2018版高中數(shù)學第二章數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項和(一)學案新人教A版必修5

1、2.3 等差數(shù)列的前 n 項和(一)學習目標1.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路.2.經歷公式的推導過程，體會數(shù)形 結合的數(shù)學思想，體驗從特殊到一般的研究方法， 學會觀察、歸納、反思 3 熟練掌握等差數(shù)列的五個量ai，d,n，an，S的關系，能夠由其中三個求另外兩個.肖如識梳理自主學耳 知識點一數(shù)列前n項和的概念把ai+a2+ +an叫數(shù)列an的前n項和，記做.貝Uai+比+a3+ani=Si(n2).思考 由S與S i的表達式可以得出SS-i(n2),an=S(n= i).知識點二等差數(shù)列前n項和公式3 .推導方法：倒序相加法過程：Sn=ai+a2+an,$= an+an1+ai,Tai

2、+an=a2+an1= =an+ai,2Si =n(ai+an),n(ai+an)I Sn=.4 .從函數(shù)角度認識等差數(shù)列的前n項和公式(1)公式的變形n(n 1)d d2d$=nai+=尹 + (ai pn.(2)從函數(shù)角度認識公式1當d0時，S是項數(shù)n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項;2當d= 0 時，S=nai,不是項數(shù)n的二次函數(shù).(3)結論及其應用已知數(shù)列an的前n項和S=An2+Bn+C,若C= 0，則數(shù)列an為等差數(shù)列；若CM0,則數(shù)列an不是等差數(shù)列.思考 等差數(shù)列an的前n項和為 S,且 S= 6,ai= 4，則公差d等于()i.公式 i：若an是等差數(shù)列，則S 可以用首項ai和末項

3、an表示為S=n(ai+an)2 .公式 2若首項為ai,公差為 d,貝US 可以表示為iS=n ai+ 列(n-1)d.12A-2B - - 3C. 1 D . 3答案 A解析S3=ai+a2+a3= 3a2= 6, a2=2,又ai= 4, d= 2.知識點三等差數(shù)列前n項和的性質1 .若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，S為其前n項和，則數(shù)列目也是等差數(shù)列，且公差 為夕.2 若Sm,Sm,S3m分別為等差數(shù)列an的前E項，前 2m項，前 3m項的和，貝USm,SmS, Sm2Sm也成等差數(shù)列，公差為md.an Sn 13 設兩個等差數(shù)列an, bn的前n項和分別為$, Tn,則匚=一.bnl

4、2n14.若等差數(shù)列的項數(shù)為2n,則$n=n(an+an+1),S禺an +1S偶S奇nd,.* an5若等差數(shù)列的項數(shù)為2n+1,則 Sm1=(2n+ 1)an+1,S禺nS偶S奇=an+1,奇=n+7.思考 等差數(shù)列an的前m項和為 30,前 2m項和為 100,則它的前 3m項和是_.答案 210解析 設an的前 3m項和是S,Sm,S2m一Sm,Sm Sm 分別為 30, 70 ,S 100.由性質知 30, 70, S- 100 成等差數(shù)列. 2X70=30+(S100),S= 210.產題型探究_婁點突破 題型一與等差數(shù)列S有關的基本量的計算例 1在等差數(shù)列an中，53(1)已知a

5、1= ;,an= ;,Sn= 5,求n和d;623(2)已知ai= 4,S8= 172，求as和d.又ai5=|+ (15 1)d=3, d= 6.62 61n=15,d=6.解得as= 39,又/a8= 4+ (8 1)d= 39,.d= 5.- a8= 39,d= 5.反思與感悟a1,d,n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和S都可以用這三個基本量來表示,五個量a1，d,n，an，S中可知三求二，一般通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程(組)求解，在求解過程中要注意整體思想的運用.跟蹤訓練 1 在等差數(shù)列an中，(1) 已知a6= 10,S5= 5, 求a和 So；(2) 已知a3+ an= 4

6、0,求 $7.J5X4|S5= 5a1+ -d= 5,解(1)2解得a1= 5,d= 3.Ia6=a1+ 5d= 10,- a8=a6+ 2d= 10 + 2X3= 16,10X9So=10a1+2d=10X(5)+5X9X3=85.題型二等差數(shù)列前n項和性質的應用例 2 (1)設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，已知a2= 3,a6= 11,則S?等于()A. 13 B . 35C. 49 D . 63等差數(shù)列an與bn的前n項和分別是Sn和Tn,已知 = ；，則音等于()Tnn+ 3b5解(1)由題意得,n(ai+a2=5,解得n= 15.由已知得 S=8 (a1+as)28 (4 +as)=

7、2 =172,S7=17X( a+ a?)=2=17X(a3+ an)2=17X402=340.A.2707B. 3 C.后D.2144已知數(shù)列an的通項公式為an= 2n+1(n N),其前n項和為 S,則數(shù)列目的前 10 項的225和為_ .答案C(2)D(3)75丄 l777解析 (1) S= 2(ai+a7)= 2(a2+a6)=空(3 + 11) = 49.ai+a9空 2S97x9 21(2)b =b1+b9= 9+ 3= 4 .2(3) S=n( *嚴嚴 =n(n+ 2).色=n+ 2,n反思與感悟等差數(shù)列前n項和計算的幾種思維方法(1)整體思路：利用公式Sn=(+)，設法求出整

