邏輯學(xué) 謂詞邏輯

1、邏輯學(xué)第四章謂詞邏輯邏輯學(xué)第四章謂詞邏輯第四章 謂詞邏輯 第一節(jié)第一節(jié) 謂詞邏輯概述謂詞邏輯概述2021-12-183命題邏輯和謂詞邏輯命題邏輯：命題邏輯：不分析簡單命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)，討論關(guān)于聯(lián)結(jié)詞的推理理論。例如：如果某甲作案，那么他一定有作案動機(jī)。某甲沒有作案動機(jī)。所以，某甲沒有作案。謂詞邏輯：謂詞邏輯：分析簡單命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，討論關(guān)于量詞的推理理論。例如：所有的作案者都有作案動機(jī)。某甲沒有作案動機(jī)。所以，某甲不是作案者。 2021-12-184命題邏輯和謂詞邏輯研究推理形式的有效性時，把命題當(dāng)做不可分的邏輯單位有時是不夠的。研究推理形式的有效性時，把命題當(dāng)做不可分的邏輯單位有時是不夠的。例如

2、：例如： （1）張三的朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友。所以，王五不是張三的朋友。這個推理的形式在命題邏輯中表示為：P，q r這個推理事實上是有效的。但僅用命題邏輯的理論不能表明它是有效的這個推理事實上是有效的。但僅用命題邏輯的理論不能表明它是有效的推理。推理。 （2）所有人都會死，張三是人，所以，張三會死。這是一個正確的三段論推理。但僅用命題邏輯的理論也不能表明它是有效推理。因此，要研究涉及量詞的推理，僅用命題邏輯的理論是不夠的。只有在因此，要研究涉及量詞的推理，僅用命題邏輯的理論是不夠的。只有在命題邏輯的基礎(chǔ)上發(fā)展謂詞邏輯，才能解決這類推理的有效性問題。命題邏輯的基礎(chǔ)上發(fā)展謂詞邏輯，

3、才能解決這類推理的有效性問題。2021-12-185個體詞和謂詞謂詞邏輯就是把命題分解為個體詞、謂詞、量詞以及聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng)。例如：（3）我是學(xué)生。（4）王五不是李四的朋友。個體詞：表示個體的語詞，個體詞：表示個體的語詞，如：“我”、“王五” 、“李四”。謂詞：用來說明個體詞的性質(zhì)或關(guān)系的語詞。謂詞：用來說明個體詞的性質(zhì)或關(guān)系的語詞。如例（3）中“是學(xué)生”是一元謂詞，例（4）“是的朋友”是二元謂詞。類似的，還有三元謂詞，如“在和之間”以及n元謂詞。2021-12-186個體詞和謂詞的符號化個體常項：個體常項：表示一定范圍內(nèi)確定的個體，記為小寫的：表示一定范圍內(nèi)確定的個體，記為小寫的：a,b,

4、c,a,b,c,；個體變元：個體變元：表示一定范圍內(nèi)不確定的個體，記為小寫的：表示一定范圍內(nèi)不確定的個體，記為小寫的： x,y,z,x,y,z,；個體域也稱論域：個體域也稱論域：個體變元的變化范圍，記為：個體變元的變化范圍，記為：D D。謂詞符號：謂詞符號：表示性質(zhì)或關(guān)系的符號，記為大寫：表示性質(zhì)或關(guān)系的符號，記為大寫：D D、E E、F F、GG；一元謂詞公式，一元謂詞公式，記為：記為：DxDx，ExEx，F(xiàn)xFx，；二元謂詞公式，二元謂詞公式，記為：記為：DxyDxy，ExyExy，HxyHxy，RxyRxy，；三元謂詞公式，三元謂詞公式，記為：記為：GxyzGxyz，BxyzBxyz，P

5、xyzPxyz，KxyzKxyz，；n n元謂詞公式元謂詞公式，記為：記為：SxSx1 1x x2 2xxn n，WxWx1 1x x2 2xxn n，。個體詞和謂詞的符號化實例個體詞和謂詞的符號化實例: :用用a a表示表示“張三”，用，用DxDx表示一元謂詞表示一元謂詞“會死” ，則命題則命題“張三會死”可表可表示為：示為：DaDa。如是如是FxyFxy表示二元謂詞表示二元謂詞“是的朋友”，那么：，那么：FabFab表示表示“a是b的朋友”; ;FabFab表示表示“a不是b的朋友”。2021-12-187開語句P：是紫色的。Px：x是紫色的。讓開語句有真值的方法：讓開語句有真值的方法：（

6、1）用個體常項代替?zhèn)€體變元。用a表示“這朵玫瑰花”，則Pa表示語句“這朵玫瑰花是紫色的”。（2）對個體變元進(jìn)行量化。例如:命題“存在玫瑰花是紫色的”為真。沒有真假的命題函數(shù)，即從個體到真值的函數(shù)。例如沒有真假的命題函數(shù)，即從個體到真值的函數(shù)。例如:2021-12-188量詞全稱量詞：全稱量詞：指稱論域指稱論域D D中個體的全部。中個體的全部。 例如：所有，任何，每一個，例如：所有，任何，每一個，。存在量詞：存在量詞：指稱論域指稱論域D D中個體至少有一個存在。中個體至少有一個存在。 例如：存在，有，有些，例如：存在，有，有些，。符號化的量詞：符號化的量詞： 全稱量詞：所有所有x x，任何，任何

