立體幾何中的向量方法(理答案)

1、立體幾何中的向量方法專項能力提升1.已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1).若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為()A.1,2B.1，2 C.1,2D.1，2解析由已知得c(m4，m2n4，mn1)，故a·c3mn10，b·cm5n90. 解得2.已知平面ABC，點M是空間任意一點，點M滿足條件，則直線AM()A.與平面ABC平行 B.是平面ABC的斜線 C.是平面ABC的垂線D.在平面ABC內(nèi)解析由已知得M、A、B、C四點共面.所以AM在平面ABC內(nèi)，選D.3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點，O為底面

2、正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點，點Q為平面ABCD內(nèi)一點，線段D1Q與OP互相平分，則滿足的實數(shù)有_個.解析建立如圖的坐標系，設(shè)正方體的邊長為2，則P(x，y,2)，O(1,1,0)， OP的中點坐標為，又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即點P坐標滿足xy1.有2個符合題意的點P，即對應(yīng)有2個. 4.如圖所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90°，且ABAA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點.求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.證明(1)如圖建立空間直角坐標

3、系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4).取AB中點為N，連接CN， 則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0). ·(2)×22×(2)(4)×(2)0， ·(2)×22×2(4)×00.，即B1FEF，B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.5.在四棱錐PABCD中，PD

4、底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E、F分別是AB、PB的中點.(1)求證：EFCD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論.(1)證明如圖，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建 立空間直角坐標系，設(shè)ADa，則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.，(0，a,0).·0，即EFCD.(2)解設(shè)G(x,0，z)，則，若使GF平面PCB，則由··(a,0,0)a0，得x；由··(0，a，a)a0，得z0.G點坐標為，即G點為AD的中點.題型

5、解決探索性問題例3(2012·福建)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1， E為CD的中點.(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由.思維啟迪利用向量法建立空間直角坐標系，將幾何問題進行轉(zhuǎn)化；對于存在性問題可通過計算下結(jié)論.(1)證明以A為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖).設(shè)ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.·×01×1(1)

6、15;10，B1EAD1.(2)解假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0，z0).使得DP平面B1AE，此時(0，1，z0).又設(shè)平面B1AE的法向量n(x，y，z).n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一個法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在點P，滿足DP平面B1AE，此時AP.典例：(12分)(2012·湖南)如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90°，E是CD的中點.(1)證明：CD平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相

7、等，求四棱錐PABCD的體積.規(guī)范解答如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.設(shè)PAh，則A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h).2分(1)證明易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h).因為·8800，·0，4分所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.5分(2)解由題設(shè)和(1)知，分別是平面PAE，平面ABCD的法向量.6分而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，所以|cos，|cos

8、，|，即.8分由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故.解得h.10分又梯形ABCD的面積為S×(53)×416，所以四棱錐PABCD的體積為V×S×PA×16×.12分立體幾何中的向量方法(二)求空間角1.已知二面角l的大小是，m，n是異面直線，且m，n，則m，n所成的角為() A.B.C.D.解析m，n，異面直線m，n所成的角的補角與二面角l互補.又異面直線所成角的范圍為(0，m，n所成的角為.2.若平面的一個法向量為n(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a(2，3,3)，則l與所成角的正弦值為_.答案解

9、析n·a8338，|n|3，|a|，cosn，a.又l與所成角記為，即sin |cosn，a|.3. P是二面角AB棱上的一點，分別在平面、上引射線PM、PN，如果BPMBPN45°，MPN60°，那么二面角AB的大小為_.答案90°解析不妨設(shè)PMa，PNb，如圖，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45°，PEa，PFb，·()·()····abcos 60°a×bcos 45°abcos 45°a×b0，二面角AB的大小為90

10、°.題型二求直線與平面所成的角例2如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點.(1)證明：PEBC；(2)若APBADB60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.(1)證明以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長度，建立空間直角坐標系(如圖)，則A(1,0,0)，B(0,1,0).設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n) (m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0).因為·00，所以PEBC.(2)解由已知條件可得m，n1，故C，D，

11、E， P(0,0,1).設(shè)n(x，y，z)為平面PEH的法向量， 則即因此可以取n(1，0).又(1,0，1)，所以|cos，n|.所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.(2013·湖南)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.(1)證明易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空 間直角坐標系.設(shè)ABt，則相關(guān)各點的坐標為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3

12、)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因為ACBD，所以·t2300， 解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)， 因為·3300，所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)， (0,1,0).設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則，即令x1，則n(1，).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin |cosn，|.即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.題型三求二面角例3(2013·課標全國)如圖，直三棱柱ABC

13、A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1ACCBAB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值.思維啟迪根據(jù)題意知ACB90°，故CA、CB、CC1兩兩垂直，可以C為原點建立空間直角坐標系，利用向量求二面角.(1)證明連接AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點.又D是AB的中點，連接DF，則BC1DF.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由ACCBAB得，ACBC.以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.設(shè)CA2，則D(1,1,0)，

14、E(0,2,1)，A1(2,0,2)， (1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2).設(shè)n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n(1，1，1).同理，設(shè)m是平面A1CE的法向量，則可取m(2,1，2).從而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值為.專項訓(xùn)練一、選擇題1.(2013·山東)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形.若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為 ()A.B.C.D.解析如圖所示：SABC×××sin 60°.SABC×

15、OP×OP，OP.又OA××1，tanOAP，又0<OAP<，OAP.2.過正方形ABCD的頂點A作線段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為()A.30°B.45°C.60°D.90°解析建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)ABPA1，知A(0,0,0)，B(1，0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1) 由題意得，AD平面ABP，設(shè)E為PD的中點，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，AECD，又PDCDD，AE平面CDP.(0,1,0)，(0，)分別是平面AB

16、P、平面CDP的法向量，而，45°，平面ABP與平面CDP所成的二面角為45°.3在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中點，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于_.答案解析以D為原點，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，F(xiàn)(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，(1,0,2)， (1,1,1)，cos，.4.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求證：BD

17、平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小.(1)證明如圖，建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0).·0，·0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD平面PAC.(2)解設(shè)平面ABD的法向量為m(0,0,1)，平面PBD的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0.(2，0,3)，解得令x，則n(，3,2)，cosm，n.二面角PBDA的大小為60°.5.(2013·北京)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1

18、C是邊長為4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求證：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)證明：在線段BC1上存在點D，使得ADA1B，并求的值.(1)證明在正方形AA1C1C中，A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面ABC.(2)解在ABC中，AC4，AB3，BC5，BC2AC2AB2，ABAC以A為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)xyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，(4,0,0)，(0,3，4)，(4，3,0)，(0,0,4).設(shè)平面A1

19、BC1的法向量n1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2(x2，y2，z2). 取向量n1(0,4,3)由取向量n2(3,4,0)cos n1，n2.由題意知二面角A1BC1B1為銳角，所以二面角A1BC1B1的余弦值為.(3)證明設(shè)D(x，y，z)是直線BC1上一點，且.(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4.(4，33，4)又ADA1B，03(33)160則，因此.6.(2013·天津)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點.(1)證明：B1C1CE；(2)求二面角

20、B1CEC1的正弦值；(3)設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長. 方法一如圖，以點A為原點，以AD，AA1，AB所在直線為x軸，y 軸，z軸建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0).(1)證明易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是·0， 所以B1C1CE.(2)解(1，2，1). 設(shè)平面B1CE的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個法向量為m(3，2,1).由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1