超越復(fù)數(shù)的多元數(shù)

1、超越復(fù)數(shù)的多元數(shù)（一）從復(fù)平面到多維數(shù)空間白爍星河北省武安市駢山中學(xué)韓江燕摘要：本文從清晰、簡明的解析原理出發(fā)，利用數(shù)形合一的數(shù)學(xué)思想，建立了元數(shù)、無窮元數(shù)等高維空間數(shù)系理論。作者在文中以三元數(shù)理論為基礎(chǔ)，依次闡述了四元數(shù)等多元數(shù)運算的一般法則及重要性質(zhì)，并給出以下有趣結(jié)論：一、一般地，一個多元數(shù)的次方根有個，分布在多維數(shù)空間中超數(shù)平面的一個圓上；二、任一給定多元數(shù)可求其指數(shù)函數(shù)。特別地，歐拉公式是多元數(shù)理論中的特例；三、如果實系數(shù)一元次代數(shù)方程在復(fù)平面上有個實數(shù)根，對虛根，那么，在多維數(shù)空間中，該方程有且僅有個實數(shù)根和個超球面（或球面）的非實數(shù)根。關(guān)鍵詞：三元數(shù)；四元數(shù); 元數(shù)；無窮元數(shù)；多

2、元數(shù)；數(shù)平面;數(shù)空間;根;方程中圖分類號：0153.5   泛代數(shù)一、引言復(fù)數(shù)運算實際等同于平面上一種點的演算體系，從超越復(fù)數(shù)的三元數(shù)中可以獲悉，超越復(fù)數(shù)的三維空間數(shù)系也是存在的，每一個三元數(shù)可以一一對應(yīng)于三維數(shù)空間中的一個點或一個起點在原點的向量。人們自然會提出下述問題：超越三維數(shù)空間的多維空間數(shù)系是否存在？如存在，在更高維的空間數(shù)系中，新數(shù)又將滿足什么樣的運算規(guī)律？新數(shù)系與復(fù)數(shù)的關(guān)系如何？本篇論文以三元數(shù)理論為基礎(chǔ)，首先將數(shù)系推廣至四元數(shù)，然后對多元數(shù)理論作簡要概述，嘗試對上述問題逐一作出解答。二、四元數(shù)的概念與表示法1.四元數(shù)的概念1.1 定義   

3、;   1.2 四元數(shù)  形如的數(shù)叫做四元數(shù)。四元數(shù)通常用一個字母來表示，即全體四元數(shù)構(gòu)成的數(shù)集叫做四元數(shù)集，亦稱四維數(shù)空間，用帶上標(biāo)的字母來表示。1.3 四元數(shù)相等的條件若 （則 特別地，1.4 四維數(shù)空間建立了空間直角坐標(biāo)系來表示三元數(shù)的空間叫做三維數(shù)空間，超越三維數(shù)空間到多維數(shù)空間后，采用下述定義：全體元數(shù)所構(gòu)成的數(shù)集，稱為元數(shù)集，亦稱維數(shù)空間，用帶上標(biāo)的字母來表示，其中每一個元數(shù)一一對應(yīng)于一個維數(shù)組，稱為維數(shù)空間中的一個點。于是：實數(shù)實軸上的點；復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)點；三元數(shù)三維數(shù)空間內(nèi)點四元數(shù)四維數(shù)空間內(nèi)點元數(shù)維數(shù)空間內(nèi)點（一個維數(shù)組）2.四元數(shù)的表示2.1 四元數(shù)的代數(shù)