7、x x，均記為：，均記為： x x。 存在量詞：有有x x，存在，存在x x，均記為：，均記為： x x。全稱命題：全稱命題：含有全稱量詞的命題。含有全稱量詞的命題。特稱特稱( (存在存在) )命題命題：含有存在量詞的命題。含有存在量詞的命題。表示論域表示論域D中個體數(shù)量的語詞中個體數(shù)量的語詞2021-12-189命題的形式化（1 1）凡事物都是發(fā)展的。）凡事物都是發(fā)展的。 用用x x表示個體詞，用表示個體詞，用D D表示表示“是發(fā)展的是發(fā)展的”，形式化為：，形式化為： xDxxDx（2 2）凡是自然數(shù)都大于零。）凡是自然數(shù)都大于零。 用用N N表示表示“是自然數(shù)是自然數(shù)”，用，用E E表示表

8、示“大于零大于零”，形式化為：，形式化為： x(Nxx(NxExEx）（3 3）所有大學(xué)生都不是兒童。）所有大學(xué)生都不是兒童。 用用S S表示表示“是大學(xué)生是大學(xué)生”，用，用C C表示表示“是兒童是兒童”，形式化為：，形式化為： x(Sxx(SxCx)Cx)（4 4）有的大學(xué)生是兒童）有的大學(xué)生是兒童： x(Sx(SCC) )（5 5）小李沒有同任何人吵架。）小李沒有同任何人吵架。 a a：小李；：小李；：是人是人，D D：同同吵架吵架，形式化為：形式化為： x x（xx axax）（6 6）有些大一學(xué)生認(rèn)識小李。）有些大一學(xué)生認(rèn)識小李。 a a：小李；：小李；F F ：是大一學(xué)生，是大一學(xué)生

9、，R R：認(rèn)識認(rèn)識，形式化為：，形式化為： x(FxRxa)x(FxRxa)2021-12-1810命題的形式化 在對以上命題形式化時，沒有限制論域，即論域是全域。我們也可在一定的范圍內(nèi)討論問題，因些個體變元的變域往往被限制在某個特定的范圍內(nèi)。（7）有的學(xué)生（）作對（）所有試題（）不限制論域：不限制論域： x x（xx y(TyRxy)y(TyRxy)）限制論域：限制論域：x x的變域的變域:X=:X=學(xué)生；學(xué)生； y y的變域的變域:Y=:Y=試題試題 則形式為則形式為: : x x yRxyyRxy一階邏輯：一階邏輯：量詞是只對命題中的個體變元進(jìn)行量化，而不量詞是只對命題中的個體變元進(jìn)行量

10、化，而不對謂詞變元進(jìn)行量化。對謂詞變元進(jìn)行量化。高階謂詞：高階謂詞：不僅對個體變元而且對謂詞變元進(jìn)行量化。不僅對個體變元而且對謂詞變元進(jìn)行量化。第四章 謂詞邏輯第二節(jié)第二節(jié) 一階語言及其語義解釋一階語言及其語義解釋 2021-12-1812一階語言L L（1 1）初始符號）初始符號個體變元符號：個體變元符號：x,y,z,x,y,z,；x x1 1,x,x2 2,；若干（可以為若干（可以為0 0個）個體常項符號：個）個體常項符號：a,b,ca,b,c若干（至少一個）謂詞符號：若干（至少一個）謂詞符號：D,E,F,G,RD,E,F,G,R，聯(lián)結(jié)詞符號：聯(lián)結(jié)詞符號： ,；量詞符號：量詞符號： , ,

11、 ；輔助符號：括號：（，）；逗號：，。輔助符號：括號：（，）；逗號：，。（2 2）形成規(guī)則：）形成規(guī)則：包括項的形成規(guī)則和公式的形成規(guī)則。包括項的形成規(guī)則和公式的形成規(guī)則。項的形成規(guī)則：項的形成規(guī)則：單個的個體變元（單個的個體變元（v v，u u，w w，）和個體常項（）和個體常項（a a，b b，c c，）稱為項。）稱為項。2021-12-1813一階語言L公式的形成規(guī)則：公式的形成規(guī)則：1、如果R是n元謂詞（n1）,t1tn是n個項，則Rt1tn是公式（原子公式）；2、如果A是公式，則A是公式；3、如果A和B是公式，則AB、AB、AB是公式；4、如果A是公式，v是個體變元，則vA和vA是公

