大一高等數(shù)學(xué)教材2-6

1、精選ppt一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :.)(稱稱為為隱隱函函數(shù)數(shù)由由方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)xyy .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).精選ppt例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,

2、yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 精選ppt例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點(diǎn)點(diǎn)在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點(diǎn)點(diǎn)上上求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點(diǎn)顯然通過原點(diǎn).精選ppt例例3 3.)1 , 0(, 144處處的的值值在在

3、點(diǎn)點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求求導(dǎo)導(dǎo)得得兩兩邊邊再再對對將將方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy精選ppt二、對數(shù)求導(dǎo)法二、對數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和

4、冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu精選ppt例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)精選ppt例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 精選ppt一般地一般地)0

5、)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 精選ppt三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t精選ppt

6、),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可導(dǎo)導(dǎo)再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 精選ppt,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即精選ppt例例6 6解解dtdxdtdydxd

7、y ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處處的的切切線線在在求求擺擺線線2)cos1()sin( ttayttax精選ppt.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即精選ppt例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)方向炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻求求其運(yùn)動(dòng)方程為其運(yùn)動(dòng)方程為發(fā)射炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計(jì)空氣的阻力不計(jì)空氣的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可

8、由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時(shí)刻的切線方向時(shí)刻的切線方向軌跡在軌跡在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在在tt精選ppt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時(shí)刻沿時(shí)刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時(shí)刻炮彈的速度為時(shí)刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 精選ppt例例8 8解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)

9、數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 精選ppt四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率.,)()(變化率稱為相關(guān)變化率變化率稱為相關(guān)變化率這樣兩個(gè)相互依賴的這樣兩個(gè)相互依賴的之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題:

10、 :已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率?精選ppt例例9 9解解?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角增增加加米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升, ht500tanh 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)h)/(14. 0分分弧弧度度 dtd 仰

11、角增加率仰角增加率 米米500米米500精選ppt例例1010解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小時(shí)時(shí)上上升升幾幾米米米米時(shí)時(shí)問問水水深深的的水水槽槽頂頂角角為為米米形形狀狀是是長長為為水水庫庫秒秒的的體體流流量量流流入入水水庫庫中中米米河河水水以以則則水庫內(nèi)水量為水庫內(nèi)水量為水深為水深為設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻),(),(tVtht234000)(htV 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhhdtdV 38000,/288003小小時(shí)時(shí)米米 dtdV小小時(shí)時(shí)米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) h精選ppt五、小結(jié)五、小結(jié)隱

12、函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo);對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法: : 對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率相關(guān)變化率: : 通過函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的通過函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的變化率變化率; ; 解法解法: : 通過建立兩者之間的關(guān)系通過建立兩者之間的關(guān)系, , 用鏈用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解式求導(dǎo)法求解. .精選ppt思考題思考題設(shè)設(shè) )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對對嗎嗎

13、？精選ppt思考題解答思考題解答不對不對 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 精選ppt一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)01552223 yxyyxx確定了確定了y是是x的函的函數(shù)，則數(shù)，則)1 , 1(dxdy=_=_， 22dxyd_._.2 2、 曲線曲線733 xyyx在點(diǎn)在點(diǎn)（1 1，2 2）處的切線方程）處的切線方程是是_._.3 3、 曲線曲線 ttyttxsincos在在2 t處的法線方程處的法線方程_._.4 4、 已知已知 teytexttsincos, ,則則dxdy=_=_；3 tdxdy=_.=_.5 5、 設(shè)設(shè)yxexy , ,則則d

14、xdy=_.=_.練練 習(xí)習(xí) 題題精選ppt二二、 求求下下列列方方程程所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù) y y 的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、 )tan(yxy ；3 3、 yxxy )00( yx，. .三三、 用用對對數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1()3(2 xxxy；3 3、 xexxy 1sin. .精選ppt四、四、 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd：1 1、 tbytaxsincos ；2 2、 )()()(tftf tytfx 設(shè)設(shè)

15、)(tf 存在且不為零存在且不為零 . .五、五、 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程 ttytxarctan)1ln(2所確定的函數(shù)的所確定的函數(shù)的 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)33dxyd . .六、設(shè)六、設(shè))(xf滿足滿足xxfxf3)1(2)( ，求，求)(xf . .精選ppt七、七、 在中午十二點(diǎn)正甲船的在中午十二點(diǎn)正甲船的 6 6 公里公里/ /小時(shí)的速率向小時(shí)的速率向東行駛，乙船在甲船之北東行駛，乙船在甲船之北 1616 公里，以公里，以 8 8 公里公里/ /小小時(shí)的速率向南行駛， 問下午一點(diǎn)正兩船相距的速時(shí)的速率向南行駛， 問下午一點(diǎn)正兩船相距的速率為多少？率為多少？ 八、八、 水注入深水注入深8 8 米， 上頂直徑米， 上頂直徑8 8 米的正圓錐形容器中，米的正圓錐形容器中，其速率為每分鐘其速率為每分鐘 4 4 立方米，當(dāng)水深為立方米，當(dāng)水深為 5 5 米時(shí)，其米時(shí)，其表面上升的速率為多少？表面上升的速率為多少？ 精選ppt一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232yxcyx