多邊形的邊角與對(duì)角線

1、多邊形的邊角與對(duì)角線第十四講 多邊形的邊角與對(duì)角線邊、角、對(duì)角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數(shù) 、內(nèi)外 角度數(shù)、對(duì)角線條數(shù)是解與多邊形相關(guān)的基本問(wèn)題， 常用到三角形內(nèi) 角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識(shí).多邊形 的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性：（n 2） >180°隨n的變化 而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律；360°是一個(gè)常數(shù)，把內(nèi)角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外角問(wèn)題，以靜制動(dòng)是解多邊形有關(guān)問(wèn)題的常 用技巧.將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題處理是解多邊形問(wèn)題的基本策略， 連對(duì)角線或向外補(bǔ)形、對(duì)內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法，從凸邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線把 凸

2、 邊形分成 個(gè)多角形，凸n邊形一共可引 出對(duì)角線.例題求解【例1】在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為2002° 則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.（江蘇省競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥 設(shè)除去的角為° °多邊形的邊數(shù) 為，可建立關(guān)于x、的不定方程；又 0°&l t;x<180,°0°<<180又可得到關(guān)于 的不等式.故有兩種解題途徑，注意為自然數(shù)的隱含條.鏈接 世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物是一個(gè)不斷地聚合和分裂的過(guò)程，點(diǎn)是幾何 學(xué)最原始的概念，點(diǎn)生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn) 生新的圖形，另一方面，

3、不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形， 發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他 一些幾何圖形.【例2】 在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是（）A. 0 B. 1 . 3 D.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥 多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的， 而外 角和卻總是不變的，因此，可把內(nèi)角為銳角的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為 外角 為鈍角的個(gè)數(shù)的探討.【例3】 如圖，已知在/AB中，AB = A , AD丄B于D，且AD=B=4 , 若將此三角形沿AD剪開(kāi)成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形 拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎？畫(huà)出所拼四邊形的示意圖（標(biāo)出圖中直

4、角），并分別寫出所拼四邊形的對(duì)角線的 長(zhǎng).（烏魯木齊市中考題）思路點(diǎn)撥 把動(dòng)手操作與合情想象相結(jié)合 ，解題的關(guān)鍵是能注意到重 合的邊作為四邊形對(duì)角線有不同情形.注 教學(xué)建模是當(dāng)今教學(xué)教育、考試改革最熱門的一個(gè)話題，簡(jiǎn)單地 說(shuō)，數(shù)學(xué)建模”就是通過(guò)數(shù)學(xué)化（引元、畫(huà)圖等）把實(shí)際問(wèn)題特化為一 個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，再運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)方法（模型）解決問(wèn)題.本例通過(guò)設(shè)元，把 沒(méi)有重疊、沒(méi)有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式，通過(guò)不定方程 求解.【例4】 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常 用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案. 也就是說(shuō)，使用給定的某些 正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重 疊

5、(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng) 圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角 (360 )時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形.(1) 請(qǐng)根據(jù)下列圖形，填寫表中空格：(2) 如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平 面圖形？(3) 從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形 中選一種，請(qǐng)畫(huà)出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說(shuō)明你的理由.(陜西省中考題)思路點(diǎn)撥 本例主要研究?jī)蓚€(gè)問(wèn)題：如果限用一種正多邊形鑲嵌， 可選哪些正多邊形；選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開(kāi)放性，

6、又具 有探索性.假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點(diǎn)接合的地方， n個(gè)內(nèi)角的和為360°，這樣，將問(wèn)題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解.【例】 如圖，五邊形ABDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個(gè)單位，得到新的五邊形 A B ' D E（1）圖中塊陰影部分即四邊形 AHA G、BFB P 'N DD L、EE I 能拼成一個(gè)五邊形嗎？說(shuō)明理由.證明五邊形A B ' 的周Efe比五邊形ABD正的周長(zhǎng)至少增加2 個(gè)單位.（江蘇省競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥（1）塊陰影部分要能拼成一個(gè)五邊形須滿足條：，A GB;B' P； NDD LE;E； IA三點(diǎn)分別

7、共線；/ 1 + Z 2+Z 3+Z 4+Z =360 ° 增加的周長(zhǎng)等于 A H+A G+B F+B' P+； +； N+D +D L+E用圓E'l 的周長(zhǎng)逼近估算.1.如圖，用硬紙片剪一個(gè)長(zhǎng)為16、寬為12的長(zhǎng) 方形，再沿對(duì)角線把它分成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形可拼出各種 三角形和四邊形，其中周長(zhǎng)最大的是cm,周長(zhǎng)最小的是.（選6莢國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)程標(biāo)準(zhǔn)）2. 如圖，/ 1 + Z 2+Z 3+Z 4+ / + / 6=.3. 如圖，ABD是凸四邊形，AB=2 , B=4, D=7，則線段AD的取值 范圍是 .4. 用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成