12、式（vA稱為全稱公式；vA稱為存在（特稱）公式）。 一階語言一階語言L 的一個符號串是（合式）公式，當(dāng)且僅當(dāng)它符合以上形成規(guī)則。的一個符號串是（合式）公式，當(dāng)且僅當(dāng)它符合以上形成規(guī)則。 一階語言一階語言L 的全體（合式）公式，記為的全體（合式）公式，記為Form（L ）。）。 一階語言一階語言L 是形式語言是形式語言L 的擴(kuò)充。的擴(kuò)充。（3 3）定義）定義：用來表示符號串的縮寫用來表示符號串的縮寫。 如：AB=df (AB)(BA)。2021-12-1814量詞的轄域 量詞的轄域：量詞的轄域：量詞的作用范圍。量詞的作用范圍。量詞的轄域可定義為：量詞的轄域可定義為：如果如果B B是是 vBvB和

13、和 vBvB的子公式，則稱的子公式，則稱B B為量詞為量詞 v v和和 v v的轄域。的轄域。在公式中，量詞的轄域是該量詞及緊接該量詞的最短公式。在公式中，量詞的轄域是該量詞及緊接該量詞的最短公式。帶橫線部分指明了存在量詞的轄域。(1)xxx(2)x（xyyy）(3)xy（xyxz（xzyz）2021-12-1815約束變元和自由變元變元的約束出現(xiàn)：一個變元在公式里的出現(xiàn)是一個變元在公式里的出現(xiàn)是約束的，當(dāng)且僅當(dāng)，這種出現(xiàn)是在采用該變元的約束的，當(dāng)且僅當(dāng)，這種出現(xiàn)是在采用該變元的量詞的轄域內(nèi)。量詞的轄域內(nèi)。變元的自由出現(xiàn)：一個變元在公式里的出現(xiàn)是一個變元在公式里的出現(xiàn)是自由的自由的, ,當(dāng)且僅

14、當(dāng)，該變元的出現(xiàn)不是約束的。當(dāng)且僅當(dāng)，該變元的出現(xiàn)不是約束的。約束變元就是約束出現(xiàn)的變元；自由變元就是自由約束變元就是約束出現(xiàn)的變元；自由變元就是自由出現(xiàn)的變元。出現(xiàn)的變元。 例如：在 xxx中，變元x出現(xiàn)了三次，前兩次出現(xiàn)是在量詞x的轄域中，因而是約束出現(xiàn)的，第三次是自由出現(xiàn)的。2021-12-1816自由變元的代入如果公式如果公式A A中有自由變元中有自由變元v v，則把該公式記為：，則把該公式記為：A(v)A(v)。以個體詞。以個體詞t t代入代入A(v)A(v)中中的的v v，則記為：，則記為：A(v/t)A(v/t)。例如：。例如：（1）對于公式PxQx，用A(x)來表示x是自由變元

15、：A(x)：PxQx；（2）對于公式x(QxRxy)，用B(y)來表示y是自由變元：B（y）：x(QxRxy)；（3）用個體變元y代替A(x)中的自由變元：A(x/y)：PyQy；（4）用常元a代替A(x)中的自由變元：A(x/a)：PaQa。自由變元的代入規(guī)則自由變元的代入規(guī)則：(1) 、代換必須處處進(jìn)行代換必須處處進(jìn)行A(x)A(x)：PxQx PxQx 以y代換A(x)中的自由變元x： A(x/y)A(x/y)：PyQy PyQy （正確代換） A(x/y)A(x/y)：PxQy PxQy （錯誤代換）(2) 、代換不能改變量詞的約束關(guān)系、代換不能改變量詞的約束關(guān)系B(y)B(y)： x

16、(QxRxy) x(QxRxy) 以個體變元來代換B(y)中的自由變元y：B(y/z)：x(QxRxz) （正確代換） B(y/x)：x(QxRxx)（錯誤代換）2021-12-1817一階語言L L 的語義解釋一、原子公式的解釋：一、原子公式的解釋： 給定一個個體域給定一個個體域D D，將個體常項解釋為個體域中特定的，將個體常項解釋為個體域中特定的個體，個體， 將謂詞符號解釋成這個個體域中的性質(zhì)或這個個體將謂詞符號解釋成這個個體域中的性質(zhì)或這個個體域上的關(guān)系，則原子公式是否為真可以歸結(jié)為某個個體是域上的關(guān)系，則原子公式是否為真可以歸結(jié)為某個個體是否具有某種性質(zhì)或某些個體是否具有某種關(guān)系。否具

17、有某種性質(zhì)或某些個體是否具有某種關(guān)系。二、全稱公式和特稱公式的解釋：二、全稱公式和特稱公式的解釋： 在給定的一個解釋下，在給定的一個解釋下， vAvA為真要求將為真要求將v v解釋成個體域解釋成個體域中任何個體時中任何個體時A A都為真，而都為真，而 vAvA為真，則只要將為真，則只要將v v解釋成個解釋成個體域中至少一個個體時體域中至少一個個體時A A為真。為真。 嚴(yán)格地講，一階語言的語義解釋就是在把個體詞解釋嚴(yán)格地講，一階語言的語義解釋就是在把個體詞解釋成為個體域中的個體、把謂詞解釋為個體域中的性質(zhì)或個成為個體域中的個體、把謂詞解釋為個體域中的性質(zhì)或個體域上的關(guān)系的基礎(chǔ)上，確定公式的真值即

