滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)-代數(shù)方程及其應(yīng)用-教師版

1、主課題：代數(shù)方程及其應(yīng)用（二）教學(xué)目標(biāo):1、 會(huì)解無理方程，領(lǐng)會(huì)無理方程“有理化”的化歸思想。2、 會(huì)用代入消元法和因式分解法解二元二次方程組。3、 會(huì)根據(jù)實(shí)際問題列方程（組）解應(yīng)用題。教學(xué)重點(diǎn):特殊的高次方程的解法和簡(jiǎn)單的分式方程、無理方程、二元二次方程組的解法，以及有關(guān)方程（組）的基本應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn):分式方程的換元法以及對(duì)分式方程和無理方程有可能產(chǎn)生增根的理解和根據(jù)實(shí)際問題列方程解應(yīng)用題?？键c(diǎn)及考試要求:分式方程、無理方程、二元二次方程組的解法。利用代數(shù)方程（一元二次方程，分式方程（組），無理方程，二元二次方程組） 解應(yīng)用題。 能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。代數(shù)方程及其應(yīng)用（二）知識(shí)

2、精要一、特殊的高次方程的解法（1）二項(xiàng)方程axn b 0（a 0,b 0）的解法二項(xiàng)方程的定義:如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另外一邊是零，那么這樣的方程叫做二項(xiàng)方程。關(guān)于x的一元n次二項(xiàng)方程的一般形式是axn b 0(a 0, b0,n 是正整數(shù))二項(xiàng)方程的解法及根的情況：一般地，二項(xiàng)方程 axn b 0(a 0,b 0)可變形為可見，解一元n次二項(xiàng)方程，可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)已知數(shù)的n次方根，運(yùn)用開方運(yùn)算可以求出這個(gè)方程的根。二項(xiàng)方程的根的情況：對(duì)于二項(xiàng)方程axn b 0(a 0, b 0),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程只有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果ab 0,那么方程有

3、兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)；如 果ab 0,那么方程沒有實(shí)數(shù)根。(2)雙二次方程的解法雙二次方程的定義：只含有偶數(shù)次項(xiàng)的一元四次方程，叫做雙二次方程。關(guān)于x的雙二次方程的一般形式是ax4 bx2 c 0(a 0)雙二次方程的解法：4 2可以用“換元法”解形如ax bx c 0(a 0，b 0，c 0)的雙二次方程。就是用y代替方程中的x2,同時(shí)用y2代替x4,將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y的一元二次方程2ay +by+c=0解這個(gè)關(guān)于y的一元二次方程即可。通過換元，把雙二次方程轉(zhuǎn)化為一元方程體現(xiàn)了 “降次”的策略。二、無理方程的解法解無理方程的基本思路是把無理方程化為有理方程，通常采用“兩邊平

4、方”的方法解。對(duì)有些特殊的無理方程，可以用“換元法”解。解無理方程一定要驗(yàn)根！1 .只有一個(gè)含未知數(shù)根式的無理方程當(dāng)方程中只有一個(gè)含未知數(shù)的二次根式時(shí)，可先把方程變形，使這個(gè)二次根式單獨(dú)在一邊；然后方程的兩邊同時(shí)平方，將這個(gè)方程化為有理方程。2 .有兩個(gè)含未知數(shù)根式的無理方程當(dāng)方程中有兩個(gè)含未知數(shù)的二次根式時(shí)，可先把方程變形，使一個(gè)二次根式單獨(dú)在一邊，另外一個(gè)二次根式在方程的另一邊；然后方程的兩邊同時(shí)平方，將這個(gè)方程化為有理方程。三、列方程(組)解應(yīng)用題列方程解應(yīng)用題是初中代數(shù)的難點(diǎn)之一，主要涉及到行程問題中的追及、相遇問題，工程問題，濃度問題，存款利率問題，分配問題，數(shù)字問題等。1 .列方程

5、解應(yīng)用題的一般步驟是：(1)審題：透徹理解題意，明確哪些是已知數(shù)，哪些是未知數(shù)，以及它們之間的關(guān)系。(2)設(shè)未知數(shù)：根據(jù)題意，可直接設(shè)未知數(shù)，也可間接設(shè)未知數(shù)，未知數(shù)必須寫明單 位，語言敘述要完整。(3)列代數(shù)式和方程：根據(jù)題中給出的條件，用含有所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未 知數(shù)，利用等量關(guān)系，列出方程或方程組，一般列方程的個(gè)數(shù)與所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同。(4)解方程或方程組應(yīng)注意解題技巧，準(zhǔn)確地求出方程或方程組的解。(5)檢驗(yàn)答案：解應(yīng)用題要檢驗(yàn)有無增根，又要檢驗(yàn)是否符合題意，最后做出符合題目要求的答案。在這些步驟中，審題是解題的基礎(chǔ)，列方程是解題的關(guān)鍵。在列方程時(shí)，要注意列出的方程必須滿足以下