4、形式四元數(shù)叫做四元數(shù)的代數(shù)形式。2.2 四元數(shù)的幾何表示四元數(shù)的點表示   四維數(shù)空間內(nèi)的點表示四元數(shù)。四元數(shù)的向量表示   四元數(shù)可以用向量來表示，與實數(shù)對應(yīng)的點稱作多維數(shù)空間的原點，實數(shù)與零向量對應(yīng)（四元數(shù)集與四維數(shù)空間內(nèi)所有以原點為起點的向量所組成的集合一一對應(yīng)），即：四元數(shù)四維數(shù)空間內(nèi)向量2.3 四元數(shù)的三角形式四元數(shù)的模  與四元數(shù)對應(yīng)的向量的模（即有向線段的長度）叫做四元數(shù)的模（或絕對值）。定義：四元數(shù)模的幾何意義是：四元數(shù)在四維數(shù)空間內(nèi)對應(yīng)的點到原點的距離。三元數(shù)的輻角與傾角   三維數(shù)空間可看作復(fù)平面繞軸旋轉(zhuǎn)

5、而成，軸與空間點可唯一確定一個平面，該平面與復(fù)平面的夾角稱三元數(shù)的傾角，平面稱傾角為的數(shù)平面。特別地，復(fù)平面是傾角為的數(shù)平面，無數(shù)個數(shù)平面形成了三維數(shù)空間。當(dāng)點落在軸上時，傾角值不定，也就是說：實數(shù)的傾角值不定。以軸的正半軸為始邊，向量所在的射線（起點是）為終邊的角，叫做三元數(shù)的輻角，記做。輻角的主值   在區(qū)間內(nèi)的輻角的值，叫做輻角的主值，記作,即 。非三元數(shù)的輻角有無限多個值，但輻角的主值只有一個，實數(shù)的輻角不定。四元數(shù)的三角形式及四維數(shù)空間          三元數(shù)叫做三元數(shù)的三

6、角形式，確定了三元數(shù)所在的數(shù)平面在三維數(shù)空間中的位置，稱為三元數(shù)的代數(shù)傾角，相應(yīng)又稱三元數(shù)的幾何傾角。四元數(shù)，叫做四元數(shù)的三角形式，其中稱為四元數(shù)的輻角，確定了四元數(shù)所在的超數(shù)平面在四維數(shù)空間中的位置，稱為四元數(shù)的傾角。時，據(jù)，得到：，取,則有：=，顯然，三元數(shù)的代數(shù)傾角是四元數(shù)傾角的特例。由高等幾何知，取為自由變量，對于一組給定的，確實可以表示一個四維數(shù)空間里的二維平面。四維數(shù)空間可看作由無數(shù)個超數(shù)平面所組成,一般取為自由變量，如果允許也自由變動，就可以得到四維數(shù)空間內(nèi)的每一個點，亦即可以得到整個的四維數(shù)空間。比較與可知，超數(shù)平面上的點與復(fù)平面上的點存在一一對應(yīng)關(guān)系，所以超數(shù)平面與復(fù)平面具有

7、一樣多的點，復(fù)平面是超數(shù)平面的特例，此時。說明:多元數(shù)的代數(shù)形式是唯一的,但三角形式不是唯一的三元數(shù)的代數(shù)形式與相對應(yīng)的三角形式的互化公式：；求：；求：由點的所在象限及共同確定（一般取最小正角）求：，時，；時，值不定，或例1：求的三角形式解：， 由知角在第一象限，又，得，所以的三角形式為：四元數(shù)的代數(shù)形式與相對應(yīng)的三角形式的互化公 式：；  求：；求：由點的所在象限及共同確定;求：，在三維數(shù)空間中，傾角具有直觀的幾何意義，超越三維數(shù)空間后，解出具體的有時并無必要，往往只需解出中的即可。如為實數(shù)，則，此時傾角不定，或。例2：求的三角形式解：；由知角在第一象限，又，得；，取，得：的三角形