18、給公式賦值。體域上的關(guān)系的基礎(chǔ)上，確定公式的真值即給公式賦值。2021-12-1818一階語言L 的語義解釋語義解釋也稱為模型，記為語義解釋也稱為模型，記為，包括以下內(nèi)容：包括以下內(nèi)容：(1)一個個體變元的取值范圍非空集合D(論域、個體域)(2)對每個個體常項a，指定D中一個確定的個體a；(3)對每個n元謂詞符號R，指定D上的一個n元關(guān)系R；在一個解釋（模型）中，每個閉公式有確定的真值。在一個解釋（模型）中，每個閉公式有確定的真值。例如：D=自然數(shù)，個體常項a解釋為4（a a =4）；一元謂詞P解釋為 “是偶數(shù)（P P ）”；二元謂詞G解釋為“”（G G =）；則： Pa的解釋是“4是偶數(shù)”（

19、真命題）； xPx的解釋是“所有自然數(shù)是偶數(shù)”（假命題）； xyGyx的解釋是“對所有自然數(shù)總存在大于它的自然數(shù)”(真命題)。2021-12-1819指派和賦值個體變元與它所指稱的對象通過指派建立了確定的聯(lián)系。個體變元與它所指稱的對象通過指派建立了確定的聯(lián)系。一個模型上的指派有無窮多個。一個模型上的指派有無窮多個。原子公式的值可以根據(jù)模型和指派確定。原子公式的值可以根據(jù)模型和指派確定。設(shè)設(shè)是模型是模型上的指派，上的指派，v是變元，是變元，dD。所謂模型。所謂模型上與指上與指派派相關(guān)聯(lián)的指派相關(guān)聯(lián)的指派(v/d)是指如下定義的指派：是指如下定義的指派：如果uv,則(v/d)(u)=(u)(v/d

20、)(u)=(u)；如果；如果u=vu=v，則，則(v/d)(u)=d(v/d)(u)=d。不管原指派中v的值是什么，新指派(v/d)總是把v指派成d，而其余變元的值都不變。顯然，如果d=(v)，則(v/d)=，即自己也是與其自身相關(guān)聯(lián)的指派。給每個變元指定一個個體的過程稱作指派，記為給每個變元指定一個個體的過程稱作指派，記為2021-12-1820謂詞邏輯的每個項和公式在賦值謂詞邏輯的每個項和公式在賦值下都有確定的值。下都有確定的值。項的基本語義定義項的基本語義定義:設(shè)設(shè)=,是一個賦值，是一個賦值，t t是任意的項，是任意的項，t t在在下的值下的值(t)(t)是論域是論域D D中的個體，具體

21、定義如下：中的個體，具體定義如下：(1)(1)如果如果t t是個體變元是個體變元v v，則，則(v)=(v)(v)=(v)；(2)(2)如果如果t t是個體常項是個體常項a a，則，則(a)=a(a)=a。模型模型和和上的一個指派上的一個指派確定一個賦值確定一個賦值，記為，記為=2021-12-1821公式的基本語義定義設(shè)設(shè)=,是一個賦值，是一個賦值，A A是任意的公式，是任意的公式，A A在在下的值記下的值記為為(A)(A)。（A A）=T=T，或者，或者 （A A）=F=F。定義如下：。定義如下：（1 1）如果）如果A A是原子公式是原子公式R(tR(t1 1ttn n) )，則，則(A)

22、=T(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)（t t1 1）,，(t(tn n) )RR；（2 2）如果）如果A A是是 B B，則，則（A A）=T=T當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)（B B）=F=F；（3 3）如果）如果A A是是BCBC，則，則（A A）=T=T當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)（B B）=T=T且且（C C）=T=T；（4 4）如果）如果A A是是BCBC，則，則(A)=T(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)(B)=T(B)=T或或(C)=T(C)=T；（5 5）如果）如果A A是是BCBC，則，則(A)=T(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)(B)=F(B)=F或或(C)=T(C)=T；（6 6）如果）如果A A是是 vBvB，則，

23、則(A)=T(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)對任何當(dāng)且僅當(dāng)對任何dD,dD,都有都有(v/d)(B)=T(v/d)(B)=T；（7 7）如果）如果A A是是 vBvB，則，則(A)=T(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)存在當(dāng)且僅當(dāng)存在dD,dD,使得使得(v/d)(B)=T(v/d)(B)=T。2021-12-1822公式的基本語義定義基本語義解釋的直觀意義基本語義解釋的直觀意義第（第（1 1）條只不過是說原子公式）條只不過是說原子公式R R（t t1 1ttn n）為真，只要）為真，只要t t1 1，t tn n所指對象具有所指對象具有D D上的關(guān)系上的關(guān)系R R 。第（第（2 2）（5 5）條只不過說對聯(lián)結(jié)詞的解釋與第