6、三個(gè)條件:(1)方程兩邊表示同類量；(2)方程兩邊的同類量的單位一樣;(3)方程兩邊的數(shù)值相等 。熱身練習(xí)2x1 .用換元法解方程 x 1為2x , y2 6y 5 0答案：x 1112 .若a, b都是正實(shí)數(shù)，且a b6xx 15 0時(shí)，可設(shè)2ab1,2.2-a b ,貝U a b _ 2=y,這時(shí)原方程變13 .若 a+b=1，且 a ： b=2 : 5,則 2a-b=- 74 .某種藥品零售價(jià)經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為降價(jià)前的81%,則平均每次降價(jià)（ A ）A. 10% B.19%C.9.5%D.20%5 .某書店把一本新書按標(biāo)價(jià)的九折出售，仍可獲利20%,若該書的進(jìn)價(jià)為21元，則標(biāo)價(jià)為（C

7、 ）A. 26 元 B . 27 元 C.28 元 D.29 元6 .為了響應(yīng)節(jié)水號(hào)召，小紅家要使200m3的水比過去多用 5個(gè)月，計(jì)劃每月比過去少用水2m3,問小紅家計(jì)劃每月用多少水？考點(diǎn)：列方程（組）解應(yīng)用題。評(píng)析：列方程（或組）解應(yīng)用題的關(guān)系是通過審題，找到等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程（組）就容易了，200 200=+5 = 一、,_ C上】一2 （其中x為原來每月的用水量）x=10m3,所以計(jì)劃每月的用水量為 8m3。精解名題例1:只有一個(gè)含未知數(shù)根式的無理方程 3 ,2x 3 x解：（1）兩邊平方，得 4 （x-3） =（x-6）2整理，得x2-16x+48=0解這個(gè)方程，得x1=4,

8、x2=12經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是增根，舍去；x=12是原方程的根。所以，原方程的根是x=12（2）原方程可變形為3 x J2x 3兩邊平方，得 （3-x）2=2x-3整理，得x2-8x+12=0解得x1=2, x2=6經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的根；x=6是增根，舍去。所以，原方程的根是 x=2例2.有兩個(gè)含未知數(shù)根式的無理方程當(dāng)方程中有兩個(gè)含未知數(shù)的二次根式時(shí)，可先把方程變形，使一個(gè)二次根式單獨(dú)在一邊,另外一個(gè)二次根式在方程的另一邊；然后方程的兩邊同時(shí)平方，將這個(gè)方程化為有理方程。解下列方程：(1) Jx2 2 %，2x 10(2)，2x 41解：(1)原方程可變形為x2P2 22x1兩邊平方，得x2

9、-2=2x+1整理，得x2-2x-3=0解得x1=-1,x2=3經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。所以，原方程的根是x=3(2原方程通過變形，平方，化簡(jiǎn)，整理后得2x2 24x 8 0解方程得：x1二4,x2=20，經(jīng)檢驗(yàn)得x=4是方程的增根，故原方程的解為x=20例3.適宜用換元法解的無理方程如果無理方程中，二次根式里面的未知項(xiàng)和二次根式外面的未知項(xiàng)相同，可以使用換元法來解。解方程 2.x2 2x 4 3x2 6x 4解：設(shè)“I 2x 4=y,則 3x2-6x+12=3y 2 ,則 3x2-6x=3y2-12原方程化為2y=3y2-12+4整理，得 3y2-2y-8=04解得

10、y1=2, y2= 3當(dāng) y=2 時(shí)，"x 2x 4 =2, x 2x 4 =4 ,解得 x=0 或 x=2;y= 4時(shí)，Jx2 2x 4= 4,次方程無解。3 3經(jīng)檢驗(yàn)，x=0, x=2都是原方程的根。所以，原方程的根是x1=0, x2=2例4.列方程解應(yīng)用題1） . 一般行程問題某人駕車從A地到B地，出發(fā)2小時(shí)后，車子出了點(diǎn)毛病，耽擱半小時(shí)修好了車， 為了 彌補(bǔ)耽擱的時(shí)間，他將車速增加到原來的 1.6倍，結(jié)果按時(shí)到達(dá)。已知 A B兩點(diǎn)的距離為 100千米，求某人原來駕車的速度。解設(shè)原來的車速為x千米/小時(shí)，則修好車后的速度為 1.6x千米/小時(shí)，前后兩段的 距離分別為2x千米，（

