2018年高考數(shù)學(xué)專題10.4圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題文

1、2圓錐曲線的綜合應(yīng)用【三年咼考】1.1.【20172017 山東，文 2121】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓22小x yC:22=1( (a b0)0)的離心率a b為_2_2 , ,橢圓C截直線 y=1y=1 所得線段的長度為 2 2 . .2 2( (I) )求橢圓C的方程;( (n) )動直線I: :y= =kx+nm0)0)交橢圓C于AB兩點，交y軸于點M點N是M關(guān)于O的對稱點，圓N的半徑為| |NO設(shè)D為AB的中點，DE DF與圓N分別相切于點E F, ,求.EDF勺最小值. ./1Jr、I .i_5F)丿【解析】(I)由橢圓的離心率為2，得a2=2(a2-b2),2222a又

2、當y= =1 1 時，x = a2,b得a22 2a22x=2=2，所以a =4,b =2，因此橢圓方程為 一b42工 y = kx m / 口2(n)設(shè)A(x-y1)-B(x2,y2)，聯(lián)立方程A+2y2=4得2k)x24 kix 2m 4 0由：0得m2：4k22(* )且x-14kmx2一2k21 因此y1丨，所以D(-羊2k 12k 1冊)，又N-m,所以NFNDkm=(一2k21)2(2k21-m)2，整理得:ND224_ 4m (V 3k k )(2k21)2，因為，所以ND4(k43k21)NF8k2+32 2= 1 +2 2(2 k 1)(2 k 1)2，令t =8k 3,t

3、-3，故2-3 -2t +1ND16t16人112k +1=，所以=1 +- =1+-.令y = t+-，所以y = 1飛.4NF（1+t）t+S2ttt11 10當t _3時，y .0, ,從而y =t在3,v）上單調(diào)遞增，因此t，等號當且僅當t=3tt 32NDLL時成立，此時k=0，所以2蘭1+3 = 4，由（* *）得返m-，所以得最小值為 -.從而Z EDF的最小NF 2ND 26值為，此時直線的斜率時. .綜上所述：當k=0，m(-一2,0) .(0,、,2)時，.EDF取得3最小值為一. .32 22.2.【20172017 天津，文 2020】已知橢圓 與占=1(a b 0)的

4、左焦點為F (-c,0)，右頂點為A，a bh厶點E的坐標為(0, c)，EFA的面積為 . .2(I)求橢圓的離心率；3(IIII )設(shè)點Q在線段AE上,|FQ H-c，延長線段FQ與橢圓交于點P，點M,N在軸2上，PM/QN，且直線PM與直線QN間的距離為，四邊形PQNM的面積為3c. .(i i )求直線FP的斜率；(iiii )求橢圓的方程. .1rl【解析”I)設(shè)橢圓的高心率為農(nóng)由巳可得-(7 + = .又由b2= /可得 2 +M ,22即021 = 6又因為解得“丄所兒 橢圓的離心率為丄.2 2(II)( i )依題青，設(shè)直線胛的方程為則直線胛的斜率為丄-由(1 )知口 =2,m

5、可得直線 A的方程為 + ? =即 + 2y-=0,與直線沖的方程聯(lián)立，可解得x=(2m-ey =Jc?即點的坐標為嚴-篤空由已知噸卜豐，有m+2m+2朋+2糊 +22-4 - b00)的長軸長為 4 4,焦距為 2 2( (n) )過動點M0 0 ,m)()(n0)0)的直線交x軸與點N,交C于點A, P( (P在第一象限) )，且M是線段求橢圓C的方程;(I)-6 -_ 2 2a =2,b = a=.,2，所以橢圓 C C 的方程為1. .42( (n)(i)(i)設(shè)P xo,yoxo0,y。 0，由M 0,m，可得P Xo,2m ,Q Xo,-2m .所以直2m - m m2m - m3

6、m k線 PMPM 的斜率k，直線 QMQM 的斜率k. .此時3，所以XoXoXoXokk 為定值-3.-3.k(ii)設(shè)A Xi, y-i, BX2, y2，直線 PAPA 的方程為y = kX m，直線 QBQB 的方程為y = -3kX - m. .y = kx m2IJ2222m -4聯(lián)立x2y2，整理得2k 1 x - 4mkx - 2m - 4 = 0. .由x0X|2可得i2k2+1.422 22 m -22k m-2x12，所以= kx1m2m，同理2k 1 X02k 1 X02 m2-2-6k m2-2x22, y22m. .所以(18k +1)x0(18k +1風2 m2

