2020高考文數(shù)總復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)47橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

1、課后限時(shí)集訓(xùn)（四十七）橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)（建議用時(shí)：60 分鐘）A 組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題2 21.已知方程;+ / = 1 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，貝 U 實(shí)數(shù) k 的取值范2 k 2k 1圍是（）1A. 2, 2B . （1,+-）（1 八C. （1,2）D. 2，12 k 0,C 由題意得 2k10,解得 1vkv2故選 C.2k1 2 k,2 22. （2018 惠州二模）設(shè) F1, F2為橢圓X+ 5 = 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在橢圓上,若線段 PF1的中點(diǎn)在 y 軸上，則|的值為（）D 如圖，設(shè)線段 PF1的中點(diǎn)為 M,因?yàn)?0 是 F1F2的中 點(diǎn)，所以 0M PF

2、2,可得 PF2丄 x 軸，|PF2匸,P 卄3. 如圖，底面直徑為 12 cm 的圓柱被與底面成 30角的平面5一144 - 95一95-132a |PF2|=號,帶二尋,故選 D.所截，截口是一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的離心率為（）A.1B. 3C.3D-2A 由題意得122a = Rs30=8 .3(cm),短軸長即 2b 為底面圓直徑 12 cm, c= a2 b2= 2 3 cm,： e= = 故選 A.4以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1,則橢圓長軸長的最小值為（）A. 1B .、2C. 2D. 2 21D 設(shè) a,b,c 分別為橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距,依題

3、意知寸2cb=1? bc= 1,2a= 2 b2+ c22.2bc= 2 2,當(dāng)且僅當(dāng) b= c= 1 時(shí)，等號成立.故5.已知 A（ 1,0）, B 是圓 F: x22x+ y2 11 = 0（F 為圓心）上一動點(diǎn)，線段AB 的垂直平分線交 BF 于點(diǎn) P,則動點(diǎn)2 2x yA.12+1112 2乞=1C.32 =1D 由題意得 |PA|=|PB|,：|FA|+ |PF|= |PB| + |PF|= r = 2.3 AF| = 2,：點(diǎn)P 的軌跡是以 A, F 為焦點(diǎn)的橢圓,且 a= 3, c= 1,： b= . 2,：動點(diǎn) P 的軌2 2跡方程為 x +y= 1,故選 D .二、填空題2

4、2P 的軌跡方程為()2 2X-工=136 352 2x y+=16. （2018 全國卷I改編）已知橢圓 C :字+ 丁 = 1 的一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）,則 C的 離心率為_.咅由題意可知 a2 4= 4,二 a2= 8,即 a=22. C 的離心率 e=2=22.7若直線 x 2y+ 2= 0 經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程為_ .2 2 2:+ y2= 1 或;+ * = 1 令 x= 0 得 y= 1,令 y= 0 得 x= 2,若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為（一 2,0）,則其一個(gè)焦點(diǎn)為（0,1）,2 2此時(shí)橢圓方程為 4+*=1.若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為（0,1）,則其焦點(diǎn)為（一

5、 2,0）,x22此時(shí)橢圓方程為 5+y = 1.8.已知 F1, F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足 MF1MF2= 0 的點(diǎn) M 總在橢圓內(nèi)部， 則橢圓離心率的取值范圍是_.0,22滿足 MF1MF2= 0 的點(diǎn) M 的軌跡是以 F1F2為直徑的圓，若其總在 橢圓內(nèi)部，則有cvb,即 C2vb2,又b2= a2 c2,所以 c2va2 c2,即 2c2va2,所以 e2v2，又因?yàn)?0vev1,所以 0vevf.三、解答題9 分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2與橢圓鄉(xiāng)+y=1 有相同的離心率且經(jīng)過點(diǎn)（2, 3）；（2） 已知點(diǎn) P 在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上， 且 P 到兩焦點(diǎn)的距離分別

6、為 5,3, 過P 且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).2 2 2 2x yy x解（1）由題意，設(shè)所求橢圓的方程為-+ 3 = t1或 4 + 3 =以 t1, t20）,因-2 3 j 32225為橢圓過點(diǎn)（2, .3）,所以 t1= 4+3 =2,或 t2=4 +亍=12.2 2 2 2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x8+土=i或卷+訂=1.3 T2 2由于焦點(diǎn)的位置不確定,所以設(shè)所求的橢圓方程為 a2+治=1(ab0)或2a= 5+ 3,1(9b)，由已知條件得 2c2二 52-32,2解得 a=4, c= 2,所以 b = 12.2 2 2 2故橢圓方程為務(wù)+占=1 或聶+務(wù)=1.2 21