8、式為：超越復(fù)數(shù)的多元數(shù)（二）從復(fù)平面到多維數(shù)空間白爍星河北省武安市駢山中學(xué)韓江燕三、四元數(shù)的運算四元數(shù)代數(shù)形式的運算     說明：四元數(shù)的加法與乘法滿足交換律以及乘法對加法的分配律；一般地，當(dāng)三個四元數(shù)在同一個超數(shù)平面上時，它們的乘法滿足結(jié)合律,數(shù)平面是超數(shù)平面的特例；復(fù)平面是傾角為0的數(shù)平面，所以同在復(fù)平面上的三個數(shù)總是滿足結(jié)合律；在復(fù)平面上成立的結(jié)論，在其它超數(shù)平面上也成立；兩個四元數(shù)作乘法的逆運算除法運算，可依四元數(shù)相等的定義及乘法公式求得例1：已知，求解：依定義，    例2：已知，求：解：令 則有， 即聯(lián)立方程組

9、得：  解出，所以 四元數(shù)加減法的幾何意義四元數(shù)的加法滿足平行四邊形法則，減法滿足三角形法則。一個向量對應(yīng)的四元數(shù)，等于終點對應(yīng)的四元數(shù)減去起點對應(yīng)的四元數(shù)。四元數(shù)與三元數(shù)、復(fù)數(shù)、實數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別復(fù)數(shù)是實數(shù)的擴(kuò)充,三元數(shù)是復(fù)數(shù)的擴(kuò)充,四元數(shù)是三元數(shù)的擴(kuò)充，要特別注意四元數(shù)與三元數(shù)、復(fù)數(shù)及實數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng),復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點、復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應(yīng),三元數(shù)與三維數(shù)空間內(nèi)的點、三維數(shù)空間內(nèi)以原點為起點的向量一一對應(yīng)，四元數(shù)與四維數(shù)空間內(nèi)的點、四維數(shù)空間內(nèi)以原點為起點的向量一一對應(yīng)；兩個實數(shù)可以比較大小,有關(guān)不等式的一些性質(zhì)僅限于實數(shù)集中成立；四元數(shù)的

10、模（或絕對值）是實數(shù)、復(fù)數(shù)及三元數(shù)的模（或絕對值）的擴(kuò)充,實數(shù)、復(fù)數(shù)、三元數(shù)的模是四元數(shù)模的特例，因此,四元數(shù)模的所有性質(zhì)對實數(shù)絕對值都成立,而實數(shù)絕對值的一些性質(zhì)對四元數(shù)模則不一定成立。，在為實數(shù)時表示兩個點，在為復(fù)數(shù)時表示單位圓，在為三元數(shù)時表示單位球面，在為四元數(shù)時表示單位超球面；實數(shù)集對加、減、乘、除、乘方運算封閉；復(fù)數(shù)集、三元數(shù)集、四元數(shù)集對加、減、乘、除、乘方、開方運算封閉；一元次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)集中有且僅有個根，在三元數(shù)、四元數(shù)集中，一元次代數(shù)方程可以有多于個的根，甚至有無窮多個根存在。四元數(shù)三角形式的運算1.四元數(shù)的乘方   四元數(shù)的次冪的模等于這個四元數(shù)的模

11、的次冪，它的輻角等于這個四元數(shù)的輻角的倍，而傾角不變，三元數(shù)乘方是四元數(shù)乘方的特例。 特別地，當(dāng)時得：此即復(fù)平面上的棣莫佛定理，在這里成為四元數(shù)乘方的特例。2.四元數(shù)的開方  四元數(shù)的次方根是注意：一般地（指不為實數(shù)時），四元數(shù)總有固定的傾角，這時四元數(shù)的次方根是個四元數(shù)，它們的模等于這個數(shù)的模的次算術(shù)根，它們的輻角分別等于這個數(shù)的輻角與的倍的和的分之一，而傾角不變；為實數(shù)時，傾角不定，需解參數(shù)方程： ，例1：求的平方根解：設(shè)是的平方根，依定義，即 聯(lián)立方程組得：解出即，其中。易知的平方根在三維數(shù)空間中是它的幾何意義是數(shù)空間中以原點為圓心，垂直于復(fù)平面，在平面上的