7、-22 m2-2-32k2m2-2x2 _X12 2 2 2，(18k2+1)x0(2k2+1)x018k2+1 )2k2+1 )x02222七k(m -2)2(m -2)-8k(6k +1)(m-2) ”、2一屮二- 2-m -2-_m二-2- 2-，所以(18k +1 )x0(2k +1 )x0(18k2k +1 )X02 2X y4 4.【20162016 高考四川文科】已知橢圓E：二2= 1(a b 0)的一個焦點與短軸的兩個端點a by2由m0,X00，可知k0,所以6 - -2.6，k綸口當且僅；6m 614k時取得. .此時即m，符號題意. .所以直線64-8m267ABAB 的

8、斜率的最小值為、 、66k214k-7 -是正三角形的三個頂點，點P(、-3,丄)在橢圓E上. .2( (I) )求橢圓E的方程;-8 -1 1( (n) )設(shè)不過原點O且斜率為 2 2 的直線I與橢圓 E E 交于不同的兩點直線 OMOM 與橢圓 E E 交于 C C, D,D,證明:MA MB = MC MD.【解析】(I I )由已知，a=2=2b. .又橢圓22x y22=1(a b 0)過點a b心1)，故134彳2 2 1，4b2b2解得b2=1. .2xo所以橢圓E的方程是y2=1. .41(II(II )設(shè)直線l的方程為y x m(- 0),A(X1,yJ,B(X2,y2),由

9、方程組2Lx227y1y x m,22 2 2 2得x 2mx 2m -2 =0， 方程的判別式為上=4(2 - m )，由八，即2-m 0,解得一-：邁：:m八2 .由得 X2二-2m, X1X2二2m2- 2 .所以M點坐標為(-m,)，直線21OM方程為yx，由方程組22+ y2= 1,廠廠4得C(一，2, -), D(2, -一).所以122y x,2MC MD5(mr2)50 2 m)=(2m2). .又224212252(X1-X2)(%-丫2)(X1X2)-4X1X241652252II= 4m24(2m22)= (2m2). .所以MAMB = MC MD. .1645 5.【

10、20162016 高考上海文科】有一塊正方形菜地EFGH, ,EH所在直線是一條小河，收貨的蔬菜MA MB4AB可送到F點或河邊運走。于是，菜地分為兩個區(qū)域S,和S2，其中S,中的蔬菜運到河邊較近,S2中的蔬菜運到F點較近，而菜地內(nèi)S1和S2的分界線C上的點到河邊與到F點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標系，其中原點O為EF的中點，點F的坐標為(1,01,0 ),如圖(1) 求菜地內(nèi)的分界線C的方程8(2)菜農(nóng)從蔬菜運量估計出S1面積是S2面積的兩倍，由此得到3面積的“經(jīng)驗值”為 -。3設(shè)M是C上縱坐標為 1 1 的點，請計算以EH為一邊、另一邊過點M的矩形的面積，及五邊A A, B,B,線段 A

11、BAB 的中點為 M M-9 -10 -形EOMGH的面積，并判斷哪一個更接近于S面積的經(jīng)驗值【解析】(1 1)因為C上的點到直線丁I：與到點F的距離相等，所以C是以F為焦點、以門為準線的拋物線在正方形1-FGI內(nèi)的部分，其方程為y2=4x(0：y：2).(2 2)依題意，點二I的坐標為1,1.所求的矩形面積為 -，而所求的五邊形面積為11.矩(4丿245一8=丄，而五邊形面積與“經(jīng)驗值”之差的絕對值23611 Qi為-=一，所以五邊形面積更接近于 3 3 面積的“經(jīng)驗值”.43126 6.【20152015 高考新課標 1 1,文 5 5】已知橢圓E的中心為坐標原點，離心率為1,E的右焦點與

12、拋2物線C : y2=8x的焦點重合，A,B是C的準線與E的兩個交點，貝UAB =()()(A A)3(B B)6(C C)9(D D)12【答案】B B【解析】丁拋物線C:/ =的焦點為九 準線方程為一2,滯圓E的右焦點為( (2,0),二橢圓E的焦點、在K軸上，設(shè)方程為與+芻c=2,a b*. = =A/.o = 4, /.=G1ca=12 ,橢圓E方程為+ =1fa216122 27.7.【20152015 高考山東，文 2121】平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：務(wù)+七=1（ b0）口b形面積與“經(jīng)驗值”之差的絕對值為-11 -3一1的離心率為亍，且點(3，2)在橢圓C上. .(I)