11、100 2x）千米，依題意得解得x=30 （檢驗(yàn)、答省略，下同）2） .航行問題已知兩城市之間的距離為 2080千米，一架飛機(jī)飛行于這兩城市之間，順風(fēng)飛行需要的時(shí)間比逆風(fēng)飛行需要的時(shí)間少20分鐘，已知飛機(jī)無風(fēng)時(shí)的飛行速度為500千米/小時(shí)。若風(fēng)速為某一確定值，求出風(fēng)的速度。解設(shè)風(fēng)的速度為x千米/小時(shí)，則飛機(jī)順風(fēng)飛行速度為（500+x）千米/小時(shí)，逆風(fēng)的速度為（500-x）千米/小時(shí)，依題意得解得 xi=20, X2= 12500 （舍去）3）、工程問題甲、乙兩人共同打印文件，甲共打 1800個(gè)字，乙共打2000個(gè)字，已知乙的工作效率比 甲高25%,完成任務(wù)的時(shí)間比甲少5分鐘，問甲、乙二人各花了

12、多少時(shí)間完成任務(wù)？解 設(shè)甲所用的時(shí)間為 x分鐘，則乙所用的時(shí)間為（x-5）分鐘，依題意得解得x=45 那么x 5=404） .分配問題將總長為400米的鐵絲截成 A、B兩種長度的鐵絲段，A種比B種每根長0.5米，如果 先截40根A種的，剩余的部分截成 B種的，則兩種根數(shù)之和比把鐵絲全部截成 A種的多30 根（以上截法恰好用完這 400米鐵絲），求A、B兩種鐵絲段每根的長度。解設(shè)A種每根長為x米，則B種每根長為（x 0.5）米，依題意得400-40rH 二4004-30解得其1 = 25盯（舍去）5） .數(shù)字問題一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分母加 1,則分?jǐn)?shù)等于1/11,如果分子加1,則分?jǐn)?shù)等于1/7,求這

13、個(gè)分?jǐn)?shù)。解設(shè)這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為 x,分子為V,依題意得x = 2尸=2上，* 解得>+ L 1-一Z 7故這個(gè)貨數(shù)是6k .、一一 .當(dāng)X 1時(shí)，-1,則k 9。 當(dāng)k 3, 6, 9時(shí)，萬程無解。3X 6).工程進(jìn)度問題某工程由甲、乙兩隊(duì)合做 6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)共 8700元，乙、丙兩隊(duì)合做210天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)共 9500元，甲、丙兩隊(duì)合做 5天完成全部工程的5 ,廠家 需付甲、丙兩隊(duì)共 5500元。(1)求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超過15天完成全部工程，問可由哪隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少?請(qǐng)說明理由。分析：此題是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)

14、單的生產(chǎn)問題，這也是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的。第一問是工程問題，工程問題中有三個(gè)量：工作總量，工作效率，工作時(shí)間，這三個(gè)量 之間的關(guān)系是：工作總量 =工作效率作時(shí)間。第二問只要求出每天應(yīng)各付甲、乙、丙各隊(duì)多少錢，并由第一問求出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需的天數(shù)，即可求出在規(guī)定時(shí)間內(nèi)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程哪個(gè)隊(duì)花錢最少。解：(1)設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做x天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 y天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做 z天完成 fl L 1由題意可得:x y 61 1 1 一十一二一胃1U112 1解這個(gè)方程組得: = 10 尸=15 z-30L經(jīng)檢驗(yàn)此解是所列方程組的解答：甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 15天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做 3

15、0天完成。(2)設(shè)付給甲隊(duì)一天=8700roe *。)= 93005g + c) = 5500La元，付給乙隊(duì)一天b元，付給丙隊(duì)一天 c元。解這個(gè)方程組得度=配口5 = 6%c = 300，不能用丙隊(duì),又規(guī)定時(shí)間要求不超過15天10a=8000 (元)15b=9750答：由甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少。鞏固練習(xí)：1. Jx 5 2x x 72；解(Jx 5)2(2，2x 7)2,x 5 4 4<12x7 2x 7(8 x)2 (452x 7)2x2 48x 176 0(x 4)(x 44)0.x1 4, x2 44 .經(jīng)檢驗(yàn)知：x=44是增根，x=4是原方程的根2. A、B兩地間的路程為1

