(完整版)全等三角形證明中考題精選(有答案)

1、新人教版八年級(jí)上學(xué)期全等三角形證明題一.解答題（共 10 小題）1.（泉州）如圖，已知 AD 是厶 ABC 的中線，分別過(guò)點(diǎn) B、C 作 BE 丄 AD 于點(diǎn) E, CF 丄 AD 交 AD 的延長(zhǎng) 線于點(diǎn) F,求證：BE=CF .2. （河南）如圖 1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖 2，固定 ABC，使 DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)線段 DE 與 AC 的位置關(guān)系是 _ 設(shè)厶 BDC 的面積為 S1, AEC 的面積為 S2,則 S1與 S2的數(shù)量關(guān)系是（2）猜想論證當(dāng)厶 DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中 S1與 S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試

2、分 別作出了BDC 和厶 AEC 中 BC、CE 邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ ABC=60 點(diǎn) D 是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4 , DE / AB 交 BC 于點(diǎn) E （如圖 4）.若在射線 BA上存在點(diǎn) F,使DCF=SABDE，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的 BF 的長(zhǎng).D 恰好落在 AB 邊上時(shí)，填空:團(tuán) 1區(qū) 23. (大慶)如圖，把一個(gè)直角三角形 ACB (/ ACB=90 繞著頂點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60使得點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到 AB 邊上的一點(diǎn) D，點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) E 的位置.F, G 分別是 BD，BE 上的點(diǎn)，BF=BG，延長(zhǎng) CF 與 DG 交 于點(diǎn) H.(1)

3、求證：CF=DG ;(2) 求出/ FHG 的度數(shù).4.(阜新)(1)如圖，在 ABC 和厶 ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= / DAE=90 1當(dāng)點(diǎn) D 在 AC 上時(shí)，如圖 1,線段 BD、CE 有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論；2將圖 1 中的 ADE 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0 1),按上述操作方法，得到圖 ，請(qǐng)繼續(xù)探究：AM 與 AN 的數(shù)量關(guān)系、/ MAN 與/ BAC 的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明.6.（四川）CD 經(jīng)過(guò)/ BCA 頂點(diǎn) C 的一條直線，CA=CB . E, F 分別是直線 CD 上兩點(diǎn)，且/ BEC= / CF

4、A= / a.（1）若直線 CD 經(jīng)過(guò)/ BCA 的內(nèi)部，且 E, F 在射線 CD 上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：1如圖 1,若/ BCA=90 / =90 則 BE_ CF; EF_|BE - AF| （填 ”，Z”或=”）；2如圖 2,若 0 1）,ZAOB=ZCOD=a,貝UAC 與BD 間的等量關(guān)系式為_ ;ZAPB 的大小為_10.（南寧）（A 類）如圖，DE 丄 AB、DF 丄 AC .垂足分別為 E、F.請(qǐng)你從下面三個(gè)條件中，再選出兩個(gè) 作為已知條件，另一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的命題（只需寫出一種情況） AB=AC ; BD=CD ; BE=CF 已知：DE 丄AB、DF 丄 AC，

5、垂足分別為 求證：BE=CF已知：DE 丄 AB、DF 丄 AC，垂足分別為 求證：BD=CD已知：DE 丄 AB、DF 丄 AC，垂足分別為 求證：AB=ACE、F, AB=AC , BD=CDE、F, AB=AC , BE=CFE、F, BD=CD , BE=CF（B 類）如圖，EG/ AF，請(qǐng)你從下面三個(gè)條件中，再選兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正 確的命題（只需寫出一種情況） AB=AC ; DE=DF ; BE=CF已知：EG / AF , AB=AC , DE=DF犬求證：BE=CF/2新人教版八年級(jí)上學(xué)期全等三角形證明題參考答案與試題解析一.解答題（共 10 小題）1.

6、（泉州）如圖，已知 AD 是厶 ABC 的中線，分別過(guò)點(diǎn) B、C 作 BE 丄 AD 于點(diǎn) E, CF 丄 AD 交 AD 的延長(zhǎng) 線于點(diǎn) F,求證：BE=CF .考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：根據(jù)中線的定義可得 BD=CD，然后利用 角角邊”證明 BDE 和厶 CDF 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng) 邊相等即可得證.解答：證明：/ AD 是厶 ABC 的中線， BD=CD ,/ BE 丄 AD , CF 丄 AD ,/ BED= / CFD=90 在厶 BDE 和厶 CDF 中，ZBED=ZCKD=90ZBDE=ZCDF ,BD=CDBDECDF （ AAS ）, BE=CF.