12、單位圓，其與復(fù)平面的交點恰好是與兩個點，在復(fù)平面上有且僅有兩個根，在三維數(shù)空間中卻有整整一個圓的根存在。在四維數(shù)空間中，的平方根是，這表示一個單位球面，三維數(shù)空間里的單位圓恰好包含在其中，是單位球面的一個截面。 求一個四元數(shù)的次方根，當(dāng)較大時，用四元數(shù)的三角形式求解較為簡單。 四元數(shù)開方的幾何意義一般地，四元數(shù)（指不為實數(shù)時）開次方的個根在四維數(shù)空間內(nèi)所對應(yīng)的個點均勻分布在以原點為圓心，為半徑，傾角的四維數(shù)空間中的一個圓上。當(dāng)然，當(dāng)為實數(shù)時，其次方根的幾何意義依然可利用四元數(shù)的求方根公式進(jìn)行討論，讀者不妨自行一試。四、四元數(shù)與方程1.先研究形如的一元一次方程，這里，則有依定義得四元一次方程組：

13、只需研究行列式：由線性方程組知識：當(dāng)時，方程組有唯一解，從而解方程組后可求。注意到，所以只需要求，方程組即可得解，詳細(xì)過程在此不多述。2、再來研究形如的二項方程由于四元數(shù)乘法運算一般不滿足結(jié)合律，這里必須首先明確運算順序：依實數(shù)運算規(guī)則，先乘方，后相乘。令問題轉(zhuǎn)換為：而限制，由前面知識知唯一可求。求得唯一解后，問題轉(zhuǎn)化為：，再利用四元數(shù)求方根公式即可解出。故當(dāng)時，可以順利解出形如的二項方程。3.最后來研究四維數(shù)空間里的實系數(shù)一元次代數(shù)方程實系數(shù)一元次代數(shù)方程   ,         &

14、#160;        解：據(jù)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的代數(shù)學(xué)基本定理，設(shè)方程在復(fù)平面上有個實根、對虛根，必有，方程在復(fù)平面上有且僅有個根，下面分析四維數(shù)空間的情形四維數(shù)空間可看作由無數(shù)個超數(shù)平面  所組成，給定傾角，取自由變量，即可以表示一個超數(shù)平面，顯然，不論傾角如何變化，總滿足，此時表示的其實正是實軸的方程，所以實軸（或稱軸）是所有超數(shù)平面的公共軸，四維數(shù)空間可看作由超數(shù)平面繞軸旋轉(zhuǎn)而成。不妨設(shè)復(fù)平面上的個實根分別為，, ,對虛根分別為, 注意到復(fù)平面上的點與超數(shù)平面上的點存在一一對應(yīng)關(guān)系，即有：,依題意，如果是方程的根

15、，據(jù)， 代入得           顯然，在式中將換成后,等式仍成立，即有          式表明：也是超數(shù)平面上的根，超數(shù)平面上的根與復(fù)平面上的根一一對應(yīng)，反之亦然，據(jù)、，如果不是復(fù)平面上的根，則也不是超數(shù)平面上的根，所以由復(fù)平面上根的情況完全可以確定超數(shù)平面上根的情形。當(dāng)然，在超數(shù)平面上也不可能有多于個的根，因為如果超數(shù)平面上有多余的根，則復(fù)平面上必然也會出現(xiàn)多余的根，這與復(fù)平面上的代數(shù)學(xué)基本定理相矛

16、盾，故不可能。綜上所述，在求得復(fù)平面上的所有的根后，即可求出方程在任一超數(shù)平面上的根，再允許超數(shù)平面的傾角可自由變化，便可得到方程在整個四維數(shù)空間里所有的根。超越復(fù)數(shù)的多元數(shù)（三）從復(fù)平面到多維數(shù)空間白爍星河北省武安市駢山中學(xué)韓江燕下面分兩種情況進(jìn)行討論:     方程在復(fù)平面上的個實根，, ,當(dāng)然也是其它任一超數(shù)平面上的根，實數(shù)軸是所有超數(shù)平面的公共軸，個實根，, 一一對應(yīng)于自身；     方程在復(fù)平面上的一對虛根，一一對應(yīng)于超數(shù)平面上的一對根,允許 自由變化，比較等式兩邊，得到這表示四維數(shù)空間里，半徑的一個球面

