖隱含在例題中的數(shù)學(xué)思想方法，將例題教學(xué)提升到數(shù)學(xué)思想、方法的層面去認(rèn)識(shí)，直接影響著學(xué)生解題能力的提升。二、對(duì)該例題的分析此題在舊人教版有，新人教版也做了保留了，是一個(gè)經(jīng)典的題目。1、從本題涉及到的知識(shí)上來看本題出現(xiàn)在等腰三角形這一部分內(nèi)容中，除用到了等腰三角形的定義、等腰三角形的等邊對(duì)等角性質(zhì)外，還用到了三角形的外角概念、三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理。AADDBCBCB2、從圖形位

6、置上看（1）從圖形的構(gòu)成上看這是由三個(gè)等腰三角形組成的圖形，這三個(gè)等腰三角形為：ABC、BCD、ABD。由等腰BCD、ABD拼成等腰ABC。（2）從角的位置上看ABC的 A 與ABD的 A 重合（ A 是ABC與ABD的公共角），ABC的 C 與BCD的 C重合（ BCD是ABC和BCDR的公共角）， BDC是ABD的外角。（3）從邊的位置上看ABC與ABD的邊 AB 重合：ABC與BCD的邊 BC 重合，BCD與ABD的邊 BD 重合，ABC、BCD、ABD還有共線的邊CD 、AD 、 AC 。3、從數(shù)量關(guān)系上看三角形的位置關(guān)系決定了相應(yīng)的角和邊的數(shù)量關(guān)系：（1）從角的數(shù)量關(guān)系上看相等的角有

7、 A= ABD=DBC, ABC=ACB=BDC；2 倍（或 1/2 ）角有： ABC=ACB =BDC=2A=2 ABD=2 DBC，或 A= ABD=DBC=（ ABC=ACB=BDC）/2 。（2）從邊（線段）的數(shù)量關(guān)系上看：有AB=AC ，BC=BD=AD 。4、從等腰三角形內(nèi)的角之間的度數(shù)看ABC是頂角度數(shù)是底角度數(shù)一半的等腰三角形。5、從本題解法中應(yīng)用到的思想方法看（ 1）方程思想。本題是用方程思想來解決關(guān)于幾何角度計(jì)算題的典型例題，學(xué)生初次接觸這種方法，這種解法不易想到。（ 2）轉(zhuǎn)化思想：由線段相等轉(zhuǎn)化為角相等，由幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題等。這種思想解題經(jīng)常用到，需要教師強(qiáng)調(diào)點(diǎn)出。

8、6、站在初中數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的整體的角度看（1）學(xué)習(xí)了等腰三角形判定之后，還會(huì)遇到與此題有關(guān)系的題目，如教材53 頁練習(xí)題 1、56 頁習(xí)題 12.3 中的 3 題。到九年級(jí)學(xué)習(xí)了三角形相似、成比例線段、黃金分割的有關(guān)知識(shí)后，本題還可以用進(jìn)行拓展：本題中有三角形相似：ABCBCD，有成比例線段AD 2=BD 2=BC2=AC*DC ，D 為 AC 的黃金分割點(diǎn)。三、對(duì)該例題的教法建議本例題的圖形位置關(guān)系比較復(fù)雜，邊、角的相等關(guān)系比較多，對(duì)于一般的學(xué)生難以理清其中的關(guān)系，需要給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行思考、交流，必要時(shí)教師可以用課件（如幾何畫板）來演示這三個(gè)三角形是如何重合的，以進(jìn)行引導(dǎo)點(diǎn)撥，從而明確角的

9、位置關(guān)系。對(duì)于課本解答過程學(xué)生能看懂，解題用的方法不易想到，至于為什么這么做，做法中所包含的思想方法更不易想到，這就需要教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，采用低起點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，多做鋪墊工作。1、怎樣由邊的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的數(shù)量關(guān)系是解答本題的一個(gè)關(guān)鍵。利用本節(jié)課剛學(xué)了等腰三角形的等邊對(duì)等角的性質(zhì)，學(xué)生比較容易將邊的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系。2、在本題中，發(fā)現(xiàn)角的位置關(guān)系（三角形的外角、兩個(gè)三角形的公共角）是本題的另一個(gè)關(guān)鍵。學(xué)生在七年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)了與三角形有關(guān)的角，但是由于教材編排原因，造成了學(xué)習(xí)的不連貫，時(shí)間長了學(xué)生可能對(duì)此知識(shí)印象不深了，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中的位置及數(shù)量關(guān)系（