13、求橢圓C的方程;2 2(n)設(shè)橢圓E:二+ =1,4a24b2(i)求器的值;(ii)(ii)求:ABQ面積的最大值. .2方程為y2= 1.42 2x y1. .1642(i)設(shè)P(x, y), Q -,由題意知Q(二乂0,-%0).因為 況，y2=1.又|OP |4(ii(ii )設(shè)A(Xi,yJ, B(X2, y2),將y = kx m代入橢圓E的方程，可得2 2 2 2 2(1 4k )x 8kmx 4m -16 =0,由0,可得m b 0）的左右焦點分別為Fi, ,F2, ,且過F2的直線交橢圓于 P,QP,Q 兩點，且 PQ_PQ_PF1. .【解析】（1 1）由橢圓的定義，( (

14、I) )若 I IPF1|=2|=2+ +2, | |-14 -2a=|PF| + |PF2|=(2 + V?)+(2- 72)=4,故a=2.設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF八PF2，因此2c =| FF2|=J|PF |2+|PF2I2(2/2)+(2/2)=23,即c= J3.從而_ 222X2b=、a - c =1,故所求橢圓的標準方程為+y =1. .4-15 -( (I) )求橢圓E的方程;【解析】( (I) )由已知，點 C,C,D的坐標分別為(0(0，-b) ) , (0(0 ,b) )，又點P的坐標為(0(0 , 1)1)，且如題(21)(21)圖，由PF人PQ,| PQ|=I

15、 |PF I，得IQF F J|PF I2+|PQ|2= Jl+I2|PF |,由橢圓的定義，|PFi| + |PF2|=2a ,| QFiI + IQF2|= 2a, ,進而| PF | +|PQ| + |QFi|= 4a，于是(1 + I + .1 +l2) | PF1| = 4a. .解得| PF, |=-_ ，故| PFd= 2a- | PF |=2a(I +1+I -1).由勾股定理得1+I +訥+丨24a1 + I +1 +| PF1|2+ |PF2|2=| PF2|2= (2 c)2= 4c2, ,從而驏琪I桫+ 1 +J1 + I4a2+|a(l +年匚1=4c2, ,兩邊除以

16、4a2，得 琪1 +1 +._ 2+l + .1 + 122 _i_乏二e2, ,若記t =1+I +J1 + I2，則上式變成1+I+.1+ 丨2)+(I + J1 + I2-1)2e2_4+(t-2)i=r得3?t9 9t24，即，進而- b0)0)的離心率是a bP(0(0,( (n) )設(shè)0為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點. .是否存在常數(shù) 入，使得入的值；若不存在，請說明理由OB PA卩B為定值？若存在，求-16 -1/ = 1PC PD=- 1 1,于是-= ，解得a= 2 2,b=J2，所以橢圓E方程為 +-=1. .a 2422 .2 2a -b =c( (n)

17、)當直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+ 1 1,A,B的坐標分別為( (X1,yj,( (X2,-2 2x+y _1y2) )，聯(lián)立 0 0，所y =kx+1以xx242k, x.x22，從而OAOB PA PB=X1X2+y1y2+ 入 X1X2+ ( (y12k212k211)(1)(y2 1)1)【20172017 考試大綱】【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題，由定義法求曲線的方程、由已知條件直接求曲線的方程、直線與 圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為中檔題或難題， 主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間

18、的聯(lián)系，直線 與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長問題、最值問題、定點定值的探索問題等，其中直線與橢圓 的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系是考查的重點和熱點，考查的知識點多，能力要求高， 尤其是運算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，是高考中區(qū)分度較大的題目【20182018 年咼考復(fù)習(xí)建議與咼考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式，橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)綜合問題是高考考試的重點，每年必考，一般是兩小一大的布局，試題難度往往是有一道基礎(chǔ)題，另一道是提高題，難度中等以上，有時作為把關(guān)題考查方面離心率是重點，其它利用性質(zhì)求圓錐曲線方程，求焦點三角=(1(1 + 入)(1)(1.2 .+k) )X1X

19、2+k( (X1+X2) )+ 1 12(-2, -4)k(-2, -1)22k 122，所以,2k 1當入=1 1 時,22= 3 3，此時,2k21AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD此時OAO PAPB=OCOD PC PD= 2 21 1 = 3 3,故存在常數(shù)入=1 1，使得OA OBPA PB為定值3.3.PB= 3 3 為定值，當直線-17 -形的周長與面積，求弦長，求圓錐曲線中的最值或范圍問題，過定點問題，定值問題等從 近三年的高考試題來看，小題中雙曲線的定義、標準方程及幾何性質(zhì)是高考的熱點，題型大 多為選擇題、填空題，難度為中等偏低，主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，考查基本