17、。據(jù)以上討論，得以下定理：定理3.1  如果實系數(shù)一元次代數(shù)方程在復(fù)平面上有個實根，, 、對虛根 , ，那么該方程在四維數(shù)空間里有且僅有個實根，, 和個球面的非實數(shù)根（推論3.2  如果實系數(shù)一元次代數(shù)方程在復(fù)平面上有且僅有個實根，那么其在四維數(shù)空間里也有且僅有個實根 推論3.3  如果實系數(shù)一元次代數(shù)方程在復(fù)平面上有且僅有對虛根 , ，那么其在四維數(shù)空間里有且僅有個球面的非實數(shù)根  特別地，在三維數(shù)空間里，球面會退化成圓，此時，方程會有且僅有個圓的非實數(shù)根。據(jù)推論，已知的平方根在復(fù)平面上為與，立即可以得出在四維數(shù)空間里，的平方根為：，這當(dāng)然表示一個單位

18、球面，在三維數(shù)空間，的平方根變成一個單位圓，亦可寫作，該單位圓是時單位球面的一個截面，與前面得出的結(jié)論完全一致。利用定理，只要求得一個四元數(shù)在復(fù)平面上的根，即可方便求出該數(shù)在四維數(shù)空間里的所有的次方根來。不僅如此，借助以上將四維數(shù)空間看作由無數(shù)個超數(shù)平面繞實軸（或軸）旋轉(zhuǎn)而成的幾何解釋，立即可以理解下述冪級數(shù)的收斂性：顯然，據(jù)冪級數(shù)在復(fù)平面上的收斂情況立可判定，由于第一個冪級數(shù)在復(fù)平面上的單位圓內(nèi)收斂，而單位圓繞軸在三維數(shù)空間里旋轉(zhuǎn)得到單位球面，在四維數(shù)空間里旋轉(zhuǎn)得到單位超球面，所以級數(shù)在四維數(shù)空間里的單位超球內(nèi)收斂，其它幾個冪級數(shù)由于在整個復(fù)平面內(nèi)收斂，所以它們在整個四維數(shù)空間里亦收斂。五、

19、四元數(shù)函數(shù)的簡單推廣通過引入定義，現(xiàn)在一般已能對兩個四元數(shù)作加、減、乘、除等四則運算，對單個的四元數(shù)可進(jìn)行乘方、開方運算，三元數(shù)、復(fù)數(shù)運算是四元數(shù)運算的特例，這都屬于初等數(shù)學(xué)中代數(shù)運算的范疇，下面對四元數(shù)函數(shù)作一簡單推廣，研究如何求得任一給定四元數(shù)的指數(shù)函數(shù)。定義：                            

20、;           先研究的指數(shù)函數(shù)，將帶入并整理得                                     

21、 可以給出嚴(yán)格的證明，在整個四維數(shù)空間內(nèi)是收斂的。令，在中即可得到此即著名的歐拉公式，這里可以從四元數(shù)理論中推導(dǎo)得出，從而是四元數(shù)理論中的一個特例。當(dāng)時，代入得：                此即求任一四元數(shù)指數(shù)函數(shù)的公式，時，取，得到三元數(shù)指數(shù)函數(shù)公式：                

