淺談初中數(shù)學(xué)輔助線的添加

1、淺談初中數(shù)學(xué)輔助線的添加人們從來(lái)就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件不夠時(shí)，添加輔助線構(gòu)成新圖形， 形成新關(guān)系， 使分散的條件集中， 建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。一添輔助線有二種情況：1 按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們 ,相交后證交角為 90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2 按基本圖形添輔助線：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形， 因此 “添線 ” 應(yīng)該叫做 “補(bǔ)圖 ”

2、！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：（1）平行線是個(gè)基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線（2）等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。 出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線； 出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。 出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是

3、直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。（5）三角形中位線基本圖形幾何問題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位線時(shí)則添中位線， 當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形； 當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線 1段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)， 則可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。（6）全等三角形：全等三角形有軸對(duì)稱形， 中心對(duì)稱形， 旋轉(zhuǎn)形與平移形等； 如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱就可以

4、添加軸對(duì)稱形全等三角形： 或添對(duì)稱軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱軸翻轉(zhuǎn)。 當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對(duì)稱形全等三角形加以證明， 添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行線（7）相似三角形：相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形） ，相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)（中點(diǎn)可看成比為 1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向， 這類題目中往往有多種淺線方法。（8）特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn) 30，45，60，135，150 度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用 45 角直角三角形三邊比為

5、1：1：2；30 度角直角三角形三邊比為 1：2：3進(jìn)行證明（9）半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)， 添 90 度的圓周角；出現(xiàn) 90 度的圓周角則添它所對(duì)弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧， 瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法方法 1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線， 通過這種方法， 把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移， 很容易地解決了問題。方法 2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問題。方法 3：

6、結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。 方法 4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法， 所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法2平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線：（2）過頂點(diǎn)作對(duì)邊

7、的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。 它是平行四邊形、 三角形知識(shí)的綜合， 通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來(lái)解決。 輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長(zhǎng)兩腰（5）過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對(duì)角線（7）連接梯形一頂點(diǎn)

8、及一腰的中點(diǎn)。（8）過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。（9）作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中， 添加的輔助線并不一定是固定不變的、 單一的。通過輔助線這座橋梁， 將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來(lái)解決，這是解決問題的關(guān)鍵。4.圓中常用輔助線的添法在平面幾何中， 解決與圓有關(guān)的問題時(shí)， 常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線， 架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法， 對(duì)提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。（1）見弦作弦心距3有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑） ，通過垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系

9、。（2）見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用 " 直徑所對(duì)的圓周角是直角 " 這一特征來(lái)證明問題。（3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，利用 " 切線與半徑垂直 " 這一性質(zhì)來(lái)證明問題。（4）兩圓相切作公切線對(duì)兩圓相切的問題， 一般是經(jīng)過切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線， 通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。（5）兩圓相交作公共弦對(duì)兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。4作輔助線的方法一：

10、中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線； 另一種輔助線是過中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線， 可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn) 180 度，得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等， 有時(shí)邊角互相配合， 然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度， 就可以得到全等形， 這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。 其對(duì)稱中心，因題

11、而異，有時(shí)沒有中心。故可分 “有心 ”和“無(wú)心 ”旋轉(zhuǎn)兩種。 四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等， 欲證線段或角的和差積商， 往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣： “造角、平、相似，和差積商見。 ”托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切） ，或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心

12、線或內(nèi)外公切線。 七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線， 那么輔助線是過切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角； 相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形， 那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓， 或半圓；相反，條件中有半圓， 那么在直徑上找圓周角 直角為輔助線。 即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等， 所夾的弦亦相等， 距離和所夾的弦都可視為輔助

13、線，反之，亦成立。 有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。5九：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積） ，往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即 “割補(bǔ) ”有二百多種，大多數(shù)為 “面積找底高，多邊變?nèi)?”。6三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)， 可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三角