24、二章）條只不過說對聯(lián)結(jié)詞的解釋與第二章中的解釋相同。中的解釋相同。第（第（6 6）條不過是說）條不過是說 vBvB為真就是為真就是v v的值取遍論域時的值取遍論域時B B的值的值總為真?？倿檎?。第（第（7 7）條也不過是說）條也不過是說 vBvB為真就是論域中至少有一個個為真就是論域中至少有一個個體使體使B B為真。為真。2021-12-1823公式的基本語義定義 設(shè)一階語言設(shè)一階語言L L 包括二元謂詞符號包括二元謂詞符號G G，個體常項，個體常項a a和和b b，取模型，取模型，使得個體域，使得個體域D D是整數(shù)，是整數(shù)，G G是是“”（整數(shù)上的小于關(guān)系），（整數(shù)上的小于關(guān)系），a a =

25、10=10，b b =11=11。=,其中其中為：為：(x)=2，(y)=13，(z)=8 8，那么：那么：(Gab)=T(命題“1011”為真)；(Gay)=T T(命題“1013”為真)；(Gyx)=F F(命題“132”為假)?？蓾M足性可滿足性 設(shè)設(shè)A A是公式，是公式， 是任意模型；如果存在賦值是任意模型；如果存在賦值，使得，使得（A A）=T=T，則稱模型，則稱模型滿足滿足A A，記為：記為： =A=A，否則，稱模型，否則，稱模型 不滿足不滿足A A，記為：，記為： A A。協(xié)調(diào)性協(xié)調(diào)性 設(shè)設(shè)是公式集是公式集(=A(=A1 1，A A2 2，AAn n)， 是任意模型；如果存在賦值是

26、任意模型；如果存在賦值，使得，使得（）=T=T（即（即（A A1 1）=T=T，（A A2 2）=T,(A=T,(An n)=T)=T），則稱在模型），則稱在模型 中該公式集中該公式集是協(xié)調(diào)的，是協(xié)調(diào)的，否則，稱否則，稱在模型在模型 中是不協(xié)調(diào)的。中是不協(xié)調(diào)的。2021-12-1824語義后承 設(shè)設(shè) 是任意模型，是任意模型，L L 是所有是所有 構(gòu)成的模型類，構(gòu)成的模型類，是公式是公式集（集（=A1，A2， An），），B是公式。如果模型是公式。如果模型 上任上任何賦值何賦值都滿足：只要都滿足：只要 =（即（即（）=T），就有），就有 =B（即（即（B）=T），則稱（在模型類），則稱（在模型類

27、C 中）中）B是是的語義后的語義后承（承（邏輯蘊(yùn)涵邏輯蘊(yùn)涵B，或，或與與B具有語義推出關(guān)系，具有語義推出關(guān)系，推出推出B是是有效的），記為有效的），記為 = L L B。如果在模型如果在模型 上存在賦值上存在賦值，使得，使得 =，但，但 B，則稱則稱B不是不是的語義后承（的語義后承（不能有效地推出不能有效地推出B，與與B沒有沒有語義推出關(guān)系），記為語義推出關(guān)系），記為 L L B。2021-12-1825應(yīng)用實例 由前提由前提“（這架飛機(jī)上）所有乘客或者是中（這架飛機(jī)上）所有乘客或者是中國人或者是日本人國人或者是日本人”能否有效地推出結(jié)論能否有效地推出結(jié)論“（這（這架飛機(jī)上）所有乘客是中國人，

28、或者，所有乘客架飛機(jī)上）所有乘客是中國人，或者，所有乘客是日本人是日本人”。 以（這架飛機(jī)上）乘客為論域以（這架飛機(jī)上）乘客為論域D D，以，以P P、Q Q分分別表示一元謂詞別表示一元謂詞“是中國人是中國人”和和“是日本人是日本人”，則前提和結(jié)論的形式分別是：則前提和結(jié)論的形式分別是：A： x（PxQx），），B： xPx xQx 。2021-12-1826 取模型取模型，使得，使得D=d1,d2,d3,d4,d5,其中其中d1、d2、d3中中國人；國人；d4、d5日本人日本人,=是是 上的一個賦值，其上的一個賦值，其中中為：為：(x)=d ，dD； 任取任取dD,都有都有(x/d)(PxQ

29、x)=T, 所以所以,( x（PxQx)=T(即前提即前提“（這架飛機(jī)上）所有乘客或者是中國人或者（這架飛機(jī)上）所有乘客或者是中國人或者是日本人是日本人”為真為真)； 但是，存在但是，存在dD(例如，d4),使得使得(x/d)(Px)=F,也存在也存在dD(例如d1),使得使得(x/d) (Qx)=F，所以，所以，( xPx)=F，而且，而且( xQx)=F； 因此，因此，( xPx xQx)=F（即結(jié)論（即結(jié)論“(這架飛機(jī)上這架飛機(jī)上)所所乘客是中國人，或者，所有乘客是日本人乘客是中國人，或者，所有乘客是日本人”假），即：假），即： x（PxQx） L xPx xQx。第四章 謂詞邏輯第三節(jié)