16、5千米，早晨6時(shí)整，甲從A地出發(fā)步行前往 B地，20分鐘后， 乙從B地出發(fā)騎車前往 A地，乙到達(dá)A地后彳留40分鐘，然后騎車按原路原速返回，結(jié) 果甲、乙兩人同時(shí)到達(dá) B地，如果乙騎車比甲步行每小時(shí)多走10千米，問幾點(diǎn)鐘甲，乙兩人同時(shí)到達(dá)B地？分析：此題是行程問題，行程問題中有三個(gè)基本量：速度、時(shí)間、路程，并且路程=速度刈寸間。此題若間接設(shè)元，設(shè)甲步行每小時(shí)走x千米，乙騎自行車每小時(shí)走（x+10）千米，又已知AB兩地路程為15千米，則可利用甲乙所用的時(shí)間找等量關(guān)系。解：設(shè)甲步行每小時(shí)走 x千米，則乙騎車每小時(shí)走（x+10）千米3Q 15由題意得：又+10+1=入整理得：x2+25x-150=0解

17、這個(gè)方程得：x1=5,x2=-30經(jīng)檢驗(yàn)：x1=5,x2=-30都是所列方程的根，但x=-30不合題意舍去x=5這時(shí)15寸=3 （小時(shí)）答：上午9點(diǎn)整，甲、乙兩人同時(shí)到達(dá) B地。自我測(cè)試1 .某市對(duì)一段全長 1500 米的道路進(jìn)行改造.原計(jì)劃每天修米，為了盡量減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)，每天修路比原計(jì)劃的 2倍還多35米，那么修這條路實(shí)際用了 天.答案：2 .為了幫助四川地震災(zāi)區(qū)重建家園，某學(xué)校號(hào)召師生自愿捐款.第一次捐款總額為20000元，第二次捐款總額為 56000元，已知第二次捐款人數(shù)是第一次的2倍，而且人均捐款額比第一次多20元.求第一次捐款的人數(shù)是多少？若設(shè)第一次捐款

18、的人數(shù)為,則根據(jù)題意可列方程為答案：3 .在“5 12”汶川大地震的“抗震救災(zāi)”中，某部隊(duì)接受了搶修映秀到汶川的“213”國道的任務(wù).需要整修的路段長為4800m,為了加快搶修進(jìn)度，獲得搶救傷員的時(shí)間，該部隊(duì)實(shí)際工作效率比原計(jì)劃提高了20%結(jié)果提前2小時(shí)完成任務(wù)，求原計(jì)劃每小時(shí)搶修的路線長度.解：設(shè)原計(jì)劃每小時(shí)搶修的路線長為 題意，得是原方程的解，且符合題的實(shí)際意義.答：原計(jì)劃每小時(shí)搶修的路線長為400m4 . A B兩地相距80千米，一輛公共汽車從 A地出發(fā)，開往B地，2小時(shí)后，又從 A地同方向開出一輛小汽車，小汽車的速度是公共汽車的3倍，結(jié)果小汽車比公共汽車早40分鐘到達(dá)B地，求兩種車的速

19、度。解：設(shè)公共汽車的速度為 x千米/時(shí)，則小汽車速度為3x千米/時(shí)80_3_40 = 80依題意，得多"血一五.解之,得x=20經(jīng)檢驗(yàn):x=20是所列方程的解,3x=60答：公共汽車速度為 20千米/時(shí),小汽車速度為60千米/時(shí)。5 .甲、乙兩車同時(shí)從 A地出發(fā)，經(jīng)過 C地去B地，已知C、B相距180千米，出發(fā)時(shí)，甲每 小時(shí)比乙多行5千米，因此，乙經(jīng)過 C地比甲晚半小時(shí)， 為趕上甲，乙從 C地將車速每小時(shí) 增加10千米，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá) B,求兩車出發(fā)時(shí)速度？分析：解決此題的關(guān)鍵是：從C地到B地，甲比乙多走半小時(shí)。解：設(shè)乙速為x千米/時(shí)。則甲速為(x+5)千米/時(shí)180 間 J.工+5-冥十10=2 整理得：x2+15x-1750=0解這個(gè)方程：x1=35, x2=-50經(jīng)檢驗(yàn)：x1=35,x2=-50都是所列方程的根但x=-50不合題意，舍去x=35-x+5=35+5=40答：甲出發(fā)日速度為 40千米/時(shí)，乙出發(fā)時(shí)速度為 35千米/時(shí)。6.甲乙兩人分別從 A B兩地同時(shí)同向出發(fā)，甲經(jīng)過 B地后，再經(jīng)過 3小時(shí)12分在C地追上乙，這時(shí)兩人所走的路程和為36千米，而A、C兩地的距離等于乙走 5小時(shí)的路程，求A B兩地的距離？分析：此題間接設(shè)元比較方便，如可設(shè)甲、乙兩人速度分別為x千米/時(shí)，y千米/時(shí),可以利用“兩人所走的路程和為 36千