20、運算 能力及等價轉(zhuǎn)化思想，而橢圓、拋物線的性質(zhì)一般，一道小題，一道解答題，難度中等，有 時作為把關(guān)題存在，而且三大曲線幾乎年年都考，故預(yù)測20182018 年求曲線的方程和研究曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等仍是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為 仍中檔題或難題，仍主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐 曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長問題、最值問題、定點定值的探索問題 等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系仍是考查的重點和熱點，考查的 知識點仍然較多，能力要求高，尤其是運算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，仍 是高考中

21、區(qū)分度較大的題目，在備考時，熟練掌握求曲線方程的常用方法，掌握直線與圓錐 曲線問題的常見題型與解法，加大練習(xí)力度，提高運算能力和綜合運用知識分析解決問題能 力，要特別關(guān)注與向量、導(dǎo)數(shù)等知識的結(jié)合，關(guān)注函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想 等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用.【20182018 年高考考點定位】高考對圓錐曲線綜合問題的考查有三種主要形式：一是考查求曲線方程；二是考查圓錐曲線 間的知識運用；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，這是高考中考查的重點和難點，主要涉及 的題型為中點弦問題、最值與取值范圍問題、定點與定值問題、探索性問題，從涉及的知識 上講，常與平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識相聯(lián)

22、系，考查知識點多，運算量大， 能力要求高，難度大是這種題型的一大特征【考點 1 1】求軌跡方程【備考知識梳理】1曲線與方程在平面直角坐標系中， 如果某曲線q看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x, y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)(1) 曲線上點的坐標都是這個方程的解；(2)(2) 以這個方程的解為坐標的點都在曲線上那么，這個方程叫做這條曲線的方程；這條曲線 叫做這個方程的曲線 2直接法求動點的軌跡方程的一般步驟(1)(1)建系一一建立適當?shù)淖鴺讼?(2)(2) 設(shè)點一一設(shè)軌跡上的任一點Rx,y) ).-18 -(3)(3) 列式列出動點P所滿足的關(guān)系式.(4)(

23、4) 代換一一依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x,y的方程式，并化簡.證明一一證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.【規(guī)律方法技巧】1.1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類，一類是已知所求曲線的類型，求曲線方程一一先 根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)一一待定系數(shù)法；另一類是不知曲 線類型常用的方法有：(1)(1) 直接法：直接利用條件建立x,y之間的關(guān)系F( (x,y) ) = 0 0;(2)(2) 定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌 跡方程；代入法( (相關(guān)點法) )：動點P( (x,y) )依賴于另一動點

24、Qxo,yo) )的變化而變化，并且Qxo,yo) ) 又在某已知曲線上，則可先用x,y的代數(shù)式表示xo,yo,再將xo,yo代入已知曲線得要求的軌跡方程；(4)(4)參數(shù)法：當動點F( (x,y) )坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將x,y均用一中間變量( (參數(shù)) )表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程.2.2. 求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等【考點針對訓(xùn)練】1.1.【湖南省衡陽市 20172017 屆高三第三次聯(lián)考】已知對任意平面向量啟二x,y，把AB繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) 二角得到向量A

25、P二xcosv - ysin,xsiyco，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P. .設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點繞原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)4后得到點的軌跡是曲線x2-y2=2，則原來曲線C的方程是()A.A.xy =-1B.B.xy=1C.C.y2-x2=2D.D.y2- x2= 1【答案】A A-19 -【解析】設(shè)平面內(nèi)曲線c上的點p(x.y),則其繞熄點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)壬后得到點42.2.【福建省三明市 20172017 屆 5 5 月質(zhì)量檢查】已知直線y =x m與拋物線X2=4y相切，且與x軸的交點為M，點N -1,0. .若動點P與兩定點M ,N所構(gòu)成三角形的周長為 6 6.(I)(I

26、)求動點P的軌跡C的方程；1( (n) )設(shè)斜率為1的直線I交曲線C于A,B兩點，當PM _ MN，且A,B位于直線PM的兩2側(cè)時，證明：.APMtBPM. .【解析】( (I) )因為直線y = x m與拋物線X2=4y相切，所以方程x4 x m有等根，則16 16m =0，即m = -1，所以M 1,0.又因為動點P與定點M 1,0 ,N -1,0所構(gòu)成 的三角形周長為6,且|MN|=2，所以|PM|+|P叫=4A|MN| = 2,根據(jù)橢圓的定義，動點P在以M ,N為焦點的橢圓上，且不在x軸上，所以2a = 4,2c = 2，得a = 2 cT，則b=J3,2 2即曲線C的方程為x y=1

27、431( (n) )設(shè)直線I方程y = x +t2=-3-3t2+120+120,所以-2：t 2,此時直線I與曲線C有兩個交點A, ,B，設(shè)Ax),y1,2X1X2二t -3, /PM _ MN，不妨取P33y1_2y2_2-APM = BPM恒成立，即證明kAP kBP=0，即證 2=0，也就是要證X1X2(乂一(芷+刃，丁點、F在曲線= 2, /.-y)t-1，聯(lián)立1yxt,22243,1,3，要證明2BX2, y2，則為X2 =t,-20 -y1一2 X2 Ty2一2 X,-1 =0,-21 -即證X1X2tX2-2 XiX23-21 =0,由韋達定理所得結(jié)論可得此式子顯然成立，所以.

