2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第7節(jié) 拋物線 教案

1、1第七節(jié)第七節(jié)拋物線拋物線最新考綱1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用1拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)；(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn) f 的距離與到定直線 l 的距離相等；(3)定點(diǎn)不在定直線上2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的幾何意義：焦點(diǎn) f 到準(zhǔn)線 l 的距離圖形頂點(diǎn)o(0，0)對(duì)稱軸y0 x0焦點(diǎn)fp2，0fp2，0f0，p2f0，p2離心率e1準(zhǔn)線方程xp2xp2yp2yp

2、2范圍x0，yrx0，yry0，xry0，xr焦半徑(其中p(x0，y0)|pf|x0p2|pf|x0p2|pf|y0p2|pf|y0p22常用結(jié)論設(shè) ab 是過拋物線 y22px(p0)焦點(diǎn) f 的弦，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)x1x2p24，y1y2p2.(2)弦長|ab|x1x2p2psin2(為弦 ab 的傾斜角)(3)以弦 ab 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(4)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長度等于 2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) f 和一條定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2)若直線與拋物線

3、只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切()(3)方程 yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在 x 軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是a4，0，準(zhǔn)線方程是 xa4.()(4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1過拋物線 y24x 的焦點(diǎn)的直線 l 交拋物線于 p(x1，y1)，q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果 x1x26，則|pq|等于()a9b8c7d6b拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為 f(1， 0)， 準(zhǔn)線方程為 x1.根據(jù)題意可得， |pq|pf|qf|x11x21x1x228.2 若拋物線 y4x2上的一點(diǎn) m 到焦點(diǎn)的距離為 1， 則點(diǎn) m 的縱坐標(biāo)是()a.

4、1716b.1516c.78d0bm 到準(zhǔn)線的距離等于 m 到焦點(diǎn)的距離， 又準(zhǔn)線方程為 y116， 設(shè) m(x，3y)，則 y1161，y1516.3設(shè)拋物線 y28x 上一點(diǎn) p 到 y 軸的距離是 4，則點(diǎn) p 到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()a4b6c8d12b如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線 l 的方程為 x2，f 是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn) p 作 pay 軸，垂足是 a，延長 pa 交直線 l 于點(diǎn) b，則|ab|2.由于點(diǎn) p 到 y 軸的距離為 4，則點(diǎn) p 到準(zhǔn)線 l 的距離|pb|426，所以點(diǎn) p 到焦點(diǎn)的距離|pf|pb|6.故選 b.4頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn) p(4，2)的拋

5、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_y2x 或 x28y若焦點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)拋物線方程為 x2my，由題意可知 162m， m8， 即 x28y.若焦點(diǎn)在 x 軸上， 設(shè)拋物線方程為 y2nx，由題意，得 44n，n1，y2x.綜上知，y2x 或 x28y.考點(diǎn) 1拋物線的定義及應(yīng)用(1)應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn) p(x0，y0)到焦點(diǎn) f 的距離|pf|x0|p2或|pf|y0|p2.(2)解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑是：“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”(1)已知 f 是拋物線 y2x 的焦點(diǎn)，a，b 是該拋物線

6、上的兩點(diǎn)|af|bf|3，則線段 ab 的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()a.52b.32c1d34(2)設(shè) p 是拋物線 y24x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 b(3，2)，則|pb|pf|的最小值為_(1)b(2)4(1)f 是拋物線 y2x 的焦點(diǎn)，f(14，0)，準(zhǔn)線方程 x14，設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義可得|af|x114，|bf|x214，|af|bf|x114x2143.解得 x1x252，線段 ab 的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為54，線段 ab 的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為541432.故選 b.(2)如圖，過點(diǎn) b 作 bq 垂直準(zhǔn)線于點(diǎn) q，交拋物線于點(diǎn)p1，則|p1q|p1f|.則

7、有|pb|pf|p1b|p1q|bq|4，即|pb|pf|的最小值為 4.母題探究1若將例(2)中的 b 點(diǎn)坐標(biāo)改為(3，4)，試求|pb|pf|的最小值解由題意可知點(diǎn) b(3，4)在拋物線的外部|pb|pf|的最小值即為 b，f 兩點(diǎn)間的距離，f(1，0)，|pb|pf|bf| 42222 5，即|pb|pf|的最小值為 2 5.2若將例(2)中的條件改為：已知拋物線方程為 y24x，直線 l 的方程為 xy50，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) p 到 y 軸的距離為 d1，到直線 l 的距離為 d2，求 d1d2的最小值解由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為 f(1，0)點(diǎn) p 到 y 軸的距離 d1|pf|1，