14、形三邊的不等關(guān)系證明，如：證明：（法一）將 DE 兩邊延長(zhǎng)分別交 AB 、AC 于 M 、N，在AMN中， AM AN MD DENE;（1）在BDM中，MB MD BD；（2）在CEN 中，CNNECE；（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得：AM AN MB MD CNNEMD DENEBDCEAB AC BD DE EC BNC A E C DB圖圖（法二：）如圖 1-2， 延長(zhǎng) BD 交 AC 于 F，延長(zhǎng) CE 交 BF 于 G，在ABF 和GFC 和GDE 中有：AB AF BD DGGF （三角形兩邊之和大于第三邊） （1）GFFC GE CE（同上） ,（ 2）DG GE DE（同

15、上） ,（ 3）由（ 1）（ 2）（ 3）得：AB AF GF FC DG GEBD DGGFGECEDE ABACBDDE EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)， 可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上， 小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：F 圖C7B證法二：連接 AD ，并延長(zhǎng)交 BC 于 F BDF 是ABD 的外角 BDF BAD ，同理， CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即： BDC BAC 。置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)分析：要證 BE

16、 CF EF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須一個(gè)三角形中，而由已知 1 2， 3 4，可在角的兩邊截角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF 移到同一個(gè)三角形中。證明：在 DA 上截取 DN DB ，連接 NE，NF，則 DN DC，在 DBE 和DNE中：A 造全等三角形，如：E 把 BE，CF，EF 移到同取相等的線段，利用三BD 圖C輔助線的作法 )已知公共邊 DBE DNE（ SAS）BENE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得： CF NF在EFN 中 ENFN EF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE CFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)， ?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段， 構(gòu)造全等三角

17、形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。證明：延長(zhǎng) ED 至 M ，使 DM=DE ，連接CM ，MF 。在 BDE 和 CDM 中，A中點(diǎn)的定義)對(duì)頂角相等輔助線的作法 BDE CDM（SAS）EFBDC81 2 3 4 180°（平角的定義） 3 2=90°，即： EDF 90° FDM EDF 90°在EDF 和MDF 中輔助線的作法 )已證 )公共邊 EDF MDF（ SAS）EF MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 CMF 中， CF CM MF （三角形兩邊之和大于第三邊）B

18、ECF EF注：上題也可加倍 FD，證法同上。 注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。分析：要證 AB AC 2AD ，由圖想到： AB BD AD,AC CD AD ，所以有 AB AC BD CD AD AD 2AD ，左邊比要證結(jié)論多 BD CD，故不能直接證出此題，而由 2AD 想到要構(gòu)造 2AD ，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角A證明：延長(zhǎng) AD 至 E，使 DE=AD ，連接 BE，則 AE 2AD AD 為ABC 的中線 （已知）BDCD（中線定義）在A

19、CD 和EBD 中 BDC已證 )對(duì)頂角相等 )輔助線的作法 ACD EBD（ SAS）BECA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 ABE 中有： AB BEAE （三角形兩邊之和大于第三邊）ABAC2AD 。圖圖練習(xí)：已知 ABC ，AD 是 BC 邊上的中線，分別以AB邊、 AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證 EF2AD 。9六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。分析：要證： AB AC PBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造在AB 上截取 AN 等于 AC，得 ABAC BN， 再連接 PN，則證明：（截長(zhǎng)法）在 AB 上截取 AN AC連

20、接PN ,在APN和APC 中ND 圖定理證之，因?yàn)橛C第三邊 AB AC ，故可 PCPN，又在 PNB CB輔助線的作法 )已知公共邊 APN APC （SAS）PCPN在 BPN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）中，有 PBPNBN （三角形兩邊之差小于第三邊）BPPCABAC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至 M，使AM AB ，連接PM ，在ABP和 AMP 中輔助線的作法已知 )公共邊 ABP AMP （SAS）PB PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又在 PCM 中有：CM PM PC(三角形兩邊之差小于第三邊)AB AC PB PC。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：D圖C在DBE與CAE 中公共角 )已證

21、)已知 DBE CAE（AAS ） ED ECEB EA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） ED EA EC EB即： ADBC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。分析：圖為四邊形， 我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)， 必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。 證明：連接 AC （或 BD）ABCDAD BC（已知） 1 2， 3 4（兩直線平行，（ASA ）AB CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）B圖九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。分析：要證BD 2CE，想到要構(gòu)造線段2CE ，同時(shí) CE 與將其延長(zhǎng)。證明：分別延