8、若干 個(gè)圖案：(1) 第4個(gè)圖案中有白色地面磚塊；(2) 第n個(gè)圖案中有白色地面磚塊.(江西省中考題).凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內(nèi)角為鈍角，則 n的最大值是()A . 4 B.6 D. 7(希望杯”邀請(qǐng)賽試題)6. 一個(gè)凸多邊 形的每一內(nèi)角都等于140°那么，從這個(gè)多邊形的一 個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是()A . 9條B. 8條.7條D.6條7. 有一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正六邊形客廳，用邊長(zhǎng)為0的正三角形瓷磚鋪 滿，則需要這種瓷磚()A . 216 塊 B. 288 塊.384 塊 D. 12 塊(希望杯”邀請(qǐng)賽試題)&已知MB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AAD是一個(gè)含有30°角

9、的直 角三角形，現(xiàn)將AAB和MD拼成一個(gè)凸四邊形ABD .(1)畫(huà)出四邊形ABD ;(2)求出四邊形ABD的對(duì)角線BD的長(zhǎng).(上海市閔行區(qū)中考題)9. 如圖，四邊形 ABD 中，AB = B = D，/ AB=90°，/ BD = 10° 求/ BAD的度數(shù).（北京市競(jìng)賽題）10. 如圖，在五邊形A1A2A3A4A 中，Bl是A1的對(duì)邊A3A4的中點(diǎn)，連結(jié)A1B1，我們稱A1B1是這個(gè)五邊形的一條中對(duì)線，如果五邊形 的每條中對(duì)線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對(duì)角線和它平行.（安徽省中考題）11. 如圖，凸四邊形有 個(gè)；/ A+ / B+ /

10、+ / D+ / E+Z F+Z G=.（重慶市競(jìng)賽題）12. 如圖，延長(zhǎng)凸五邊形 A1A2A3A4A的各邊相交得到個(gè)角，Z B1, Z B2,Z B3,Z B4,Z B，它們的和等于；若延長(zhǎng)凸n邊形（n 的 各邊相交，則得到的n個(gè)角的和等于.（希望杯”邀請(qǐng)賽試題）13. 設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，記作A1（圖a）,將每條邊三等分， 在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記 作A 2（圖b）,再將每條邊三等分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記 作A3（圖）;再將每條邊三 等分，并重復(fù)上述過(guò)程，所得到的圖形記 作A4，那么，A4的周長(zhǎng)是；A4這個(gè)多邊形的面積是原三角形面積 的

11、倍.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）14. 如圖，六邊形 ABDEF 中，Z A= Z B= Z = Z D= Z E= Z F,且 AB+B=11 , FA D=3，貝S B+D=.（北京市競(jìng)賽題）1 .在一個(gè)n邊形 中，除了一個(gè)內(nèi)角外，其余（n 一 1）個(gè)內(nèi)角的和為270°則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（）A. 130° D. 140° . 10° D. 120°16. 如圖，四邊形 ABD 中，/ BAD=90 , AB=B=2 , A=6 , AD=3 ,則D的長(zhǎng)為（）A . 4 B. 4 . 3 D.3 （江蘇省競(jìng)賽題）注 按題中的方法不斷地做下去，就會(huì)成

12、為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個(gè)美麗的名稱 雪花曲線或 科克曲線（瑞典數(shù)學(xué)家），這 類圖形稱為分形”大量的物理、生物與數(shù)學(xué)現(xiàn)象都導(dǎo)致分形，分形 是新興學(xué)科 混沌”的重要分支.17. 如圖，設(shè)/ GE=a，則/ A+ / B+ / + / D+ / + / F=（）A . 360 °一 a B 270 °一 a 180° +a.D2a（東省競(jìng)賽題）18. 平面上有A、B,、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線上，求證: 在MB、ABD、AD、ABD中至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角不超過(guò) 4°19. 一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正 方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知 n及地 磚的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，求n.（上海市競(jìng)賽題）20. 如圖，凸八邊形ABDEFGH的8個(gè)內(nèi)角都相等，邊 AB、B、D、DE、EF、FG的長(zhǎng)分別為7, 4, 2,、6, 2、求該八邊形的周長(zhǎng).21. 如圖I是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開(kāi)后支撐起放在 地面上的情況，如果折疊起，床頭