7、點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形全等證明邊相等是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運(yùn)用.2.（河南）如圖 1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片 ABC 和 DEC重合放置，其中/ C=90 / B= / E=30（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖 2，固定ABC，使 DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) D 恰好落在 AB 邊上時(shí)，填空：線段 DE 與 AC 的位置關(guān)系是DE / AC(2) 猜想論證當(dāng)厶 DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 所示的位置時(shí)， 小明猜想(1)中 Si與 S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立， 并嘗試分 別作出了 BDC和厶 AEC 中 BC、CE 邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想.(3) 拓展探究

8、已知/ ABC=60 點(diǎn) D 是角平分線上一點(diǎn)， BD=CD=4 , DE / AB 交 BC 于點(diǎn) E (如圖 4).若在射線 BA 上存在點(diǎn) F,使 S DCF=SABDE，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的 BF 的長(zhǎng).考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1) 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 AC=CD，然后求出ACD 是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可 得/ ACD=60 然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得 AC=AD，再根據(jù)直角三角形 30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出 AC=AB，然后求出 AC=BE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C 到 AB 的距離等

9、于點(diǎn) D 到 AC2的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 BC=CE , AC=CD ,再求出/ACN= / DCM ,然后利用 角角邊”證明ACN 和厶 DCM 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；(3)過(guò)點(diǎn) D 作 DF1/BE，求出四邊形 BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F1為所求的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D 作 DF2丄 BD，求出/ F1DF2=60從而得到DF1F2是等邊三角形，然后求出 DF1=DF2，再求出/ CDF1=ZCDF2，利用 邊角邊”

10、證明 CDF1和厶 CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，然后在等腰BDE中求出 BE 的長(zhǎng)，即可得解.解答：解：(1)/ DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)點(diǎn) D 恰好落在 AB 邊上， AEC 的面積為 S2,則 S1與 S2的數(shù)量關(guān)系是S1=S23C2 AC=CD ,/ / BAC=90 - / B=90 - 30=60 ACD 是等邊三角形， / ACD=60 又/ / CDE= / BAC=60 / ACD= / CDE, DE / AC ；/ / B=30 / C=90 1 CD=AC= =AB , BD=AD=AC ,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，ACD 的邊 AC、AD 上

11、的高相等， BDC 的面積和AEC 的面積相等(等底等高的三角形的面積相等) 即 S 仁 S2;故答案為：DE / AC ; S 仁 S2；(2) 如圖，/ DEC 是由 ABC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)得到， BC=CE , AC=CD ,/ / ACN+ / BCN=90 / DCM+ / BCN=180 - 90 90 / ACN= / DCM ,在 ACN 和厶 DCM 中，.I-,AC=CD ACNDCM (AAS ), AN=DM , BDC 的面積和AEC 的面積相等(等底等高的三角形的面積相等) 即 S1=S2；(3) 如圖，過(guò)點(diǎn) D 作 DFi/ BE,易求四邊形 BEDF1是菱形，

12、所以 BE=DF1，且 BE、DF1上的高相等，此時(shí)SDCF=SABDE,過(guò)點(diǎn) D 作 DF2丄 BD ,/ / ABC=60 /F1DF2=ZABC=60 DF1F2是等邊三角形， DF1=DF2, BD=CD , / ABC=60 點(diǎn) D 是角平分線上一點(diǎn)， / DBC= / DCB=2 60=30 / CDF1=180 - 30150/ CDF2=360 - 150- 60150 / CDF1= / CDF2,在 CDF1和厶 CDF2中,m二DL“ ZCEFZCDFLCD=CDCDF1BACDF2(SAS),點(diǎn) F2也是所求的點(diǎn) /ABC=60 點(diǎn) D 是角平分線上一點(diǎn)， DE / A

13、B , / DBC= / BDE= / ABD=2 60=30 又/ BD=4 ,BFI=；BF2=BFI+F1F2=_ ；+；=：3 333?故BF的長(zhǎng)為或：;.33C(3 )題圜點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，(3)要注意符合條件的點(diǎn) F 有兩個(gè).3.(大慶)如圖，把一個(gè)直角三角形ACB (/ ACB=90 )繞著頂點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60,使得點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到AB 邊上的一點(diǎn) D，點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) E 的位置.F, G 分

14、別是 BD , BE 上的點(diǎn)，BF=BG，延長(zhǎng) CF 與 DG 交 于點(diǎn) H.(1) 求證：CF=DG；(2) 求出/ FHG 的度數(shù).考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：(1)在厶 CBF 和厶 DBG 中，利用 SAS 即可證得兩個(gè)三角形全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 即可證得；(2)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可證得/ DHF= / CBF=60 )從而求解.解答：(1)證明：在 CBF 和厶 DBG 中，rBCBDZCBF=ZBDG=60,血BG CBFDBG (SAS),CF=DG；(2)解：/ CBFDBG , / BCF= / BDG ,又/ / CFB= / DFH , /

