11數(shù)列問(wèn)題的題型與方法

1、福建省邵武第一中學(xué) guanyoyo第11講 數(shù)列問(wèn)題的題型與方法數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。近幾年來(lái)，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面；（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等差

2、數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。（2）數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，其中主要是以增長(zhǎng)率問(wèn)題為主。試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。一、知識(shí)整合1在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題；2在解決綜合題和探索性問(wèn)題實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技

3、能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力3培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問(wèn)方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法二、方法技巧1判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法：若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，則為等差數(shù)列；若  ，則為等比數(shù)列。(3)中項(xiàng)

4、公式法：驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立。2. 在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問(wèn)題常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：  (1)當(dāng)>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng)<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。三、注意事項(xiàng)1證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過(guò)證明 或而得。2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。3注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：= ， =

5、4數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬(wàn)變不離其宗，就是離不開(kāi)數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會(huì)迅速打通解題思路5解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略四、例題解析例1已知數(shù)列a是公差d0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S(2)過(guò)點(diǎn)Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設(shè)l與l的夾角為，證明：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列a的公差d0，所以Kpp是常數(shù)(k=2，3，n)(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d例2已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等

6、比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。分析：由于b和c中的項(xiàng)都和a中的項(xiàng)有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2當(dāng)n2時(shí)，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S=a=1也適合

7、上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說(shuō)明：1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用例3（04年浙江）設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求證數(shù)列an為等比數(shù)列。解: ()由,得 又,即,得. ()當(dāng)n>1時(shí), 得所以是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.例4、（04年重慶）設(shè)a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n

8、=1,2-)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)的和Sn。解：（I）因故bn是公比為的等比數(shù)列，且 （II）由注意到可得記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，則例5在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，求的通項(xiàng)公式。解：（1）（2）的對(duì)稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=（3），T中最大數(shù).設(shè)公差為，則，由此得說(shuō)明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，

9、難度較大（1）、（2）兩問(wèn)運(yùn)用幾何知識(shí)算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。例6數(shù)列中，且滿足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時(shí)，故 （3）若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題。.五、強(qiáng)化訓(xùn)練（一）用基本量方法解題1、（04年浙江）已知等差數(shù)列的公差為2，若a1,a3,a4成等比數(shù)列，則a2= （B ）A 4 B 6 C 8 D 1

10、0 （二）用賦值法解題2、（96年）等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（C ） A 130 B 170 C 210 D 2603、（01年）設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列， Sn是an的前n項(xiàng)和,若Sn是等差數(shù)列，則q=_1_4、設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)的和Sn= （對(duì)于所有n1），且a4=54,則a1=_2_（三）用整體化方法解題5、（00年）已知等差數(shù)列an滿足a1+a2+a3+a101=0,則有（C ） A a1+a101>0 B a2+a100<0 C a3+a99=0 D a51=516、（02年）若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為34，最后3項(xiàng)的和為146

11、，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（A） A 13 B 12 C 11 D 107、（03年上海）在等差數(shù)列an中a5=3，a6=-2,a4+a5+a10=-49（四）用函數(shù)方法解題 8、（04年天津）已知數(shù)列an,那么“對(duì)任意的nN+,點(diǎn)Pn(n ,an)都在直線y=x+1上”是“an為等差數(shù)列”的（ B）A必要條件 B 充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件9、（99年上海）已知等差數(shù)列an滿足3a4=7a7,且a1>0,Sn是an的前n項(xiàng)和，Sn取得最大值，則n=_9_.10、（01年上海）已知數(shù)列an中an=2n-7,(nN+),+-+=_153_ （五）用遞推

12、方法解題11、（03年全國(guó)）設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通項(xiàng)公式是_1/n12、（04年全國(guó)）已知數(shù)列an滿足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1 (n>1),則an的通項(xiàng)an=_a1=1;an=n2 13、（04年北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_(kāi)3_，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為_(kāi)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，14. （04年全國(guó)）已知數(shù)列an中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，。(1)求a3,a5； （2）求an的通項(xiàng)公式解：（I）a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3