22、長(zhǎng) BA ，CE 交于點(diǎn) F。BECF （已知） BEF BEC90°（垂直的定義）在BEF 與BEC 中，ABC 的平分線垂直，想到要FABE圖C已知 )公共邊 )已證11 BEF BEC（ASA ） CE=FE=1CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 2 BAC=90° BE CF （已知） BAC CAF90° 1 BDA 90°1 BFC90° BDA BFC在ABD 與ACF 中已證已證 )AC( 已知 ABD ACF（AAS ）BDCF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BD2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。分析：要證 A D，可證它們所在的三

23、角形 ABO 和 DCO 全等，而只有 AB DC 和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件， ，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由 AB DC，AC BD，若連接 BC，則ABC 和 DCB 全等，所以，證明：連接 BC，在 ABC 和DCB 中已知 )已知 )公共邊圖 ABC DCB(SSS)A D(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。 DCN 。下面只需證 NBC NCB ，再取 BC 的中點(diǎn) M ，連接 MN ，則由SSS公理有 NBM NCM ，所以 NBC NCB 。問題得證。證明：取 AD ，BC 的中點(diǎn) N、M ，連接 NB ，NM ，NC。則 AN=DN ，BM

24、=CM ，在 ABN和DCN 中輔助線的作法已知 )已知 ABN DCN（ SAS） ABN DCNNB NC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在NBM 與NCM 中 ADBM 圖12NC(已證 )CM( 輔助線的作法 )NM( 公共邊 NMB NCM ，(SSS) NBC NCB （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） NBC ABN NCB DCN 即 ABC DCB 。 13巧求三角形中線段的比值解：過點(diǎn) D 作 DG/AC ，交 BF 于點(diǎn) G所以 DG： FC BD： BC因?yàn)?BD：DC1：3所以 BD：BC1：4即 DG：FC1：4，F(xiàn)C4DG因?yàn)?DG：AFDE：AE又因?yàn)?AE：ED2：3所以

25、 DG：AF3：2即所以 AF： FC： 4DG 1： 6解：過點(diǎn) C 作 CG/DE 交 AB 于點(diǎn) G，則有 EF：GC AF： AC因?yàn)?AFFC所以 AF：AC1：2即 EF：GC1：2，因?yàn)?CG： DE BC： BD又因?yàn)?BC CD所以 BC：BD1：2CG：DE1：2即 DE2GC因?yàn)?FD ED EF 所以 EF：FD解：過點(diǎn) B 作 BG/AD ，交 CE 延長(zhǎng)線于點(diǎn) G。所以 DF：BGCD：CB因?yàn)?BD：DC1：3所以 CD：CB3：4即 DF：BG3：4，因?yàn)樗訟F：BGAE：EBAF：BG2：3又因?yàn)榧碅E：EB2：314所以 AF：DF解：過點(diǎn) D 作 DG/

26、CE，交所以 EF：DGAF：AD因?yàn)?AFFD所以1：2AB于點(diǎn)GAF：AD 1：2圖4即 EF：DG因?yàn)?DG：CE BD ：BC，又因?yàn)镈G：CE1：4，CE4DG因?yàn)?FCCEEF所以 EF：FC 1： 7BD：CD 1：3，所以BD ：BC1：4即練習(xí)：答案： 1、 1： 10；2. 9：115初中幾何輔助線一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。 還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩

27、端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。 斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。圓形半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點(diǎn)

28、圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。 若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。 注意點(diǎn)輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。 虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。16二 由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)

29、稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)： a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)， 一般考慮作垂線； 其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試， 但這種嘗試與律基本之上的， 希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)中大膽地去猜想， 按一定的規(guī)律去嘗試。 下面就所涉及到的輔助線作

