【KS5U解析】北京市平谷區(qū)第五中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、平谷五中2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)入學(xué)測試試題2020.8一、單項選擇（共10小題，每小題4分，共40分）1. 如圖所示，在正中，均為所在邊的中點，則以下向量中與相等的是a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題意先證明且，再利用中點找出所有與向量相等的向量【詳解】解：是的中位線，且，則與向量相等的有，故選：【點睛】本題考查了相等向量的定義，利用中點和中位線找出符合條件的所求的向量，屬于基礎(chǔ)題2. 設(shè)m是平行四邊形abcd的對角線的交點，o為任意一點，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題意畫出圖形，得出點m為平行四邊形abcd的對角線的中點，

2、再由向量的平行四邊形法則，可求出和，即可得出答案.【詳解】由平行四邊形的性質(zhì)可得，點m為平行四邊形abcd的對角線的中點.所以, 所以故選：d【點睛】本題考查向量的平行四邊形法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3. 在中，則等于( )a. b. c. d. 9【答案】a【解析】【分析】由正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】，由正弦定理得，則，故選a.【點睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，利用正弦定理是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.4. 若復(fù)數(shù)（）不是純虛數(shù)，則（ ）a. b. c. d. 且【答案】a【解析】【分析】先解出復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)時的值，即可得出答案【詳解】若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的定義有：，則復(fù)數(shù)（）

3、不是純虛數(shù)，故選a【點睛】本題考查虛數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題5. ，為虛數(shù)單位，若，則的值為（ ）a. 1b. -1c. 2d. -2【答案】a【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解【詳解】由（m+i）（23i）（2m+3）+（23m）i5-i，得，即m1故選a【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題6. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量（為坐標(biāo)原點），設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時針旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】將復(fù)數(shù)化為的形式

4、，再利用棣莫弗定理解得答案.【詳解】【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的閱讀能力，解決問題的能力和計算能力.7. 已知是兩條不同的直線，是兩個不重合的平面，給出下面三個結(jié)論：若，則；若，則；若是兩條異面直線，且，則.其中正確結(jié)論的序號為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判定，即可求解詳解】由題意，若，則與平行或異面，故錯誤；若，則與可能平行也可能相交，故錯誤；若，是兩條異面直線，且，則，故正確.故正確的結(jié)論只有，故選d.【點睛】主要考查了空間中平行關(guān)系判定與證明，其中解答中熟記線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，準(zhǔn)

5、確判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題8. 在長方體中，點為棱上的點，且，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】在上取點，使得，連接，可得，得到異面直線與所成角就是相交直線與所成的角，在中，利用余弦定理和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】在長方體中，點為棱上的點，且，如圖所示，在上取點，使得，連接，可得，所以異面直線與所成角就是相交直線與所成的角，設(shè)，又由在直角中，所以，在直角中，所以，在中，由余弦定理可得,所以所以異面直線與所成角的正弦值，故選b.【點睛】本題主要考查了異面直線所成角求解，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，把

6、異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間向量能力，以及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9. 完成下列抽樣調(diào)查，較為合理的抽樣方法依次是( )從件產(chǎn)品中抽取件進(jìn)行檢查；某校高中三個年級共有人，其中高一人、高二人、高三人，為了了解學(xué)生對數(shù)學(xué)的建議，擬抽取一個容量為的樣本；某劇場有排，每排有個座位，在一次報告中恰好坐滿了聽眾，報告結(jié)束后，為了了解聽眾意見，需要請名聽眾進(jìn)行座談a. 簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣；b. 分層抽樣，系統(tǒng)抽樣，簡單隨機抽樣；c. 系統(tǒng)抽樣，簡單隨機抽樣，分層抽樣；d. 簡單隨機抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣；【答案】d【解析】【分析】中，總體數(shù)量較少，適

7、合簡單隨機抽樣；中，三個年級有明顯差異，適合分層抽樣；中，總體數(shù)量較多，又有編號，適合系統(tǒng)抽樣.【詳解】對于，從件產(chǎn)品中抽取件進(jìn)行檢查，總體的數(shù)量較少，且個體差異不明顯，符合簡單隨機抽樣的特點；對于，該校高中的三個年級，是差異明顯的三個部分，符合分層抽樣的特點；對于，該劇場有排，每排有個座位，顯然總體數(shù)量較多，又有編號，符合系統(tǒng)抽樣的特點.故選:d.【點睛】三種抽樣方法的特點、聯(lián)系及適用范圍:類別共同點各自特點聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取總體個數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按預(yù)先定出的規(guī)則在各部分中抽