28、APM二/BPM成立【考點 2 2】圓錐曲線間的綜合【備考知識梳理】1.1. 要熟記橢圓的定義、標準方程與幾何性質(zhì) 2.2. 要熟練掌握雙曲線的定義、標準方程與幾何性質(zhì)3.3. 要熟練掌握拋物線的定義、標準方程與幾何性質(zhì)【規(guī)律方法技巧】1.1. 解圓錐曲線間的綜合問題時，要結(jié)合圖像進行分析，理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關(guān)系，實現(xiàn)不同曲線間基本量的轉(zhuǎn)化. .2.2. 熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、簡單幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. .【考點針對訓(xùn)練】模】已知雙曲線E:2-2=1(a0,b 0)的右頂點為A,率的取值范圍是【答案】B BAP PF 0=C2X。2-3ax。2a2=0,

29、 ,因為在E的漸近線上存在點P，則- 0，即a22C222293 29a2axg9a8c二e氣二，又因為E為雙曲線，則1Z3 24,故選 B.B.1.1.【20172017 屆四川省資陽市高拋物線C : y2=8ax的焦點為F若在E的漸近線上存在點P,使得A.A.1,2B.B.C.C.342D.D. 2,:2,:【解析】由題意A(a,0),F(2a，0 )，設(shè)P x0, x0I a，由，得-22 -2 245且過拋物線Ci的焦點，直線I被拋物線Ci截得的線段長是 1616,雙曲線C2:X2一y2a b的一個焦點在拋物線C1的準線上，則直線I與y軸的交點P到雙曲線C2的一條漸近線的距離是( )A

30、.A. 2 2 B.B.3C.C.2D.D. 1 1【答案】D D【解析】拋物線的焦點為由弦長計算公式有器尹=16 = 16 = 1,所以拋物線的標線方程為b = g 準纟訪程為x = -2,故雙曲線的一個焦點坐標為(竝4),即z 4所以b =耐二忑腐近線方程為，二土的兀,直線/方程為卩二兀一2所以點尸(Q-2),點P到雙曲線的一條漸違戔的距離為生=1,選D 3+7【考點 3 3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合問題【備考知識梳理】1 1 將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程mx2 nx p = 0. .(1)若m工 0 0,當厶 0 0 時，直線與圓錐曲線有兩個交點. .當厶=0

31、=0 時，直線與圓錐曲線有且只有一個公共點，此時直線與雙曲線相切當0,n0)，雙曲m n2 2線方程可設(shè)為 -=1=1 ( (mn 0) ).這樣可以避免繁瑣的計算.m n利用以上設(shè)法，根據(jù)所給圓錐曲線的性質(zhì)求出參數(shù)，即得方程.2.2.最值或范圍問題的解決方法解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：(1)(1) 利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值；(2)(2) 利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值；-26 -(3)(3) 利用不等式，尤其是基本不等式求最值；(4)(4) 利用判別式求最值；-i27 -(5)(5)利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值.

32、3 3 求定值問題的方法定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導(dǎo)和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題.4.4.有關(guān)弦的問題(1)(1) 有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點弦長 問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算.1斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點R( Xi, yi),P2(X2, y2)，則所得弦長| RP2 1 k2| Xi-X2|或丨P1P2E.1J1丫2 -丫11，其中求| Xi-X2|與|丫2 -旳|時通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，

33、即作如下變形：|Xi-X2 IXiX22-4XiX2,卜2- yi|=. % 丫2-4y2. .2當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算( (利用兩點間距離公式) ).(2)(2) 弦的中點問題有關(guān)弦的中點問題，應(yīng)靈活運用“點差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運算.5.5. 圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ) 因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求PFi+|PFFiF2,雙曲線的定義中要求 | PF2| c FiF2. .6.6. 解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟：(1)(1) 設(shè)方程及點的坐標；(2)(2) 聯(lián)立直線方程與

34、曲線方程得方程組，消元得方程( (注意二次項系數(shù)是否為零 ) )；(3)(3) 應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式；(4)(4) 結(jié)合已知條件、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解7.7. 解析幾何解題的基本方法解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的 綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達定理的意識 解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當?shù)淖鴺讼担侠斫⑶€模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷 常用的