10、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和）。3、三角形內(nèi)角和為180°是隱含在三角形的角的數(shù)量（等量）關(guān)系，學(xué)生想不到用它來做等量關(guān)系來列方程。因此，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°來列方程是本題的難點(diǎn)所在。4、本題已知中沒有給出某一具體角的角度，卻要求角的度數(shù)，教師可以利用這一點(diǎn)制造認(rèn)識(shí)上的沖突進(jìn)而順勢引導(dǎo)，讓學(xué)生用未知數(shù)x 將 ABC（或 BDC、ABD）中各角表示出來，發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，進(jìn)而在 ABC（或 BDC、ABD）中利用三角形內(nèi)角和等于180°做等量關(guān)系列出方程，從而利用列方程解應(yīng)用題的思路將問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程問題來解答。教師在引導(dǎo)學(xué)生解答本題后，

11、反過頭來再回顧一下本題是如何利用列方程解應(yīng)用題的思路來解答，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)方程思想的認(rèn)識(shí)。5、本題解法中可以用A 來表示出 ABC和 C，也可以利用方程直接求出角的度數(shù)。但是設(shè)出未知數(shù) x 后，角之間的數(shù)量關(guān)系、列方程所用等量關(guān)系就更加明顯，由此可以理解教材編寫者刻意引入未知數(shù)以強(qiáng)化和滲透設(shè)未知數(shù)列方程思想的意圖。四、本例題教學(xué)設(shè)計(jì)示例對(duì)于本例題， 教師可以將問題改成幾個(gè)小問題， 用問題去引導(dǎo)學(xué)生思考，通過解答這一“串”小問題，從而完成本題的解答。 （具體解答過程讓學(xué)生自己完成。）（ 1）、圖中有哪些相等的線段？（ 2）、圖中有幾個(gè)等腰三角形？（ 3）、圖中有幾對(duì)相等的角？（ 4）、若設(shè) A=x

12、，則圖中其它角如何用 x 表示？（ 5）、 ABC（或 BCD、 ABD）的內(nèi)角和（或平角 ADC）怎樣用 x 表AD示？BC（ 6）、請列出方程并解出所列方程。（ 7）、本題用到哪些數(shù)學(xué)知識(shí)，用到哪些數(shù)學(xué)思想？五、對(duì)教師教學(xué)的反思1、要?jiǎng)?chuàng)造性的使用教材首先要認(rèn)真鉆研教材， 吃透教材的精神與實(shí)質(zhì)； 其次要挖掘教材， 找出知識(shí)與知識(shí)、 題目與題目、知識(shí)與題目之間的“內(nèi)在聯(lián)系” ， 有效串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，創(chuàng)造性的使用教材進(jìn)行教學(xué)。2、要重視分析例題課本中的大部分例題具有典型性和示范性， 許多中考試題源于此又高于此。 正確引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題展開一些探究，適當(dāng)引申拓展，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的探索能

13、力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造能力。3、注重?cái)?shù)學(xué)思想方法教學(xué)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)知識(shí)中奠基性成分， 是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)能力必不可少的。 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是把知識(shí)型教學(xué)轉(zhuǎn)化為能力型教學(xué)的關(guān)鍵。 揭示問題中所包含的思想方法是例題教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)。教師要深挖題目中所包含的思想方法，養(yǎng)成站在思想方法的高度進(jìn)行教學(xué)的習(xí)慣，讓學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，能用思想方法將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。4、要關(guān)注和引導(dǎo)學(xué)生教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師不僅要尊重教材特點(diǎn)，還要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，反復(fù)揣摩最適合學(xué)生需要的方式、方法進(jìn)行教學(xué)。在教學(xué)過程中，教師要適時(shí)地、恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)點(diǎn)撥，讓學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，在思維能力、情感、態(tài)度與價(jià)值觀等方