8、取在起始部分取樣時，采用簡單隨機抽樣總體個數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成10. 已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】a【解析】【分析】由題設(shè)條件，利用平均數(shù)和方差的計算公式進(jìn)行求解即可【詳解】解：某7個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則這8個數(shù)的平均數(shù)為，方差為故選：【點睛】本題考查了平均數(shù)和方差的計算應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）11. 的所有能取到的值構(gòu)的集合為_.【答案】【解析】【分析】將變形為，

9、化簡后對進(jìn)行奇偶討論即可【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，故答案為【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘方運算，注意對進(jìn)行奇偶討論，是基礎(chǔ)題12. 已知關(guān)于t的一元二次方程，當(dāng)方程有實數(shù)根時，則實數(shù)t的取值范圍_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根，再結(jié)合復(fù)數(shù)相等，建立條件關(guān)系可得點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，再結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】解：因為關(guān)于t的一元二次方程有實數(shù)根，得，由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得：，消得，則所求點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，直線與圓有公共點，則，解得，故答案為.【點睛】本題考查了方程有實數(shù)根、復(fù)數(shù)相等及直線與圓的位置關(guān)系，重點考查了運算能力，屬中檔題.13.

10、 在中，角、的對邊分別為、，其中最大的角等于另外兩個角的和，當(dāng)最長邊時，周長的最大值為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得出，可得出，再利用輔助角公式可得出周長的最大值.【詳解】依題意，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，得，所以，所以，的周長為，當(dāng)時，即當(dāng)時，的周長取得最大值，故答案為.【點睛】本題考查三角形周長最值的計算，解題的關(guān)鍵就是將周長轉(zhuǎn)化為某角為自變量的三角函數(shù)來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.14. 若的面積為,且c為鈍角，則b=_；的取值范圍是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根據(jù)題干結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可得，可求得；再利用，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍問題.

11、【詳解】，即，則，為鈍角，故.故答案為，.【點睛】此題考查解三角形的綜合應(yīng)用，能夠根據(jù)題干給出的信息選用合適的余弦定理公式是解題的第一個關(guān)鍵；根據(jù)三角形內(nèi)角的隱含條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式及正弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為求解含的表達(dá)式的最值問題是解題的第二個關(guān)鍵.15. 如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為正方形，側(cè)棱，則二面角的大小為_.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)二面角的平面角的概念，證得為二面角的平面角，在直角中，即可求解，得到二面角的大小.【詳解】由題意，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，所以，所以，所以，同理，因為，所以平面，則，又，且，所以平面，則，所以為二面角的平面角，在中，所以，所以二面角的大小

12、為.【點睛】本題主要考查了二面角的求解，其中解答中熟記二面角的平面角的定義，以及熟練應(yīng)用線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，得到為二面角的平面角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題（共7小題，共90分）16. 如圖，在三棱錐中，為中點.（1）求證：平面；（2）若點是棱的中點，求異面直線與的夾角.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由等腰三角形三線合一得出，連接，計算出三邊邊長，利用勾股定理證明出，然后利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；（2）取中點，中點，連接、，由中位線的性質(zhì)可得出，由此可得出異面直線與所成的角為或其補角，然后計算出三邊邊長，利用余弦定理求

13、出，即可得出答案.【詳解】（1），為的中點，且.連接，.且有，.，、平面，平面；（2）取中點，中點，連接、，、分別為、的中點，且.，且，為的中點，則.又為的中點，且.所以，異面直線與所成的角為或其補角.平面，平面，易知，且.在中，點是斜邊的中點，則.在中，.由余弦定理得.因此，異面直線與所成的角為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的計算，在計算異面直線所成的角時，一般利用平移直線法，構(gòu)造合適的三角形，利用余弦定理求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.17. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，,，面面,為等邊三角形，為的中點(1)求證：平面；(2)若是的中點，求三棱錐的體積【答