7、0.如圖，橢圓 a2+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分 別為 F1,F2，過 F2的直線交橢圓于 P, Q 兩點(diǎn)，且 PQ 丄 PF1.(1) 若|PF1匸 2 + .2, |PF2匸22,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程；(2) 若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率 e解(1)由橢圓的定義,2a=|PF1|+ |PF2匸(2 + .2)+ (2 .2) = 4,故 a= 2.設(shè)橢圓的半焦距為 c,由已知 PF1丄 PF2,因此 2c= |F1F2|=-：|PF1|2+ |PF2|2=：2+ 22+ 2 22= 2 3,即 c= 3,從而 b= a2 c2= 1.2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2= 1.(2)如

8、圖,連接 F1Q,由橢圓的定義,|PF1| + |PF2|= 2a,|QF11+ |QF2| = 2a.從而由 |PF1| = |PQ| = |PF2| + |QF2|,有 |QF1| = 4a 2|PF1|.2 2又由 PFi丄 PQ, |PFi|= |PQ|,知|QFi匸 2|PFi|,因此，4a 2|PFi|= ,2|PFi|,得|PFi|= 2(2 2)a,從而 |PF2匸 2a |PFi| = 2a 2(2 , 2)a= 2(, 2- 1)a由 PFi丄 PF2,知|PFif+ |PF2|2=|FIF2|2=(2C)2,CA/|PFi|2+ |PF2 因此 e=L=- 2，2?+2

9、1=9 6,2= 6 3.B 組能力提升1. （2019 湖北八校聯(lián)考）如圖， 已知橢圓 C 的中心為 原點(diǎn) O,F（ 5,0）為 C 的左焦點(diǎn)，P 為 C 上一點(diǎn)，滿足|OP|=|OF 且|PF|= 6,則橢圓 C 的方程為（）2 2宀+幺=1A.36+1612 2x _y_ B 40+15=12 2C.49+24=12 2DX- + = 1D- 45+2012由橢圓的定義,得|PF|+|PF匸 2a = 6+ 8= 14,從而 a= 7, a = 49,2 2于是 b2= a2C2=49 52= 24,二橢圓 C 的方程為話+ = 1,故選 C.2aC 由題意可得C=5,設(shè)右焦點(diǎn)為 F,連

10、接 PF由 |0P|= |0F|= |OF T知，ZPFF =ZFPO,ZOF P=ZOPF ,:丄PFF+ZOPF,AZFPO +ZOPF = 90 即PF 丄 PF .在 RtAPFF 中，由勾股定理，得|PF|FF I2|PF|2= 102 62= 8,解(i)若/FiAB= 90則厶 AOF2為等腰直角三角形，所以有 OA= OF2,2 22. (2019 南昌重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)橢圓 C: a2+皆 10, b0)的左、右焦 點(diǎn)分別為Fi, F2,點(diǎn) E(0, t)(0vtvb).已知動點(diǎn) P 在橢圓上，且點(diǎn) P, E, F2不共線，若 PEF2的周長的最小值為 4b,則橢圓 C 的離心

11、率為()宀B .乎52A 如圖，連接 EFi, PFi,則|EFi|=|EF2|,所以 PEF2的周長 I = |PE|+ |EF2|+ |PF2|= |PE| + |EFi| + |PF2|,因?yàn)?|PE| + |EFi| |PFi| ,所以 PEF2的周長I |PFi|+ |PF2|,因?yàn)閨PFi|+ |PF2|= 2a,所以 I 2a,因PEF2的周長的最小值為 4b,所以 2a= 4b,即 a= 2b,所以 c3= a2- b2= 3b2,所以 c= 3b,所以橢圓 C 的離心率 e= = 故選 A.324.已知橢圓拿+=i(ab0), Fi, F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A 為橢圓的上頂點(diǎn)，直線 AF2交橢圓于另一點(diǎn) B.若/ FiAB= 90求橢圓的離心率;T T3若 AF2= 2F2B, AFiAB= 2 求橢圓的方程.2 23設(shè)P是橢圓 2X5+y=(x+ 4)2+ y2= i 和(xi 上一點(diǎn)，M , N 分別是兩圓:即 b = c.所以 a= 2c, e=由題知 A(0, b), Fi( c,0),F2(C,0),其中 c= a2 b2,設(shè) B(x, y).由 AF2= 2F2B,得(c,