35、-28 -給出以下情形之一：AB/ AC;存在實數(shù),使AB二 AC;若存在實數(shù):,且一1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三點共線；- OA OB_ _給出1，等于已知P是AB的定比分點，為定比，即APPB；(7)給出MA MB =0, ,等于已知MA _ MB, ,即.AMB是直角，給出MA MB =m：0, ,等于已知.AMB是鈍角，給出MA -MB二m 0, ,等于已知.AMB是銳角;方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合( (如角平分線的雙重身份一一對稱性、利用到角公式) )、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等

36、8.8.避免繁復(fù)運算的基本方法可以概括為：回避，選擇，尋求 所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復(fù)的運算. .所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標系等，一般以直接性和間接性為基本原則. .因為對普通方程運算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標系下運算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標系下運算復(fù)雜的問題，在極坐標系下可能會簡單“所謂尋求”.9.9.解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容:(1)給出直線的方向向量u = 1,k或u = m,n；(2)給出OA OB與AB相交，等于已知OAOB過A

37、B的中點；(3)給出PM - PN =0, ,等于已知P是MN的中點；(4(4) 給出AP AQ二，BP BQ, ,等于已知P,Q與AB的中點三點共線; ;(5(5)(8(8)給出MA . MB=MP, ,等于已知MP是AMB的平分線;MAMB(9(9)在平行四邊形(10(10)在平行四邊形-29 -ABCD中，給出(AB AD) (AB-AD) =0，等于已知ABCD是菱形；- - - ABCD中，給出|AB AD|=|AB-AD|，等于已知ABCD是矩形；2 - 2(11(11 )在ABC中，給出OA =OB =OC，等于已知O是BC的外心(三角形外接圓-30 -的圓心，三角形的外心是三角

38、形三邊垂直平分線的交點）（1212）在.ABC中，給出0A 0B 0C =0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）（1313）在.ABC中，給出OAOB =OBOC = OC OA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）（1414）在ABC中，給出OP =OA （AB+_4芻）仏R+）等于已知AP通過AABC的|AB| |AC|內(nèi)心;（1515）在厶ABC中，給出a OA b OB c QC二0,等于已知O是ABC的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；-1（1616）在UABC中，給出AD =：AB AC, ,等于

39、已知AD是ABC中BC邊的中線. .21010定點、 定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量， 那么就可以用變化的量表示問 題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影 響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值.化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù) 表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的 量.1111 解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標 函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關(guān)系.建 立目標函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適變量，其原則

40、是這個變量能夠表達要解決的問 題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處 理. .A.A.3 - 2 2B.B.2 -2C.C.-J3：2D.D.2-1【答案】D D【解析】由已知，F(xiàn) （0,1 ）,Q（0, T ），過點P作PM垂直于準線，則PM = PF.記1.1.【20172017 屆云南省師范大學(xué)附中高三適應(yīng)性（五）】已知拋物線X2=4y的焦點為F,準線為I，拋物線的對稱軸與準線交于點Q,P為拋物線上的動點,PF = m|PQ|，當m最小時，點P恰好在以F,Q為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（-31 -拋物線相切于點P設(shè)P冷，衛(wèi)，可得P（2,1卜所

41、以|PQ|=2j2,|PF|=2，則1),從大橢圓兩個頂點分別向小橢圓引切線AC、1625，則橢圓的離心率為(2x2ma由題意知，外層橢圓方程為2ymb1，設(shè)切線AC的方程為2 2.2223242. 2y得：a +b )x -2mk(ax + mk(a ab =0由b2,同理得k222m2T ,所以3J5c .e =5 a選 A.A.-35 -36 -為 ，A、B為橢圓的左右頂點，焦點到短軸端點的距離為 2 2,p、Q為橢圓E上異于A、2224 kb2k21x24kbx 2b2-4 =0，設(shè)Px1,y1,Qx2,y2，則x1x222k 17.7.【20172017 屆安徽省宣城市高三二?！咳鐖D

42、，已知橢圓a b2=1(a b 0)的離心率(H)求三角形APQ的面積S的最大值.2 2【解析】（I）x y-142，故kBPkBQ =_1(n)當直線PQ的斜率存在時，設(shè)丨PQ:kx b與x軸的交點為M，代入橢圓方程得2b2-4x1x222k 1由BP BQ =0，得y1y2XjX2-2為x24=0，得k21 XjX2kb2 x,x24 b2= 0,4k28kb 3b2=0,得b 2k或b = -2k.3y = kx - 2k或y = kxk，所以過定點3點2,0為右端點，舍去,1SJAPQ= S也PM+ SAQM= ?沃OM xyi一y22(I)求證：直線BP與直線BQ的斜率乘積為定值;斜

