空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換之仿射變換

1、空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換之仿射變換一、仿射變換仿射變換是空間直角坐標(biāo)變換的一種， 它是一種二維坐標(biāo)到二維坐標(biāo)之間的線性變換，保持二維圖形的“平直線”和“平行性” ，其可以通過一系列的原子變換的復(fù)合來實(shí)現(xiàn)，包括平移 (Translation)、縮放（ Scale）、翻轉(zhuǎn)（ Flip）、旋轉(zhuǎn)（ Rotation）和剪切 (Shear)。此類變換可以用一個(gè)3× 3 的矩陣來表示，其最后一行為(0, 0, 1)。該變換矩陣將原坐標(biāo) (x, y)變換為新坐標(biāo) (x', y')，這里原坐標(biāo)和新坐標(biāo)皆視為最末一行為(1)的三維列向量，原列向量左乘變換矩陣得到新的列向量：x'm00

2、m01 m02 xm00*x+m01*y+m02y' = m10 m11 m12 y = m10*x+m11*y+m12100111如果將它寫成按旋轉(zhuǎn)、縮放、平移三個(gè)分量的復(fù)合形式，則其代數(shù)式如下：x = m00*x+m01*y+m02 ；y = m10*x+m11*y+m12 ；其示意圖如下：幾種典型的仿射變換：1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移變換，將每一點(diǎn)移動(dòng)到(x+tx, y+ty)，變換矩陣為：10tx01ty001（譯注：平移變換是一種“剛體變換” ，rig

3、id-body transformation ，中學(xué)學(xué)過的物理，都知道啥叫“剛體”吧，就是不會(huì)產(chǎn)生形變的理想物體，平移當(dāng)然不會(huì)改變二維圖形的形狀。同理，下面的“旋轉(zhuǎn)變換”也是剛體變換，而“縮放”、“錯(cuò)切”都是會(huì)改變圖形形狀的。 ）2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)縮放變換，將每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)放大（縮?。┲羢x 倍，縱坐標(biāo)放大（縮小）至sy 倍，變換矩陣為：sx000sy00013.public static AffineTransform getShearInstance(double sh

4、x, double shy)剪切變換，變換矩陣為：1shx0shy10001相當(dāng)于一個(gè)橫向剪切與一個(gè)縱向剪切的復(fù)合1001shx0shy10010 001001（譯注：“剪切變換”又稱“錯(cuò)切變換” ，指的是類似于四邊形不穩(wěn)定性那種性質(zhì)，街邊小商店那種鐵拉門都見過吧？想象一下上面鐵條構(gòu)成的菱形拉動(dòng)的過程，那就是“錯(cuò)切”的過程。 ）4.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)旋轉(zhuǎn)變換，目標(biāo)圖形圍繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)theta 弧度，變換矩陣為：cos(theta)-sin(theta)0sin(theta)cos(the

5、ta)00015.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)旋轉(zhuǎn)變換，目標(biāo)圖形以 (x, y)為軸心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)theta 弧度，變換矩陣為：cos(theta)-sin(theta)x-x*cos+y*sinsin(theta)cos(theta)y-x*sin-y*cos 001相當(dāng)于兩次平移變換與一次原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)合：10-xcos(theta)-sin(theta) 01 0 x01-ysin(theta)cos(theta)00 1y001 001 001二、仿射變

6、換四參數(shù)求解A、 C#自定義函數(shù)實(shí)現(xiàn)求解：1、求解旋轉(zhuǎn)參數(shù)Rotaion:1 /<summary>23 /獲取旋轉(zhuǎn)角度45 /</summary>67/<param name="fromCoordPoint1">源點(diǎn) 1 </param>89/<param name="toCoordPoint1">目標(biāo)點(diǎn) 1</param>1011/<param name="fromCoordPoint2">源點(diǎn) 2 </param>1213/<pa

7、ram name="toCoordPoint2">目標(biāo)點(diǎn) 2</param>1415 /<returns> 返回旋轉(zhuǎn)角度 </returns>1617 private double GetRotation(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1,CoordPointfromPoint2,CoordPoint toPoint2)1819 2021doublea = (toPoint2.Y - toPoint1.Y) * (fromPoint2.X - fromPoint1.X) - (to