22、     從四元數(shù)指數(shù)函數(shù)公式出發(fā)，利用經(jīng)典的級數(shù)定義，可自然推廣出四元數(shù)范圍內(nèi)三角、雙曲等其它四元數(shù)函數(shù)來，,，當(dāng)時，得到復(fù)變函數(shù)中的結(jié)論，三元數(shù)函數(shù)與復(fù)變函數(shù)都是四元數(shù)函數(shù)的特例。例1：已知，求解：先將化成三角形式代入公式得超越復(fù)數(shù)的多元數(shù)（四）從復(fù)平面到多維數(shù)空間白爍星河北省武安市駢山中學(xué)韓江燕六、無窮元數(shù)與元數(shù)理論概述1.無窮元數(shù)的概念1.1 定義      ，1.2無窮元數(shù)  形如，收斂為有限值，這樣的數(shù)稱為無窮元數(shù)，無窮元數(shù)通常用一個字母來表示，即    特別地，無窮元數(shù)自

23、第項以后各項均為0時，稱作元數(shù)，元數(shù)的模顯然為有限值，是無窮元數(shù)的模為有限值的特例，時，一般將寫作。元數(shù)與無窮元數(shù)統(tǒng)稱多元數(shù)。1.3無窮維數(shù)空間與維數(shù)空間全體無窮元數(shù)所構(gòu)成的數(shù)集，稱為無窮元數(shù)集，亦稱無窮維數(shù)空間，用帶上標(biāo)的字母來表示，其中每一個無窮元數(shù)一一對應(yīng)于一個無窮維數(shù)組，稱為無窮維數(shù)空間內(nèi)的一個點。全體元數(shù)所構(gòu)成的數(shù)集，稱為元數(shù)集，亦稱維數(shù)空間，用帶上標(biāo)的字母來表示，其中每一個元數(shù)一一對應(yīng)于一個維數(shù)組，稱為維數(shù)空間內(nèi)的一個點，維數(shù)空間是無窮維數(shù)空間的一部分，維數(shù)空間與無窮維數(shù)空間統(tǒng)稱多維數(shù)空間。2.無窮元數(shù)的表示2.1無窮元數(shù)的代數(shù)形式無窮元數(shù)叫做無窮元數(shù)的代數(shù)形式。2.2無窮元數(shù)的幾

24、何表示無窮元數(shù)的點表示   無窮維數(shù)空間內(nèi)的點（無窮維數(shù)組）表示無窮元數(shù)。無窮元數(shù)的向量表示  無窮元數(shù)可以用向量來表示，與實數(shù)對應(yīng)的點稱作無窮維數(shù)空間的原點，實數(shù)與零向量對應(yīng)，無窮元數(shù)集與無窮維數(shù)空間內(nèi)所有以原點為起點的向量所組成的集合一一對應(yīng)。2.3無窮元數(shù)的三角形式無窮元數(shù)的模  與無窮元數(shù)對應(yīng)的向量的模（即有向線段的長度）叫做無窮元數(shù)的模（或絕對值）。定義:        無窮元數(shù)模的幾何意義是：無窮元數(shù)在無窮維數(shù)空間內(nèi)對應(yīng)的點到原點的距離。無窮元數(shù)的三角形式無窮維數(shù)空間可看作

25、由無數(shù)個超數(shù)平面所組成，其中,為自由變量，給定一組，就可以表示一個超數(shù)平面，如果允許也自由變動，就可以得到無窮維數(shù)空間里的每一個點，亦即可以得到整個的無窮維數(shù)空間。無窮元數(shù)，叫做無窮元數(shù)的三角形式，其中稱為無窮元數(shù)的輻角，確定了無窮元數(shù)所在的超數(shù)平面在無窮維數(shù)空間里的位置，稱為無窮元數(shù)的傾角，元數(shù)傾角是無窮元數(shù)傾角的特例。例1：求無窮元數(shù)的三角形式解：由知角位于第一象限，又，,得；故無窮元數(shù)的三角形式為： 3、無窮元數(shù)的運算無窮元數(shù)的代數(shù)形式的運算兩個無窮元數(shù) 、作除法運算，可依無窮元數(shù)相等的定義與乘法公式列線性方程組求得設(shè)：，則有，即，展開得用各等式兩邊分別相加消去所有含的項得，先