14、面得到進(jìn)步和發(fā)展。5、注意對(duì)例題（練習(xí)題、習(xí)題）的變式教學(xué)圍繞課本中的例題（練習(xí)題、習(xí)題）進(jìn)行變式教學(xué)，可以加強(qiáng)題目之間的聯(lián)系，使所學(xué)題目不再是“孤立”的，可以讓學(xué)生從多角度認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)，掌握知識(shí)（題目）之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“舉一反三”、“由厚到薄”，避免了“題海之苦” 。為方便教師教學(xué)，本人就課本例題提供幾道變式題供教師使用。變式 1：如圖，在 ABC中.AB=AC,D.E 分別在 AC,AB 上, 且 BC=BD,AD=DE=EB,求 A 的度數(shù)。（答案：A=45°）（注：例題中 A 和 ABD相等，而此題中 A 是 ABD的 2 倍，可以看作是對(duì)A 和 ABD的數(shù)量關(guān)系的變式。

15、） ( 將例題中的 AD=BD 換成 AD=ED=EB )變式 2：如圖，在 ABC中 ,AB=AC,點(diǎn) D 在 AC的延長線上 , 且 BD=AB,DC=BC（.1）求ABD各角的度數(shù)。（2）求證： BD2=DC*DA 。（答案：（1） A=36°、 ABC=C=72°；（2）可以由BDCADB）（注：如果例題看作是在頂角為 36°的等腰三角形 ABC內(nèi)構(gòu)造了一個(gè)頂角為 36°的等腰三角形，那么本題可以看作是在頂角為 36°的等腰三角形 ABC外構(gòu)造了一個(gè)底角為 36°的等腰三角形。 ）變式 3：如圖，在ABC中 ,BC=BD=AD

16、, CBD=26°，求 A、C的度數(shù)。( 注：用 CBD=26°換掉 AB=AC 。)變式 4：如圖，在 ABC中,AB=AD=DC, BAD=26°，求 B、 C 的度數(shù)。 ( 課本練習(xí)題 P51)( 注：本題是變式 3 的圖形變式，由例題去掉 AB=AC 得到。 )變式 5：如圖，在 ABC中 ,BC=BD=AD, A =40 °，求 CBD、 C 的度數(shù)。 ( 注：例題 去掉 AB=AC )變式 6：如變式 5 圖，在 ABC中,BC=BD=AD, A =X°， CBD=Y°，你能用 Y 表示 X 嗎？試寫出用 Y 表示 X 的

17、式子。 ( 注：例題去掉 AB=AC )變式 7：已知：如變式 7 圖，在 ABC中， AB=AC ，點(diǎn) D 在 AC 上，且 BD=BC ，若 A =30°，求 ABD的度數(shù)。 ( 注：用 A =30°換掉例題中的 BD=AD )變式 8：已知：如變式7 圖，在ABC中， AB=AC ，點(diǎn) D 在 AC 上，且 AD=DB ，若 A =40°，求DBC的度數(shù)。( 注：用 A =40°換掉例題中的DB=BC ，本題也可以看成是教材57 第 7 題改編而成的。 )今天看了稿件，總體感覺可以，你可以試著從下列方面進(jìn)行修改，然后和何兵勇所長聯(lián)系，看他有什么建議

18、。1. “一道例題的教學(xué) ”是教學(xué)片段還是整堂課的教學(xué)應(yīng)該說明清楚。2. 在介紹教學(xué)過程時(shí)，應(yīng)盡量詳細(xì)，使人看到整個(gè)的教學(xué)過程，不然對(duì)你的分析不以為然。3. 在分析教學(xué)過程時(shí)，不足之處不易說的太嚴(yán)重，如：不重視例題教學(xué)，不重視思想方法的教學(xué)等。4.對(duì)例題的說明，最好依據(jù)教學(xué)參考中對(duì)本課例題的要求來說明它的作用，不宜夸大。5.對(duì)該例題的教學(xué)可給出自己的教學(xué)設(shè)計(jì)。以便和上面兩位老師的教學(xué)進(jìn)行對(duì)比，這樣會(huì)使人更清晰、更有說服力。出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂， 今天下三分， 益州疲弊， 此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其