8、體a+an,再代入求解.待定系數(shù)法：利用S是關于n的二次函數(shù)，設S=An2+Bn(A* 0)，列出方程組求出A, B即可，或利用 半是關于n的一次函數(shù)，設 弓=an+b(a0)進行計算.利用S, San-S,SnSan成等差數(shù)列進行求解.跟蹤訓練 2 (1)已知等差數(shù)列前 9 項的和為 27,a10= 8，則a1oo=()A. 100 B . 99 C . 98 D . 97答案 C9(a1+aj9x2a5解析由等差數(shù)列性質，知Sa=刁 = 9a5= 27,得a5= 3，而 ao= 8,因此公、a10a5差d= = 1 ,a100= ae+ 90d= 98,故選 C.10 5已知兩個等差數(shù)列a

9、n與bn的前n(n1)項和分別是Sn和Tn,且 S :Tn= (2n+1) : (3n-ao2)，求-的值.數(shù)列存是以首項為3,公差為 1 的等差數(shù)列,-的前 10 項和為n10X3+09x1=75.a1+a解方法ag2agbs= 2bsa1+a仃b+ b17X17X17Sl7T6方法二數(shù)列an , bn均為等差數(shù)列,$=An2+Bn,T=An2+Bn.Sn2n+ 1v =Tn_ 3n_ 2，令S=tn(2n+1),Tn=tn(3n 2) ,t豐0，且tR.-anSnSn 1=tn(2n+ 1) t(n 1)(2n 2 + 1)=tn(2n+ 1) t(n 1)(2n 1)=t(4n 1)(n

10、2),bn=TnTn 1=tn(3n 2) t(n 1)(3n 5)=t(6n 5)(n2).ant(4n 1)4n 1a94x 9 1 35 5丘=t(6n5) =6n5，b9=6x95=49=7，題型三等差數(shù)列前n項和公式在實際中的應用例 3 某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為 1 150 元，購買當天先付 150 元，以后每月的這一天都交付 50 元，并加付欠款利息，月利率為 1%.若交付 150 元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第 10 個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花費多少錢？解 設每次交款數(shù)額依次為a1,a2,，a20，則a1=50+1 0

11、00 xi%=60(兀)，a2=50+(1 00050)xi %=59.5(元),a10=50+(1 0009X50)X1%=55.5(元),即第 10 個月應付款 55.5 元.由于an是以 60 為首項，以一 0.5 為公差的等差數(shù)列，60+(6019X0.5)一所以有 So=2x20= 1 105(兀)，即全部付清后實際付款 1 105 + 150= 1 255(元).反思與感悟建立等差數(shù)列的模型時，要根據(jù)題意找準首項、公差和項數(shù)或者首項、末項和項數(shù)，并選擇相應的公式進行求解.跟蹤訓練 3 植樹節(jié)某班 20 名同學在一段直線公路一側植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相7距 10 米，開始時需

12、將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為 _ 米.8答案 2 000解析 假設 20 位同學是 1 號到 20 號依次排列，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往 返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10 或第 11 號樹坑旁，此時兩側的同學所走的路程都組成以 20 為首項，20 為公差的等差數(shù)列，故所有同學往返的總路程為9X810X9S= 9X20+ X20+ 10X20+ X20 = 2 000 米.壬當堂檢測_自查自糾1.在等差數(shù)列an中，So= 120,那么a+a10的值是()A. 12 B . 24 C . 36 D .

13、48答案 B10 (+a10)解析 $0=2= 5(a1+ aw) = 120,-a1+ a10= 24.2. 在等差數(shù)列an中，a2+a5= 19,S=40,貝Ua。等于()A. 27 B . 24 C . 29 D . 48答案 C2a1+ 5d= 19,a1= 2,解析 設等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,由已知得解得|5a1+ 10d= 40,d= 3.a10=2+9X3=29.3. 已知數(shù)列an中，as+ & + 2asa8= 9,且an0,貝US。等于()A. 1 B . 11C. 13 D . 15答案D解析易知(a3+a8)2= 9.-an0, a3+a8= 3.4.

14、等差數(shù)列an的前四項之和為 124，后四項之和為 156,各項和為 210，則此數(shù)列的項數(shù) 為（）A . 5 B . 6C . 7 D . 8答案 BS=10(a1+ aw)210 (a3+a8)2=15.9解析 由題意知a1+a2+a3+a4= 124,an+an- 1+an-2+an3= 156,4(ai+an) = 280, 二ai+an= 70.n(ai+an)n又 S=2= 2x70 = 210 , n= 6.5已知an是等差數(shù)列，S是其前n項和若ai+a1 2= 3, S= 10，貝Ua9的值是答案20解析設等差數(shù)列an公差為d,由題意可得:0 +2(a + d) = 3,a1= 4,5X4解得*a1+