30、第三節(jié) 謂詞邏輯的自然推理系統(tǒng)謂詞邏輯的自然推理系統(tǒng)QNP2021-12-1828謂詞邏輯自然推理的一般步驟1、把給定的前提符號化（如果給定前提是自然語言的話）；2、用有關(guān)的規(guī)則消去量詞；3、運(yùn)用命題邏輯自然推理的規(guī)則，求出不帶量詞的結(jié)論；4、用有關(guān)規(guī)則給結(jié)論添上量詞。 2021-12-1829全稱量詞的推理 所有動物都有死，所有動物都有死， 所有虎都是動物，所有虎都是動物， 所以，所有虎都有死。所以，所有虎都有死。（）（） （） 1（）（） （） 2（）（） 消去（）的全稱量詞（）（） 消去（）的全稱量詞（）（） （）、()假言三段論（）（） （） （）引入全稱量詞2021-12-1830消

31、去全稱量詞的推理規(guī)則 消去全稱量詞的推理規(guī)則也稱全稱例示規(guī)則（消去全稱量詞的推理規(guī)則也稱全稱例示規(guī)則（ _ _） 從 可推出(/)，其中(/）表示消去全稱量詞，并用個體詞代替中的個體詞的每一出現(xiàn)而得到的公式。 對對 _ _的限制：自由變元帶標(biāo)記的限制：自由變元帶標(biāo)記 在推理時，如果引進(jìn)的前提或假設(shè)中有自由變元，在推理時，如果引進(jìn)的前提或假設(shè)中有自由變元，那么，須在該前提或假設(shè)的右邊注上標(biāo)記。注有標(biāo)那么，須在該前提或假設(shè)的右邊注上標(biāo)記。注有標(biāo)記的變元叫做記的變元叫做“帶標(biāo)記的變元帶標(biāo)記的變元”。2021-12-1831引入全稱量詞的推理規(guī)則引入全稱量詞的推理規(guī)則也稱全稱概括規(guī)則（引入全稱量詞的推

32、理規(guī)則也稱全稱概括規(guī)則（ + +） 如果個體變元在公式中是不帶標(biāo)記的（即v不在前提和A依賴的假設(shè)中自由出現(xiàn)），那么可從推出。 對個體變元進(jìn)行全稱概括是有條件的：必須不帶標(biāo)記。下面推理是無效的：下面推理是無效的： 不加限制地使用+ 構(gòu)造一個模型，使得D是自然數(shù)，謂詞H解釋為“小于3”。=，其中(x) =1。于是(Hx)=T（即前提“1小于3”是真的），而(xHx)=F，即結(jié)論的解釋命題“所有自然數(shù)小于3”是假的。由此可見，對帶有標(biāo)記的個體變元不能進(jìn)行全稱概括。由此可見，對帶有標(biāo)記的個體變元不能進(jìn)行全稱概括。2021-12-1832全稱量詞推理規(guī)則的應(yīng)用所有絕緣體所有絕緣體( (x)x)都不能導(dǎo)電

33、（）。金屬（）都導(dǎo)電，鋁制品都不能導(dǎo)電（）。金屬（）都導(dǎo)電，鋁制品（）都是金屬，所以，鋁制品不是絕緣體。（）都是金屬，所以，鋁制品不是絕緣體。（） （） （） （） （） （） （） （），_（） （），_（） （），_（） ，H（+ 的假設(shè)）（） ，(6)，(7)，_（） ，(5)，(8)，_（） ，(4)，(9)，_（） (7)(10)，+ （） （） (11)，+2021-12-1833存在量詞的推理規(guī)則（）（） A（）（） (1), _從（）到（）不是有效的邏輯推理：構(gòu)造一個模型 使得D是自然數(shù)，一元謂詞F解釋為“大于1”。=,其中，（x）=1。于是(xFx)=T,即（）的解釋“有的自

34、然數(shù)大于1”是真的，而(Fx)=F,即（）的解釋“大于”是假的。因此，從不能推出。 斷定了至少有一個具有性質(zhì)的個體存在。但是，這一個體是不確定的，不能斷定它就是某個具體的個體，因此，可以用符號： ，；1，2，表示不確定個體不確定個體。F意指：“不確定個體有性質(zhì)”。從而，可以從推出2021-12-1834存在量詞的推理規(guī)則消去存在量詞的推理規(guī)則消去存在量詞的推理規(guī)則 消去存在量詞的推理規(guī)則也稱為存在例示規(guī)則（消去存在量詞的推理規(guī)則也稱為存在例示規(guī)則（ _）從可推出（），稱為新名，即在前的公式中沒有出現(xiàn)過的不確定個體的名稱，并且須帶標(biāo)記。引入存在量詞的推理規(guī)則引入存在量詞的推理規(guī)則 引入存在量詞的