26、解出：，將代回方程組，可依次解出據(jù)無窮元數(shù)模為有限值的定義，設(shè)級數(shù)級數(shù)級數(shù) 級數(shù)絕對收斂。一般地，由于兩個無窮元數(shù)作乘除運算的結(jié)果總能得到一個各項確定的無窮元數(shù)，所以其乘除運算確有意義。元數(shù)的四則運算是無窮元數(shù)的四則運算的特例。無窮元數(shù)三角形式的運算1. 無窮元數(shù)的乘方   無窮元數(shù)的次冪的模等于這個無窮元數(shù)的模的次冪，它的輻角等于這個無窮元數(shù)的輻角的倍，而傾角不變。即： 元數(shù)乘方是無窮元數(shù)乘方的特例。2.無窮元數(shù)的開方  無窮元數(shù)的次方根是無窮元數(shù)開方的幾何意義一般地，無窮元數(shù)（指不為實數(shù)時）開次方的個根所對應(yīng)的個點均勻地分布在以原點為圓心，為半徑，傾角為的無窮

27、維數(shù)空間里的一個圓上。注意：一般地（指不為實數(shù)時），無窮元數(shù)總有固定的傾角，這時無窮元數(shù)的次方根是個無窮元數(shù)，它們的模等于這個無窮元數(shù)的模的次算術(shù)根，它們的輻角分別等于這個無窮元數(shù)的輻角與的倍的和的分之一，而傾角不變。當(dāng)為實數(shù)時，傾角不定，需解參數(shù)方程：4、無窮維數(shù)空間里的實系數(shù)一元次代數(shù)方程定理3.1  如果實系數(shù)一元次代數(shù)方程在復(fù)平面上有個實根，, 、對虛根 , ，那么該方程在無窮維數(shù)空間里有且僅有個實根，, 和個超球面的非實數(shù)根  證明：將換成，與四元數(shù)類似，利用復(fù)平面上的點與其它超數(shù)平面上點的一一對應(yīng)關(guān)系，過程略。5、無窮元數(shù)函數(shù)其中：，超越復(fù)數(shù)的多元數(shù)（五）從復(fù)平

28、面到多維數(shù)空間白爍星河北省武安市駢山中學(xué)韓江燕七、無窮元數(shù)理論中的重要定理與推論1、先研究三維數(shù)空間里的情形已知：三元數(shù)，為常量，為變量，求的模的最大值與最小值解：設(shè)，則                                 當(dāng)且僅當(dāng)時，   再將變形為下式，有

29、0;                   ，此時此時必需且只需滿足條件綜上所述，得到三維數(shù)空間里的模律定理。定理1.1  模律定理 兩個三元數(shù)，為常量，為變量，其積，當(dāng)且僅當(dāng)，即兩個三元數(shù)在同一個數(shù)平面上時，得到最大值；當(dāng)且僅當(dāng)且時，得到最小值推論1.2  零因子定理 兩個三元數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，且時，其乘積證明： 利用       

30、                                據(jù)模律定理，在任一個數(shù)平面上，三元數(shù)的積的模等于兩個三元數(shù)的模的積，所以兩數(shù)乘積為0，至少需其中一數(shù)為0，故不存在零因子，因此零因子只能分布在不同的數(shù)平面上。在傾角為的數(shù)平面上，設(shè)，則有，顯然，同在一個數(shù)平面上的三個數(shù)的乘積滿足結(jié)合律，

31、復(fù)數(shù)乘法是其特例。注意：三元數(shù)的三角形式可用來直觀描述一個星體在軌道傾角為的平面上繞中心天體的運行情況：，為該星體運行的圓形軌道的半徑。如軌道為橢圓，公式可改寫為：若軌道還需旋轉(zhuǎn)一個角度，公式可再改寫為：    其中、表示星體運行的橢圓軌道的長半軸與短半軸，表示時間，表示星體運行的角速度，,表示該星體繞中心天體運行的周期。特別需要指出：正是當(dāng)年哈密頓耗盡心血但終未能尋得的三維數(shù)空間里的旋轉(zhuǎn)算子，該算子顯然可推廣至無窮維數(shù)空間。依高等幾何知識，本質(zhì)上表示一種仿射變換，球面通過可逆線性變換繞球心（原點）旋轉(zhuǎn)、伸縮后被映射成一個橢球面，模律定理恰好揭示出了橢球面的最長半