15、 DHF= / CBF=60 ) ZFHG=180。-ZDHF=180。- 60=120點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是關(guān)鍵.4.(阜新)(1)如圖，在ABC 和厶 ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= / DAE=90 1當(dāng)點(diǎn) D 在 AC 上時(shí)，如圖 1,線段 BD、CE 有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論；2將圖 1 中的 ADE 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0 1）,按上述操作方法，得到圖 ，請(qǐng)繼續(xù)探究：AM 與 AN 的數(shù)量關(guān)系、/ MAN 與/ BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明.考點(diǎn)：全等三角形的判定.專題：壓

16、軸題；探究型.分析：（1） 根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AECADB，所以 BD=CE ; 根據(jù)題意可知 / CAE=BAD , AB=AC , AD=AE ,所以得到BADCAE ,在厶 ABM 和厶 ACN 中，DM=：BD , EN=CE，可證 ABM ACN，所以 AM=AN，即/ MAN= / BAC .2 2（2）直接類比（1）中結(jié)果可知 AM=k ?AN , / MAN= / BAC .解答：解：（1）BD=CE ;點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).理.注意：在全等的判定中，沒有AE , / BAC= / DAE=90 2-分得到圖，請(qǐng)解答下列問(wèn)題: AM=AN , / MAN

17、= / BAC ,/ / DAE= / BAC , / CAE= / BAD , 在厶 BAD 和CAE 中AE二ADZCAE=ZBAD CAEBAD ( SAS),AC=AB / ACE= / ABD ,DM=-BD , EN=-CE,2 2 BM=CN ,在厶 ABM 和厶 ACN 中，ZACN=Z ABMAB二AC ABMACN (SAS), AM=AN , / BAM= / CAN，即 / MAN= / BAC ;(2) AM=k ?AN , /MAN= /BAC .點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法和性質(zhì).判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定兩個(gè)

18、三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形 全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件本題還要會(huì)根據(jù)所求的結(jié)論運(yùn)用類比的方法求 得同類題目.6.（臺(tái)州）CD 經(jīng)過(guò)/ BCA 頂點(diǎn) C 的一條直線，CA=CB . E, F 分別是直線 CD 上兩點(diǎn)，且/ BEC= / CFA= /a.考點(diǎn)：直角三角形全等的判定；三角形內(nèi)角和定理.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：由題意推出ZCBE-ZACF，再由 AAS 定理證 BCECAF，繼而得答案.解答：解：(1)/ZBCA=90 Z a=90 ZBCE+ZCBE=90 ZBCE+ZACF=90, ZCBE=ZACF,/CA=CB

19、, ZBEC=ZCFA;BCECAF,BE=CF;EF=|BE-AF|. 所填的條件是：Z a+ZBCA=180 證明：在BCE 中，ZCBE+ZBCE=180。-ZBEC=180。-Z a./ ZBCA=180 - Z a, ZCBE+ZBCE=ZBCA.又/ZACF+ZBCE=ZBCA , ZCBE=ZACF,又 BC=CA, ZBEC=ZCFA,BCECAF(AAS)BE=CF,CE=AF,又 EF=CF - CE ,EF=|BE-AF|.(2)EF=BE+AF.點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關(guān)知識(shí).注意對(duì)三角形全等，相似的綜合應(yīng)用.（不要求證明）7. （紹興） 課

20、外興趣小組活動(dòng)時(shí)，許老師出示了如下問(wèn)題：如圖 1 ,己知四邊形 ABCD 中， AC 平分/ DAB , / DAB=60 ZB 與/ D 互補(bǔ)，求證：AB+AD= .；AC .小敏反復(fù)探索，不得其解.她想，若將四邊形 ABCD 特殊化，看如何解決該問(wèn)題.（1） 特殊情況入手添加條件：ZB=ZD”如圖 2，可證 AB+AD3AC ;（請(qǐng)你完成此證明）（2） 解決原來(lái)問(wèn)題受到（1）的啟發(fā)，在原問(wèn)題中，添加輔助線：如圖3,過(guò) C 點(diǎn)分別作 AB、AD 的垂線， 垂足分別為 E、F.（請(qǐng)你補(bǔ)全證明）（1）若直線 CD 經(jīng)過(guò)/BCA 的內(nèi)部，且 E,1如圖 1,若/ BCA=90 / =90 則 BE