35、推理規(guī)則規(guī)則也稱為存在概括規(guī)則（引入存在量詞的推理規(guī)則規(guī)則也稱為存在概括規(guī)則（ +）從（t）可推出。其中，t可以是不確定個體的名稱，也可以是個體常項或個體變元。2021-12-1835關(guān)于存在量詞推理的應(yīng)用 x(HxGx)， xHx xGx（） （） （） （） ，（），（）， _（） （），（）， _（） ，（，（3），（），（4），），_（） （），（）， +2021-12-1836關(guān)于存在量詞推理的應(yīng)用所有哺乳動物（）是動物（），有的哺乳動物是水所有哺乳動物（）是動物（），有的哺乳動物是水生的（），所以，有的動物是水生的。生的（），所以，有的動物是水生的。（） （） （） （） （） ，

36、（），_（） （），_（） ，（），_（） ，（4），（5），_（） ，（），_（） ，（），（）， +（） （） （），+2021-12-1837_規(guī)則的限制（1 1）不確定個體的名稱必須是沒有出現(xiàn)過的新名）不確定個體的名稱必須是沒有出現(xiàn)過的新名（2 2）新名必須帶標(biāo)記。）新名必須帶標(biāo)記。 （） （） （） ，（），_ （） ，（），_ （） ,（3）,（4），_ （6） （） （），_這個形式推理中，違反了_的第一個限制，因而造成指稱混亂，導(dǎo)致推理無效。2021-12-1838_規(guī)則的限制第二個限制（新名必須帶標(biāo)記）的理由：第二個限制（新名必須帶標(biāo)記）的理由： 如果新名不帶標(biāo)記，那么對它也

37、可進(jìn)行全稱概括：從“某個體有性質(zhì)”推出“所有個體都有性質(zhì)”，這當(dāng)然是荒謬的。所以，在用-規(guī)則進(jìn)行推導(dǎo)時，均帶標(biāo)記， 并且，依賴帶標(biāo)記公式的各公式，其中如有，亦須帶標(biāo)記。 一旦新名從公式中消失后，就應(yīng)同時消去該新名的標(biāo)記。2021-12-1839關(guān)于量詞推理的應(yīng)用所有中文系學(xué)生（）都喜歡（）任何所有中文系學(xué)生（）都喜歡（）任何藝術(shù)家（），沒有中文系學(xué)生喜歡任何數(shù)學(xué)藝術(shù)家（），沒有中文系學(xué)生喜歡任何數(shù)學(xué)家（），有中文系學(xué)生。所以，沒有藝術(shù)家家（），有中文系學(xué)生。所以，沒有藝術(shù)家是數(shù)學(xué)家。是數(shù)學(xué)家。（1）（） A1（2）（） A2（3） A3（4） ,(),_（5）（） ()，_2021-12-18

38、40（6）(zz) (2),_（7）y（） ,(4),(5)，_（8）(zz) ,(4),(6)，_（9） ,(7),_（0）Ey ,(8),_（1）Ey ,(10),RP.（2）Ey , (9),(11),HS（3）y（Ey） (12),+2021-12-1841量詞的推理規(guī)則的進(jìn)一步限制限制一：限制一：運(yùn)用運(yùn)用 - -和和 + +時，必須遵守個體變元的代時，必須遵守個體變元的代入規(guī)則。入規(guī)則。限制二：限制二：運(yùn)用運(yùn)用 _ _規(guī)則時，公式中可能有的自由個規(guī)則時，公式中可能有的自由個體變元均應(yīng)記為新名的標(biāo)記的下標(biāo)。體變元均應(yīng)記為新名的標(biāo)記的下標(biāo)。合理代換：合理代換：不改變原公式量詞的約束關(guān)系的

39、代換。不改變原公式量詞的約束關(guān)系的代換。不合理代換（盲目代換）：不合理代換（盲目代換）：改變原公式量詞的約改變原公式量詞的約束關(guān)系的代換。束關(guān)系的代換。2021-12-1842違反量詞推理規(guī)則的應(yīng)用舉例下面是錯誤地運(yùn)用下面是錯誤地運(yùn)用 _ _的推理：的推理：（）xyGxy A1（）yGyy （1）,_（x/y） 構(gòu)造一個模型 ，使得D是自然數(shù)，謂詞G解釋為“小于”。=。于是:（xyGxy）=T,即（1）的解釋“沒有最大的自然數(shù)”是真的，而（yGyy）=F，即(2)的解釋“有小于自己的自然數(shù)”是假的。這個推理之所以無效，是由于對（1）_時進(jìn)行了盲目的代換，x本來不受y的約束，但以y代換x后，代入

40、y的卻被y約束了。2021-12-1843違反量詞推理規(guī)則的應(yīng)用舉例下面是錯誤運(yùn)用下面是錯誤運(yùn)用 + +的推理：的推理：在包括運(yùn)算符“+”的一階語言L中，進(jìn)行如下推理：（1）（） A1（2）（） ，（1），_（3）（） （2），+構(gòu)造一個模型，使得D是實數(shù)，謂詞解釋成“”，那么（1）的解釋是真的。（3）的解釋是假的。原因是對（2）錯誤地運(yùn)用了+，（2）中不受約束的，代換后被約束。2021-12-1844QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系 謂詞邏輯的自然推理系統(tǒng)謂詞邏輯的自然推理系統(tǒng)QNPQNP是一個根據(jù)量詞和是一個根據(jù)量詞和聯(lián)結(jié)詞的推導(dǎo)規(guī)則，運(yùn)用有前提的形式推演構(gòu)建起聯(lián)結(jié)詞的推導(dǎo)規(guī)則，運(yùn)用有前提