8、所以 d1d2d2|pf|1.易知 d2|pf|的最小值為點(diǎn) f 到直線 l 的距離，5故 d2|pf|的最小值為|15|12（1）23 2，所以 d1d2的最小值為 3 21.與拋物線有關(guān)的最值問題的轉(zhuǎn)換方法(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決(2017 全國卷)已知 f 是拋物線 c：y28x 的焦點(diǎn)，m 是 c 上一點(diǎn)，fm 的延長線交 y 軸于點(diǎn) n.若 m 為 fn 的中點(diǎn)，則|fn|_6如圖，不妨設(shè)點(diǎn) m 位于第一象限內(nèi)， 拋

9、物線 c 的準(zhǔn)線交 x 軸于點(diǎn) a，過點(diǎn) m 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn) b，交 y軸于點(diǎn) p，pmof.由題意知，f(2，0)，|fo|ao|2.點(diǎn) m 為 fn 的中點(diǎn)，pmof，|mp|12|fo|1.又|bp|ao|2，|mb|mp|bp|3.由拋物線的定義知|mf|mb|3，故|fn|2|mf|6.考點(diǎn) 2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、 開口方向， 在方程的類型已經(jīng)確定的前提下， 由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù) p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)(2019濰坊模擬)拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)為 f，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，m

10、 為拋物線上一點(diǎn)，且|mf|4|of|，mfo 的面積為 4 3，則拋物線的方程為()ay26xby28xcy216xdy215x2(2)一題多解在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，設(shè)拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為 f， 準(zhǔn)線6為 l，p 為拋物線上一點(diǎn)，pal，a 為垂足如果直線 af 的傾斜角為 120，那么|pf|_(1)b(2)4(1)設(shè) m(x，y)，因?yàn)閨of|p2，|mf|4|of|，所以|mf|2p，由拋物線定義知 xp22p，所以 x32p，所以 y 3p. 又mfo 的面積為 4 3，所以12p2 3p4 3，解得 p4(p4 舍去)所以拋物線的方程為 y28x.(2)法一：拋物線

11、y24x 的焦點(diǎn)為 f(1，0)，準(zhǔn)線方程為 x1.因?yàn)橹本€ af的傾斜角為 120，所以afo60.又 tan 60ya1（1），所以 ya2 3.因?yàn)?pal， 所以 ypya2 3.將其代入 y24x， 得 xp3， 所以|pf|pa|3(1)4.法二：拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為 f(1，0)，準(zhǔn)線方程為 x1.因?yàn)?pal，所以|pa|pf|.又因?yàn)橹本€ af 的傾斜角為 120，所以afo60，所以paf60，所以paf 為等邊三角形，所以|pf|af|1（1）cosafo4.在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)， 要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的

12、問題更是如此1.(2016全國卷)以拋物線 c 的頂點(diǎn)為圓心的圓交 c 于 a，b 兩點(diǎn)，交 c 的準(zhǔn)線于 d，e 兩點(diǎn)已知|ab|4 2，|de|2 5，則 c 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()a2b4c6d8b設(shè)拋物線的方程為 y22px(p0)，圓的方程為 x2y2r2.|ab|4 2，|de|2 5，拋物線的準(zhǔn)線方程為 xp2，不妨設(shè) a4p，2 2，dp2， 5.點(diǎn) a4p，2 2，dp2， 5在圓 x2y2r2上，716p28r2，p245r2，16p28p245，p4(負(fù)值舍去)c 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 4.2.如圖所示， 過拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn) f 的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線

13、于點(diǎn) a， b， c， 若|bc|2|bf|， 且|af|4，則拋物線的方程為()ay28xby24xcy22xdy2xb如圖，分別過點(diǎn) a，b 作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)e，d，設(shè)準(zhǔn)線與 x 軸交于點(diǎn) g，設(shè)|bf|a，則由已知得|bc|2a，由定義得|bd|a，故bcd30，則在 rtace 中，2|ae|ac|，又|af|4，|ac|43a，|ae|4，43a8，從而得 a43，aefg，fgaecfac，即p448，p2.拋物線的方程為 y24x.故選 b.考點(diǎn) 3直線與拋物線的位置關(guān)系求解拋物線綜合問題的方法(1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，

14、一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|ab|x1x2p(焦點(diǎn)在 x 軸正半軸)，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長公式提醒：涉及弦的中點(diǎn)、弦所在直線的斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解(1)過點(diǎn)(0，1)作直線，使它與拋物線 y24x 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_條8(2)(2019全國卷)已知拋物線 c： y23x 的焦點(diǎn)為 f， 斜率為32的直線 l 與 c的交點(diǎn)為 a，b，與 x 軸的交點(diǎn)為 p.若|af|bf|4，求 l 的方程；