21、 = CF; EF = |BE - AF| （填2如圖 2,若 0v/ BCAV180請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于 /a與/ BCA 關(guān)系的條件 / a / BCA=180 ，使 中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立.（2）如圖 3，若直線 CD 經(jīng)過(guò)/ BCA 的外部，/a= / BCA，請(qǐng)?zhí)岢?EF, BE , AF 三條線段數(shù)量關(guān)系的合 理猜想F在射線 CD 上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題: AB=(2)由(1)知，AE+AF= . 1AC,/ AC 為角平分線，CF 丄 CD, CE 丄 AB , CE=CF.而/ ABC 與/ D 互補(bǔ)，/ ABC 與/ CBE 也互補(bǔ)， / D= / CBE .在

22、RtACDF 與 Rt CBE 中，rZCEB=ZCFDZD=ZCBEtCE=CT Rt CDF 也 Rt CBE . DF=BE . AB+AD=AB+ (AF+FD ) = (AB+BE ) +AF=AE+AF= 一_;AC .點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)；通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)建全等三角形是解題的常用方法，也是解決本題的關(guān)鍵.& (常德)如圖，已知 AB=AC ,(1)若 CE=BD，求證：GE=GD ;（2）若 CE=m?BD （m 為正數(shù)），試猜想 GE 與 GD 有何關(guān)系.（只寫結(jié)論，不證明）考點(diǎn)：直角三角形全等的判定.專題：證明題；壓軸題；開放型.分析：(1) 如果

23、：2B= / D ”，根據(jù) / B 與/D 互補(bǔ)，那么 / B= / D=90 又因?yàn)?/ DAC= / BAC=30 因此我們可在直角三角形 ADC 和 ABC 中得出 AD=AB=3AC,那么 AD+AB=.2(2)按(1)的思路， 作好輔助線后， 我們只要證明三角形CFD 和 BCD 全等即可得到(1)的條件.根據(jù) AAS 可證兩三角形全等，DF=BE .然后按照(1)的解法進(jìn)行計(jì)算即可.解答：證明：(1) /2B 與/ D 互補(bǔ)，2B=2D, 2B=2D=902CAD=2CAB=22DAB=302ATI在 ADC 中，cos30=,AC在厶 ABC 中,COS30盂，:AC，AD=考點(diǎn)

24、：全等三角形的判定與性質(zhì). 專題：證明題；壓軸題；探究型.分析：(1)要證 GE=GD，需證 GDFGEC，由已知條件可根據(jù) AAS 判定.(2)若 CE=m?BD ( m 為正數(shù))，那么 GE=m?GD .解答：證明：(1)過(guò) D 作 DF / CE,交 BC 于 F,貝 U/E=ZGDF./ AB=AC , /ACB=/ABC/ DF / CE, / DFB= / ACB , / DFB= / ACB= / ABC . DF=DB ./ CE=BD , DF=CE ,在厶 GDF 和厶 GEC 中，ZE 二 Z GDFZDSF=ZEGC ,DF=EC GDFGEC (AAS ). GE=G

25、D .點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.本題的輔助線是解決題目的關(guān)鍵.9.(泰安)(1)已知： 如圖 ， 在 AOB 和厶 COD 中， OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=60 求證: AC=BD ;/ APB=60 度;(2)如圖，在 AOB 和厶 COD 中，若 OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=a,貝 U AC 與 BD 間的等量 關(guān)系式為 AC=BD ; / APB 的大小為_;(3)如圖 ，在AOB 和厶 COD 中，若 OA=k?OB, OC=k?OD ( k 1

26、), / AOB= / COD= a,貝 U AC 與BD 間的等量關(guān)系式為AC=k ?BD ; / APB 的大小為 180 圈2團(tuán)圖考點(diǎn)：全等三角形的判定；三角形內(nèi)角和定理.專題：探究型.分析：(1)分析結(jié)論 AC=BD 可知，需要證明AOCBOD，圍繞這個(gè)目標(biāo)找全等的條件；(2)與圖 比較，圖形條件發(fā)生了變化，仍然可以證明AOCBOD，方法類似；(3) 轉(zhuǎn)化為證明AOC BOD .解答： 解：(1)/ZAOB= / COD=60 , ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC.即:ZAOC=ZBOD .又/ OA=OB , OC=OD , AOC 也厶 BOD . AC=BD .由得：ZOAC=ZOBD ,/ZAEO=ZPEB, ZAPB=180( ZBEP+ZOBD), ZAOB=180( ZOAC+ZAEO),ZAPB=ZAOB=60(2)AC=BD, a(3)AC=k ?BD,180 a.AO圖點(diǎn)評(píng)：三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根 據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再