43、率的 2 2 倍.-37 -上頂點A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B,D兩點斜率分別為k1,k2. .(1) 求橢圓C的方程；(2) 當r變化時，求k,k2的值；試問直線BD是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由12 2 2T2a，又a-b=c,解得af2故所求橢圓C的方程是 +y1. .8k2(8k2_2b2+4 )162 - 2k (16k +9)一31|(2k2+1 )9j(2k2+1 )-1 1 2+-22k+12(2k2+1)1t(0 : t : 1)，2k21SAPQ= 9當直線IPQ的斜率k不存在時，P xuyi,1Qx1, -y1I，kAP= 2kBQ，S32

44、SAPQ九92y1y1418 8y1，SAPQ -32一32，所以S23 39APQ的最大值為328.8.【黑龍江省大慶學(xué) 20172017 屆高三考前得分訓(xùn)練】已知橢圓x22yC : 2 2= 1(a b 0)的離a b心率為22，四個頂點構(gòu)成的菱形的面積是4,圓M :(x+1 )2 2y = r (0：r：1)(不同于點A)，直線AB, AD的【解析】(1 1)由題設(shè)知,169捲2x1-220 :：t t : 1，-38 -42 2 2AD : y - k2x 1，同理有1-r k22k20，于是k1, k2是方程1-r2k2-2k，1-r2=0的兩實根，故& k? =1. .考慮

45、到r 1時，D是橢圓的下頂點，By = k1x 1趨近于橢圓的上頂點，故BD若過定點，則猜想定點在y軸上. .由x22，得y =14(2)，化簡得1 -r2k12-2k1r0,對于直線AB : y二kX 1，則有4-39 -2y-4匕+1丄匕+k28k1y2 24k11-3 4k11故直線BD過定點0,一5V 3丿2 2x2y2=1(a b 0)的離心率是a b(I)求橢圓C的標準方程;(i(i )求圓 D D 的標準方程;(ii(ii )若直線I；過定點3,0,與橢圓C交于不同的兩點E、F，與圓D交于不同的兩點M、N，求|EFI |MN I的取值范圍.【解析1( I由已知得直線百過定點(“)

46、,扌十又纟二羋，空=歹+幾解得扌=4,a2酹二1 ,故所求橢圓C的標準方程為Z + b = 1 (H) (i)由(I )得盲線厶的方程礙+p = l, 01x+2y-2=O,又EID的標準方程為jj3+2x22廠(x-3) +(j-2) =13-叭J.圓心為(3,2),圓的半徑=,圓。的標準方程為VI3+ 21(ii(ii )由題可得直線l2的斜率存在，設(shè)l2:y=k x-3,與橢圓C的兩個交點為E為，、y =k(x+3 ),F x2,y2，由x22消去丫得1 4k2x2-24k2x 36k2-4 = 0，由0，得y =1,2 24匕1 x 8k(x=0，于是有B_8k14k；fk；*T 4宀

47、1 ,D2-8k2-4k214k；4k；1. .直線BD的斜率為kBD=kJ，直線 BDBD 的方程為 V V-8k1x_ 4k廠1,令x = 0，得9.9.【20172017 屆山東省濟寧市高三3 3 月模擬】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:(n)若直線i1與圓D:x2y2-6x -4y m = 0相切:2_ 20 k15_5-3 4k；1一3二，且直線h:rr1被橢圓C截得的弦長為-40 -設(shè)t =1+4k2w k，9I, k2=口，則IL 540心1250 1 -25 216,It丿It丿2 2已知橢圓C :x2y2-1(a b 0)的離心率為a b和拋物線y2=x交于M , N兩點，

48、且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點F,(1(1)求橢圓 C C 的標準方程;(2 2)經(jīng)過F的直線I和橢圓C交于A,B兩點，交拋物線于C, D兩點，P是拋物線的焦點，是否存在直線l，使得S.OCD= 9S.PAB,若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。0 k21:,524k2x.x221 4k2x.x2口EF1 k2fx x2$ 4x1X2236k 421 4k(仆2)224 k1 4k22心也2411 +4k2j=42 21 k 1 -5k1 4k2 2又圓D的圓心3,2到直線12:kx-y-3k=0的距離d =3k-2-3k 2.k21. k21，二圓D截直線l2所得弦長|MN|=2j

49、r2-d5k2+1k21EF MN =42 21 k 1 -5k1 4k41 -25k1 4k2 y - -9x - 50 x -25的對稱軸為x=，在15,1上單調(diào)遞增，990： ： ：y二0 v|EF| MN蘭810.10.【重慶市 20172017 屆高三二?！浚?橢圓C-41 -【解析】(1 1)由知，可設(shè)a = 2紅c =九,b =,其中九0,由已知M (c,),a 2-42 -(2)(2)易知，直線I的斜率存在。設(shè)直線l為y二kx-2 , Ax1,y1,B x2,y2,C x3, y3,2 2+ =12 2 22由 84= 1 2k x-8kx8k-8=0=20y = k x -2