14、案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）由，結(jié)合線面垂直的判定即可得證；（2）由是的中點，所以，則將求三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積，再由條件即可得解.【詳解】(1)證：因為為等邊中邊的中點，所以,又因為在菱形中，所以為等邊三角形，為的中點，所以,而,所以平面.(2)解：由(1)知，面面,所以底面，因為等邊的邊長為2，所以,易知為邊長為2的等邊三角形，所以三棱錐的體積為：,因為是的中點，所以，所以三棱錐的體積為【點睛】本題考查了線面垂直的判定及三棱錐體積的求法，重點考查了空間想象能力及運算能力，屬中檔題.18. 某電視臺為宣傳本省，隨機對本省內(nèi)1565歲的人群抽取了人，回答問題“本省內(nèi)

15、著名旅游景點有哪些”統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示.組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第1組第2組18第3組第4組第5組（1）分別求出的值；（2）從第2、3、4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2、3、4組每組各抽取多少人？（3）指出直方圖中，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是多少（取整數(shù)值）？【答案】（1）， （2）第2組： (人)；第3組： (人)；第4組： (人) （3）42【解析】【分析】（1）先算出第4組的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)頻率分布直方圖得到第4組的頻率，從而可計算總?cè)藬?shù)，最后計算出相應(yīng)組人數(shù)后利用統(tǒng)計結(jié)果表可得的值.（2）先算出第2、3、4組回答正確的總?cè)藬?shù)，再按比例抽取即可.（3）根據(jù)

16、頻率分布直方圖可知中位數(shù)滿足，從而可得的近似值.【詳解】（1）由頻率表中第4組數(shù)據(jù)可知，第4組總?cè)藬?shù)為，再結(jié)合頻率分布直方圖可知，.（2）第2、3、4組回答正確的共有54人利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數(shù)為：第2組：(人)；第3組：(人)；第4組： (人)（3）設(shè)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可得前兩組的頻率之和為，最后兩組的頻率之和為，故在第三組中，且，解得，故.【點睛】本題考查頻率分布直方圖及其應(yīng)用，注意頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1，過中位數(shù)且垂直于橫軸的直線平分面積，各矩形的高是.19. 設(shè),關(guān)于x方程的兩個根分別是和.（1）當(dāng)=1+i時，求與m、n的值

17、；（2）當(dāng)時，求的值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）將代入方程整理，可得關(guān)于的方程組，求出，代入方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出；（2）將代入，求出和，進(jìn)而可求出的值.【詳解】（1）由題意知是關(guān)于x的方程的一個根，整理得，即關(guān)于x的方程為，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，綜上所述，結(jié)論是：（2）當(dāng)時，方程為,則方程的兩根為即，設(shè)，則，綜上所述，結(jié)論是：的值是4.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)范圍內(nèi)二次方程的解的問題，是基礎(chǔ)題.20. (1)設(shè)集合，且，求實數(shù)m的值.(2)設(shè)，是兩個復(fù)數(shù)，已知，且·是實數(shù)，求.【答案】(1) 或或 (2) 或【解析】【分析】（1）解方程得到集合，再分別討論和兩

18、種情況，即可得出結(jié)果；（2）先設(shè)，根據(jù)題中條件，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】解：(1)由解得：或，又當(dāng)時，此時符合題意. 當(dāng)時，則.由得， 所以或解得：或綜上所述：或或 (2)設(shè)，即 又，且，是實數(shù)， 由得，或，或【點睛】本題主要考查由集合間的關(guān)系求參數(shù)的問題，以及復(fù)數(shù)的運算，熟記子集的概念，以及復(fù)數(shù)的運算法則即可，屬于常考題型.21. 如圖，在abc中，邊ab=2，且點d在線段bc上，(i)若，求線段ad的長；(ii)若bd=2dc，求abd的面積.【答案】（i）（ii）【解析】【分析】(i)由可得,由可得,然后在三角形abd中用正弦定理可得ad;(ii)根據(jù)得,再根據(jù)面積公式和已知條件可得的值,然后在三角形abc中用余弦定理求得bc的值,從而可得bd的值,最后用面積公式可得abd的面積.【詳解】（i）由可得由,可得,在三角形adb中,由正弦定理可得,所以.（ii）由得，所以，因