32、軸與最短半軸。特別地，如果，此時會得到一個半徑的球面，球面的半徑是常量，當(dāng)然最大值與最小值相等。2.再來研究無窮維數(shù)空間里的情形已知：無窮元數(shù)，為常量， 為變量，求的最大值與最小值解：設(shè)，則                                  當(dāng)且僅當(dāng)上式中減號右邊

33、非負(fù)項時，注意到滿足非負(fù)項為的條件實質(zhì)是要求：與中的各對應(yīng)項成比例,給定數(shù)，中的各項自然構(gòu)成一個確定的數(shù)列，滿足一定的比例關(guān)系，即數(shù)位于某一超數(shù)平面上，要求與中的對應(yīng)各項成比例，也滿足一定的比例關(guān)系，實質(zhì)是要求與位于同一個超數(shù)平面上。據(jù)超數(shù)平面定義：,顯然，不論如何變動，只要給定一組，則各個必定構(gòu)成一個確定的數(shù)列，滿足一定的比例關(guān)系，故非負(fù)項無窮元數(shù)在同一個超數(shù)平面上。再將變形為下式，有                 

34、60;                ，此時此時必需且只需滿足條件綜上所述，得到無窮維數(shù)空間里的模律定理定理2.1  模律定理 兩個無窮元數(shù)，為常量，為變量，其積的模，當(dāng)且僅當(dāng)兩個無窮元數(shù)在同一個超數(shù)平面上時，得到最大值；當(dāng)且僅當(dāng)且時，得到最小值，元數(shù)中的結(jié)論是無窮元數(shù)理論中的特例。推論2.2  零因子定理 兩個無窮元數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，且時，其乘積證明： 利用      

35、                                              據(jù)模律定理，在任一個超數(shù)平面上，積的模等于兩個數(shù)模的積，所以兩數(shù)的乘積為0，至

36、少需其中的一數(shù)為0，故不會存在零因子，因此零因子只能分布在不同的超數(shù)平面上。在傾角為的超數(shù)平面上，設(shè)，則有   ，顯然，同在一個超數(shù)平面上的三個數(shù)的乘積滿足結(jié)合律，數(shù)平面是超數(shù)平面的特例。由高等幾何知識，本質(zhì)上表示一種仿射變換，超球面通過可逆線性變換繞球心（原點）旋轉(zhuǎn)、伸縮后被映射成一個超橢球面，模律定理恰好揭示出了超橢球面的最長半軸與最短半軸。特別的，如果，此時會得到一個半徑的超球面，超球面的半徑是常量，當(dāng)然最大值與最小值相等。    一般地，兩個模為有限值的無窮元數(shù)、，如果取定值，取模為定值的超球面，則兩個因數(shù)相乘的積表示一個超橢球面，超球面上的點被一一映射到超橢球面。據(jù)模律定理，超橢球面上的每一個點到原點的距離均為有限值，所以，兩個無窮元數(shù)的乘積也是無窮元數(shù)；反之，若已知兩因數(shù)、的積在一個超橢球面上，模為有限值（不為），其中的一個因數(shù)為定值，模為有限值，據(jù)可逆線性變換的關(guān)系，必定可以找到另一個因數(shù)位于一個模為有限值的超球面上,即商也必是無窮元數(shù)。反之，如果的模不為有限值，而是無限大，據(jù)模律定理，積的模也將為無限大，這顯然與已知矛盾，故不可能。    再來研究與相加減的情形，設(shè)，由于表示一個超球面，為定值，其模（即距原點的距離）為有限值，則，表示兩數(shù)相加減的幾何