50、2 28k8k -8x1+X2=2, Ex?二-21+2k1+2ky=kx-2 2 222C2= k x - 4k 1 x 4k =010y =x22x丄=184橢圓方程為21代入橢圓中得：C2：=1即1a2b2222=1，解得，=.2，從而a=2、2,b = 2,c=2，故D X4,y4f f 1 1 S。由條件知P4，F(xiàn) 2，。F7SncnSOCD8SOCDS pAB 7SOAB8 CD7SAB7AB，故CD9AB8AB=；1 k242 1 k2x1_X221 2k24k十1X3+&二一,x3x4=4,CD=Ji +k2|x3_x4|二1 k21 8k2k21 k218k2I AB

51、 8k24.21 k21 2k2、1 8k2972k21 k24 .281k41 k21 2k2-2=2 1 2k21 8k2=64217k69k -24k -0，O-43 -.k2-1 17k426k22=Qk2=1二k二1。存在直線I:滿足條件?！旧轿魇∮芰质懈呷诙文M】已知拋物線y2=4x的準線與雙曲線占=1 b 0交于A、B兩點，點F為拋物線的焦點，若=FAB為直角三角形，則雙b曲線離心率為(11114x2-44 -A A亙B B.主C C.玄233【答案】C C【解析】由題意得：.32,b曲線的離心率為(【答案】C C2 2 2 2 2 2 2 2= c-a, 上式化簡為(c -

52、a )c = a (2c -a ),整理3厶15得c4-3a2c2，a4=0兩邊都除以a4，得e4- 3e20,解之得e2,雙曲線2233,55 1的離心率e 1,e，可得e，故答案為 C.C.2V 221a=一257，選 C.C.312.12.【20162016 年山西省四校高三聯(lián)考】22已知雙曲線 篤-每=1(a0,b 0)的兩頂點為A，a b虛軸兩端點為BB2，兩焦點為Fi,F2. .若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,則雙A.A.口B.B.2壬C.C.2【解析】 雙曲線的虛軸兩端點B1、B2，兩焦點為F2. F1(c0)Bd0,b),可得直線F1B1的方程為y x c,c

53、即bx 0 .(1)若yd =3, ,求拋物線的標準方程;(2(2)若AMAB=0, ,求證：直線AB的斜率的平方為定值. .【解析】(1 1) 丫y1二d, ,設(shè)拋物線的焦點為F,二|AF = %,即AF丄x軸，二為=衛(wèi)，即2pr3, ,得心，所以拋物線的方程為即直線AB的斜率的平方為定值. .【一年原創(chuàng)真預(yù)測】(2)設(shè)B X2, y2, ,直線AB的方程為y = k x，將直線AB的方程代入I 22y得k2x2 pk_2x寸乜由:0得k21.4.故選D.4【入選理由】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，基本運算能力及推理能力本題是雙曲線與圓結(jié)合

54、，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合A.A.mm c0B.B.m m a 4C.C.m0cmv4D.D.m-cmc0，或4【答【解聯(lián)立y kx mx22，得(3k2-1)x26kmx 3(m21) = 0，首先應(yīng)有y 13y.:=(6km)2紊十0，即_4(3k2gm2+1)03k2十0、22(探)，設(shè)點m-3k210C(xyJ,D(X2,y2),線段CD的中點為M (x, y),由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2,3k -13km一m十，-3km -m十，亠八“所以x02,y kx0m2，所以點M (2,2)，所以直線AM的3k -13k -13k -1 3k -1m1斜率為kAM二筮1-3km3k2-13k2- m

55、-1蘭也,由題意應(yīng)有直線I與直線AM垂直，所以-3km23k - - mkAMk,即-121k工1,化簡得3k2-3km=4m T,因為3k2 0,所以4m 1 0,12解得 m -.將3k2=4m +1代入(探)式得丿44m 1八，解得 m：0 或m 4故-(4m 1) 10, ,故選此-50 -3 3已知一拋物線的焦點為F(0,1)，其對稱軸與準線的交點為A,P在拋物線上且滿足-51 -|PA|=m|PF|,當m取最大值時，點P恰好在以A,F為焦點的雙曲線上， 則雙曲線的漸近 線為(Ay =晅;x(B)y =2x(0(D)y = j2(V2+1)x【答案】C C【解析】由題意得拋物線的標準方程為x2= 4y，過點P