41、的形式推演構(gòu)建起來的形式系統(tǒng)。來的形式系統(tǒng)。關(guān)于量詞的否定規(guī)律：關(guān)于量詞的否定規(guī)律：Q1： xAx A；Q2： xAx A；Q3：xA x A；Q4：xA x A。2021-12-1845QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q1的證明的證明先證：先證： xAx A：（1）xA(x) A(x是A中自由變元) （2）xA(x) H （3）xA(X) (2)，_ （4）A() ，(3)，_ （5）A() (1)，_ （6）A()A() ，(3)，(4)，+ (7)xA(x) (2)(6)，_(消去H)2021-12-1846QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q1的證明的證明再證：再證：x x A A xA

42、:xA:(1)xA(x) A(x是A的自由變元) (2)xA(x) H1 (3)A(x) x，H2 (4)xA(x) (3)，+ (5)A(x)xA(x) (3)(4)，+(消去H2) (6)A（x） (1)，(5)，M.T. (7)A(x) (6)，_ (8)xA(x) (7)，+ (9)xA(x)xA(x) (2)，(8)，+(10)xA(x) (2)(9)，_(消去H1)2021-12-1847QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系設(shè)設(shè)A是任何公式，是任何公式，x在在A中不自由，我們有中不自由，我們有:Q5：A xAQ6： xAAQ7a： xA yA(x/y) (y不在不在A中出現(xiàn)中出現(xiàn))Q7

43、b： yA xA(y/x) (x不在不在A中出現(xiàn)中出現(xiàn))Q8a： xA yA(x/y) (y不在不在A中出現(xiàn)中出現(xiàn))Q8b： yA xA(y/x) (x不在不在A中出現(xiàn)中出現(xiàn))改名規(guī)則：改變量詞所約束的變元的置換規(guī)則。由于 xA yA(x/y), xA yA(x/y),因此，我們可以用等價置換規(guī)則把一個公式中出現(xiàn)的 xA置換為 yA(x/y),或者把 xA置換為 yA（x/y）。2021-12-1848QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q9： x yA y xA；Q10： x y y xA；Q11： x yA y xA；（1）xyA(x,y) A(x,y是A中自由變元）（2）yA(,y) ,(1

44、), -（3）A(,y) ,(2), -（4）xA(x,y) (3), +（5）yxA(x,y) (4),+Q12： x(AB) xA xB ( x對對的分配律的分配律)Q13： x(AB) xA xB ( x對對的分配律的分配律)2021-12-1849QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q13的證明的證明先證：先證： x(AB) xA xB(1) x(AB) A (2) (xAxB) H (3) A()B() ,(1),_ (4) xAxB (2),R.P.(De.M） (5) xAxB (4),R.P.(Q3) (6) xA (5),_ (7) xB (5),_ (8) A() (6), _

45、 (9) B() (7), _ (10) B() ,(3),(8),_ (11)B()B() ,(9),(10),+(12)xAxB (2)(11),_(消去H)2021-12-1850QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q13的證明的證明再證再證: xA xB x(AB)(1)xAxB A (2)x(AB) H (3) x(AB) (2),R.P.(Q3) (4) x(AB) (3),R.P.(DeM.) (5) xAB (4),R.P.(Q12) (6) xA (5),_ (7) xA (6),R.P.(Q3) (8) xB (5),_ (9) xB (8),R.P.(Q3) (10) xB

46、(1),(7),_ (11) xBxB (9),(10),+(12)x(AB) (2)(11)，_(消去H)2021-12-1851QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q14： x(AB) xA xBQ15： x(AB) xA xBQ14： x(AB) xA xBQ15： x(AB) xA xB只證只證Q14：（1）x(AB) A (2)xA H (3)AB (1),_ (4)A (2),_ (5)B (3),(4),_ (6)xB (5),+(7)xAxB (2)(6),+(消去H)2021-12-1852QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系Q16： xA xB x(AB) Q17： x(AB) x

47、A xB但是，但是，Q16和和Q17反過來不成立，即：反過來不成立，即： x(AB) xA xB xA xB x(AB)對任意的公式對任意的公式A和和B，如果，如果x不在不在B中自由出現(xiàn)，那么，我們有：中自由出現(xiàn)，那么，我們有： Q18： x(AB) xAB Q19： x(AB) xAB Q20： x(AB) xAB Q21： x(AB) xAB Q22： x(AB) xAB Q23： x(AB) xAB Q24： x(BA)B xA Q25： x(BA)B xA2021-12-1853量詞和聯(lián)結(jié)詞轄域之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化 分析命題分析命題A“A“只有千里馬吃飽草，千里馬才只有千里馬吃飽草，千里馬才能跑能跑”和命題和命題B“B“或者千里馬