8、Point2.X -toPoint1.X) * (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y);2223doubleb = (toPoint2.X - toPoint1.X) * (fromPoint2.X - fromPoint1.X) + (toPoint2.Y- toPoint1.Y) * (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y); 24 25 2627if (Math.Abs(b) > 0)2829returnMath.Tan(a / b);3031else3233returnMath.Tan( 0 );34352、求解縮放比例參數(shù) (Scale):

9、1/<summary>23 /獲取縮放比例因子45 /</summary>67/<param name="fromCoordPoint1">源點(diǎn) 1</param>89/<param name="toCoordPoint1">目標(biāo)點(diǎn) 1</param>1011/<param name="fromCoordPoint2">源點(diǎn) 2</param>1213/<param name="toCoordPoint2">

10、目標(biāo)點(diǎn) 2 </param>1415/<param name="rotation">旋轉(zhuǎn)角度 </param>1617/<returns> 返回旋轉(zhuǎn)因子 </returns>1819privatedouble GetScale(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1, CoordPoint fromPoint2, CoordPoint toPoint2,double rotation)2021 2223double a = toPoint2.X - toPoint1.X

11、;2425doubleb = (fromPoint2.X - fromPoint1.X) * Math.Cos(rotation) - (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y)*Math.Sin(rotation);2627if (Math.Abs(b) > 0)2829returna / b;3031else3233return0 ;34353、求解 X 方向偏移距離參數(shù)（ XTranslate）:1/*/<summary>23/ 得到 X 方向偏移量45/</summary>67/<param name="fromCoordP

12、oint1"> 源點(diǎn) 1</param>89/<param name="toCoordPoint1"> 目標(biāo)點(diǎn) 1</param>1011/<param name="rotation"> 旋轉(zhuǎn)角度 </param>1213/<param name="scale"> 縮放因子 </param>1415/<returns> 返回 X 方向偏移量 </returns>1617 private double GetXTr

13、anslation(CoordPoint fromPoint1,CoordPoint toPoint1,double rotation,double scale)18192021return (toPoint1.X - scale * (fromPoint1.X * Math.Cos(rotation) - fromPoint1.Y *Math.Sin(rotation);222324254、求解 Y方向偏移距離參數(shù) (YTranslate):1 /*/<summary>23/ 得到 Y 方向偏移量45/</summary>67/<param name="

14、;fromCoordPoint1"> 源點(diǎn) 1</param>89/<param name="toCoordPoint1"> 目標(biāo)點(diǎn) 1</param>1011/<param name="rotation"> 旋轉(zhuǎn)角度 </param>1213/<param name="scale"> 縮放因子 </param>1415/<returns> 返回 Y方向偏移量 </returns>1617private doub

15、le GetYTranslation(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1, doublerotation, double scale)18192021return (toPoint1.Y - scale * (fromPoint1.X * Math.Sin(rotation) + fromPoint1.Y *Math.Cos(rotation);2223B、C#+AE求解：1/<summary>23 / 從控制點(diǎn)定義仿射變換程式45/</summary>67/<param name="pFromPoint

16、s">源控制點(diǎn) </param>89 /<param name="pToPoints"> 目標(biāo)控制點(diǎn) </param>1011/<returns> 返回變換定義 </returns>1213 private ITransformation GetAffineTransformation(IPoint pFromPoints, IPoint pToPoints)1415 1617 / 實(shí)例化仿射變換對(duì)象1819IAffineTransformation2D3GEN tAffineTransformat

17、ion = new AffineTransformation2DClass();2021 / 從源控制點(diǎn)定義參數(shù)2223tAffineTransformation.DefineFromControlPoints( ref pFromPoints, ref pToPoints);2425 / 查詢引用接口2627ITransformation tTransformation = tAffineTransformationas ITransformation;2829 return tTransformation;3031三、空間對(duì)象轉(zhuǎn)換求出參數(shù)后，再利用公式對(duì)相應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換是一件相對(duì)簡(jiǎn)單的事

18、件了。示例代碼：/<summary>23 /轉(zhuǎn)換空間點(diǎn)45 /</summary>67/<param name="pPoint">點(diǎn) </param>89 /<returns> 返回轉(zhuǎn)換后的點(diǎn) </returns>1011private IGeometry TransformPoint(IPoint pPoint)1213 1415/*1617 / 說明：采用相似變換模型（四參數(shù)變換模型）1819 / X= ax + by + c2021 / Y=-bx + ay + d2223 /*2425doubleA = this .m_Scale * Math.Cos(this .m_RotationAngle);2627doubleB = this .m_Scale * Math.Sin(this .m