30、以介紹。猜想是在一定的規(guī)律，在解決幾何問題幾何中常見的定理圖 1-1B如圖 1-1， AOC= BOC，如取 OE=OF，并連接 DE、DF，則有 OED OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例 1 如圖 1-2，AB/CD ，BE 平分 BCD，點(diǎn) E 在 AD 上，求證：BC=AB+CD 。分析：此題中就涉及到角平分線， 可以利構(gòu)造全等三角形， 即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段BCDCE 平分 BCD，用角平分線來(lái)圖1-2稱圖形，同時(shí)此的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明， 延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。 但無(wú)

31、論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等， 延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等， 截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段 BC 上截取 BF=AB ，再證明 CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng) BE 與 CD 的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。例 2 已知：如圖 1-3，AB=2AC ，BAD= CAD ，DA=DB ，求證 DCAC 17分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。 構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。CAB例 3 已知：如圖 1-4，在 AB

32、C 中， C=2B,AD 平分 BAC ，求證： AB-AC=CD 分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來(lái)證明。試試來(lái)證明呢？練習(xí) 1 =AC2 3 4 AC。已知：在 ABC 中， CAB=2 B，AE 平分 CAB 交 BC 于 E，AB=2AC ，求證： AE=2CE 已知：在 ABC 中， AB>AC,AD 為 BAC 的平分線， M 為 AD 上任一點(diǎn)。求證： BM-CM>AB-AC 已知： D 是 ABC 的 BAC 的外角的平分線 AD 上的任一點(diǎn)，連接 DB、 DC。求證

33、： BD+CD>AB+ 已知在 ABC 中， AD 平分 BAC ， B=CBA中還要用到構(gòu)造全到的是截取法來(lái)證看可否把短的延長(zhǎng)圖 1-42C，求證： AB+BD（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線， 利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問題。例 1 如圖 2-1，已知 AB>AD, BAC= FAC,CD=BC。求證： ADC+ B=180分析：可由 C 向 BAD 的兩邊作垂線。近而證 ADC 與 B 之和為平角。BC例 2 如圖 2-2，在 ABC 中， A=90 ，AB=AC ， A 求證： BC=AB+ADBD=CB

34、D 。圖 2-1 圖 2-3分析：連接 AP，證 AP 平分 BAC 即可，也就是證 P 到 AB 、AC 的距離相等。練習(xí)：1如圖A42-4AOP=BOP=15B3C2，PC/OA，PDOA ，如果 PC=4，則 PD=（）D1 2已知在 ABC 中， C=90 ， AD平分 CAB ，CC。3已知：如圖 2-5, BAC=CAD,AB>AD ， CE AB ，1AE=2（AB+AD ）.求證： D+ B=180 。BDODA圖 2-4AD=1.5,DB=2.5.求 A4.已知：如圖 2-6,在正方形 ABCD 中， E 為 CD 的中點(diǎn)，上的點(diǎn)， FAE= DAE 。求證：

35、AF=AD+CF 。 5F為BC已知：如圖 2-7，在 RtABC 中， ACB=90 ,CDAB ，垂足為 D，AE 平分 CAB交CD于F，過 F 作 FH/AB 交 BC 于 H。求證 CF=BH。DEADB圖 2-6C圖 2-7（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線， 使之與角的兩邊相交， 則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)， 該角平分線又成為底邊上的中線和高， 以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。 （如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交） 。例 1 已知：如圖 3-1，BAD= DAC ，AB&gt

36、;AC,CD AD 于 D，H 是 BC中點(diǎn)。求證： D圖 3-2E.求證： BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線， 可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例 3已知：如圖 3-3 在ABC 中， AD 、 AE 分別 BAC 的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn) B 作 BFAD ，交 AD 的延長(zhǎng)線于 F，連結(jié) FC 并延長(zhǎng)交 AE 于 M 。求證： AM=ME 。分析：由 AD 、AE 是 BAC 內(nèi)外角平分線，可得 EABF/AE ，所以想到利用比例線段證相等。例 4 已知：如圖 3-4，在ABC 中，AD 平分 BAC ，D 交 AD 延長(zhǎng)線于 M 。求