15、若ap3pb，求|ab|.(1)3(1)結(jié)合圖形分析可知(圖略)，滿足題意的直線共有 3 條：直線 x0，過點(diǎn)(0，1)且平行于 x 軸的直線以及過點(diǎn)(0，1)且與拋物線相切的直線(非直線 x0)(2)解設(shè)直線 l：y32xt，a(x1，y1)，b(x2，y2).由題設(shè)得 f34，0，故|af|bf|x1x232，由題設(shè)可得 x1x252.由y32xty23x，可得 9x212(t1)x4t20，則 x1x212（t1）9.從而由12（t1）952，得 t78.所以 l 的方程為 y32x78.由ap3 pb得 y13y2.由y32xty23x，得 y22y2t0.所以 y1y22.從而3y2

16、y22，故 y21，y13.代入 c 的方程得 x13，x213.故|ab|4 133.9解答本例(2)第問的關(guān)鍵是從條件“ap3pb”中發(fā)現(xiàn)變量間的關(guān)系“y13y2” ，從而為方程組的消元提供明確的方向教師備選例題1(2018全國卷)設(shè)拋物線 c：y24x 的焦點(diǎn)為 f，過 f 且斜率為 k(k0)的直線 l 與 c 交于 a，b 兩點(diǎn)，|ab|8.(1)求 l 的方程；(2)求過點(diǎn) a，b 且與 c 的準(zhǔn)線相切的圓的方程解(1)由題意得 f(1，0)，l 的方程為 yk(x1)(k0)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)由yk（x1） ，y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2

17、160，故 x1x22k24k2.所以|ab|af|bf|(x11)(x21)4k24k2.由題設(shè)知4k24k28，解得 k1(舍去)或 k1.因此 l 的方程為 yx1.(2)由(1)得 ab 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以 ab 的垂直平分線方程為 y2(x3)，即 yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216，解得x03，y02或x011，y06.因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.2(2019金華模擬)已知拋物線 c：y22px(p0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn) p(2，t)到焦點(diǎn) f 的距離為52.10(

18、1)若 n(12，0)，過點(diǎn) n，p 的直線 l1與拋物線相交于另一點(diǎn) q，求|qf|pf|的值；(2)若直線 l2與拋物線 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，與圓 m：(xa)2y21 相交于d，e 兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，oaob，試問：是否存在實(shí)數(shù) a，使得|de|為定值？若存在，求出 a 的值；若不存存，請(qǐng)說明由解(1)點(diǎn) p(2，t)到焦點(diǎn) f 的距離為52，2p252，解得 p1，故拋物線 c 的方程為 y22x，p(2，2)，l1的方程為 y45x25，聯(lián)立得y45x25，y22x，解得 xq18，又|qf|xq1258，|pf|52，|qf|pf|585214.(2)設(shè)直線 l2的方程為

19、 xnym(m0)，代入拋物線方程可得 y22ny2m0，設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 y1y22n，y1y22m，由 oaob 得，(ny1m)(ny2m)y1y20，整理得(n21)y1y2nm(y1y2)m20，將代入解得 m2 或 m0(舍去)，滿足4n28m0，直線 l2：xny2，圓心 m(a，0)到直線 l2的距離 d|a2|1n2，|de|212（a2）21n2，顯然當(dāng) a2 時(shí)，|de|2，存在實(shí)數(shù) a2，使得|de|為定值1.一題多解過拋物線 y24x 的焦點(diǎn) f 的直線 l 與拋物線交于 a，b兩點(diǎn)，若|af|2|bf|，則|ab|等于()11a4b.92c5d6b法一： (直接法)易知直線 l 的斜率存在， 設(shè)為 k， 則其方程為 yk(x1)由yk（x1） ，y24x得 k2x2(2k24)xk20，得 xaxb1，因?yàn)閨af|2|bf|，由拋物線的定義得 xa12(xb1)，即 xa2xb1，由解得 xa2，xb12，所以|ab|af|bf|xaxbp92.法二：(應(yīng)用性質(zhì))由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn) a 在 x 軸的上方，如圖設(shè) a，b 在準(zhǔn)線上的射影分別為 d，c，作 bead 于 e，設(shè)|bf|m，直線 l 的傾斜角為，則|ab|3m，由拋物線的定義知|ad|af|2m，|bc|