37、證： AM=1（AB+AC ） 2AF，從而有E圖 3-3AD=AB ，CM A分析：題設(shè)中給出了角平分線 AD ，自然想到以 AD 為軸作對(duì)稱變換， 作ABD關(guān)于 AD 的對(duì)稱 AED ，11然后只需證 DM=EC ，另外由求證的結(jié)果 AM= （AB+ 22AC），即 2AM=A 只需證 DF=CFB+AC ，也可嘗試作 ACM 關(guān)于 CM 的對(duì)稱 FCM ，然后即可。練習(xí)： 1已知：在 ABC 中， AB=5 ，AC=3，D 是 BC中點(diǎn)， AE 是 BAC 的平分線，且 CEAE 于 E，連接 DE，求 DE。2已知 BE、 BF 分別是 ABC 的 ABC 的內(nèi)角與外角的平分線，AF

38、BF 于 F，AEBE 于 E，連接1BC 2EF 分別交 AB 、AC于 M、N，求證MN=（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)， 常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1 和圖 4-2 所示。AGBBCI圖 4-1圖 4-220例 4 如圖， AB>AC, 1=2，求證： AB AC>BD CD。例 5 如圖， BC>BA ，BD 平分 ABC ，且 AD=CD ，求證： A+ C=180。例 6 如圖，AB CD，A

39、E 、DE 分別平分 BAD 各 ADE ，求證：AD=AB+CD 。練習(xí)：1. 已知，如圖， C=2A ，AC=2BC 。求證： ABC 是直角三角形。2已知：如圖， AB=2AC ， 1= 2， DA=DB ，求證： DC AC AAB AB EC CBDAB1 C21C3已知 CE、 AD 是ABC 的角平分線， B=60°，求證： AC=AE+CD4已知：如圖在 ABC 中， A=90°，AB=AC ，BD 是 ABC 的平分線，求證： BC=AB+ADD B D C三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到

40、求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條； 2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。 對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 1、 已知如圖 1-1：D、E 為 ABC 內(nèi)兩點(diǎn) ,求證 :AB+AC&gt

41、;BD+DE+CE. 證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB 、AC于M、N，在AMN中，AM+AN>MD+DE+NE; （1） 在BDM 中， MB+MD>BD ；（2） 在CEN中， CN+NE>CE ；（3） 由（ 1）+（ 2）+（ 3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE 22BNC圖ACB圖（法二：圖 1-2）延長(zhǎng) BD 交 AC 于 F，廷長(zhǎng) CE 交 BF 于 G，在 ABF 和GFC 和GDE 中有： AB+AF>BD+DG+GF （三角形兩邊之和大于第三邊） （1） GF+

42、FC>GE+CE （同上）（2） DG+GE>DE （同上）（3） 由（ 1）+（ 2）+（ 3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE AB+AC>BD+DE+EC 。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)BAF 圖C角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊， 構(gòu)造三角形， 使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖 2-1：已知 D 為ABC 內(nèi)的任一點(diǎn)，求證： BDC> BAC 。因?yàn)?BDC 與 BAC 不在同個(gè)三角

43、形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使 BDC 處于在外角的位置， BAC 處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng) BD 交 AC 于點(diǎn) E，這時(shí) BDC 是EDC 的外角， BDC> DEC，同理 DEC> BAC ， BDC> BAC 證法二：連接 AD ，并廷長(zhǎng)交 BC 于 F，這時(shí) BDF 是ABD 的 外角， BDF> BAD ，同理，CDF> CAD ， BDF+ CDF> BAD+ CAD ，即：BDC> BAC 。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)， 通常將大角放在某

44、三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖 3-1：已知 AD 為ABC 的中線，且 1=BE+CF>EF。A2,3=4,求證：BE+CF>EF ，可利用三角形三邊關(guān)系定EF 移到同一個(gè)三角形中，而由已知 1=2，3= 4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角把 EN，F(xiàn)N，EF 移到同個(gè)三角形中。BE理證明，須把 BE， CF，D 圖C 形全等對(duì)應(yīng)邊相等，證明：在 DN 上截取 DN=DB ，連接 NE，NF，則 DN=DC ， 在 DBE 和NDE 中： DN=DB （輔助線作法） 1=2（已知）23 DBE NDE （SAS）BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得： CF=NF在EFN 中 EN+FN&g