微積分二期末復習

1、期末復習指導- 10 - 第五章 不定積分1.積分的概念、性質(zhì)若，則稱是的一個原函數(shù)。不定積分與導數(shù)或微分互為逆運算。（1） 不定積分的導數(shù)（或微分）等于被積函數(shù)（或被積表達式）：（2） 對一個函數(shù)的導數(shù)（或微分）求不定積分，其結(jié)果與這個函數(shù)僅相差一個積分常數(shù)：。2.不定積分和定積分的第一類換元法 注：（1）第一換元法又稱為“湊微分法”（即“湊”復合函數(shù)的中間變量的導數(shù)），可以不設(shè)代換完成； （2）不定積分與積分變量有關(guān)，故需要“回代”變量；而定積分與積分變量無關(guān)，運算時不需要“回代”；3.不定積分、定積分的第二類換元法a、根式代換題型：被積函數(shù)中含有根式的形式（被開方式為線性函數(shù)）解題思路：

2、“去根號”；解題方法：令，解出，有； 特別地，解出，有；代換原則：由左至右、依次代換、一次完成；b、代換題型：被積函數(shù)中含有根式的形式（被開方式為線性二次函數(shù)）解題思路：“去根號”；解題方法：（1） 含有的形式：令，有；（2） 含有的形式：令，有；（3） 含有的形式：令，有；代換原則：由左至右、依次代換、一次完成；例題：注：不定積分與積分變量有關(guān)；而定積分與積分變量無關(guān)。4.不定積分、定積分的分部積分法a、不定積分的分部積分公式：；定積分的分部積分公式：。b、上式中的的“優(yōu)先次序”：例題：1、 2、 3、4、 5 67第六章 定積分1. 理解定積分的概念，知道定積分與不定積分的區(qū)別。函數(shù)的不定

3、積分是求導和求微分運算的逆運算。函數(shù)在上的定積分是一個和式的極限，是一個確定的數(shù)，這個數(shù)只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)。2. 理解并記住定積分的基本性質(zhì)。3. 理解變上限定積分的概念，熟練掌握求變上限定積分的導數(shù)的方法： 4. 熟練掌握用牛頓萊布尼茲公式求定積分的方法。 牛萊公式將定積分與不定積分這兩個截然不同的概念聯(lián)系起來，求定積分的值，只需求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，再應(yīng)用牛萊公式即可。因而計算定積分也與求不定積分類似，有直接積分法，換元積分法，分部積分法。5. 熟練掌握定積分的換元積分法，分部積分法。注意：用換元法求定積分時，換元必換限，無需還元；若是湊微分而不顯示“換元”，則積分限不作變換。

4、 定積分適用分部積分的類型及、的選擇都與不定積分類似，唯一的區(qū)別是定積分的分部積分公式中每一項都帶著積分上、下限，而且為了減少出錯，要及時計算出的值。6. 熟記奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分的性質(zhì)。7熟練掌握用定積分求平面圖形的面積及平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。8.廣義積分的定義和求解。例題：1 求，其中2 1已知 , 求 3判斷的斂散性若收斂，求其值4判斷的斂散性 若收斂，求其值5已知，對于給定的，計算6. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且滿足，試求7. 已知在上連續(xù)，試證：8曲線，圍成一封閉的平面圖形，試求：1）該圖形的面積；2）該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積9 1）寫出定積分的數(shù)學

5、定義；2）已知某地區(qū)居民各自的稅前收入（單位：十萬元）介于到之間。收入為的居民占總?cè)藬?shù)的比例為，并且需要繳納個人所得稅，試求該地區(qū)居民的稅后人均收入10. 按照“分割、近似代替、求和、取極限”的四個步驟，計算由拋物線，直線，以及軸所圍成的平面圖形的面積.(6分)第八章 多元函數(shù)1.理解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域；2.熟練掌握二元函數(shù)一階及二階偏導數(shù)的計算，會求二元函數(shù)的全微分；3.熟練掌握多元復合函數(shù)的鏈式求導法，特別是抽象復合函數(shù)的偏導數(shù)求導法；4.熟練掌握利用多元復合函數(shù)求導法導出的隱函數(shù)求導公式： 若可確定隱函數(shù)則 求 時，均視為地位平等的自變量。即求時，視為常數(shù)，其余類似。5

6、.掌握二元函數(shù)極值的概念及判斷法,能熟練用拉格朗日乘數(shù)法求多元(二, 三元)函數(shù)的條件極值.6. 理解二重積分的概念，掌握并理解二重積分的基本性質(zhì)；7.熟練掌握二重積分在直角坐標系下化為二次積分進行計算的方法，并能熟練把一種次序的二次積分交換為另一種次序的二次積分。8.會用二重積分求平面區(qū)域的面積。例題：1.設(shè)，求2. 已知，求3設(shè)由方程所確定，求4求，其中5試求由曲面，所圍成的封閉立體的體積6設(shè)由方程所確定試求：（7分）1）；2）的近似值（結(jié)果保留至小數(shù)點后兩位）7求的極值，并指明極大值還是極小值（6分）8求，其中由，圍成（6分）9交換積分次序，并計算出結(jié)果（6分）10（8分）漂流到孤島上的

7、魯濱遜為了生存，需要在椰子采摘與捕魚兩項食物獲取活動上分配精力。魯濱遜的健康水平記為，其收獲的椰子和魚的數(shù)量分別記為和，三者之間滿足。受制于自身的技能與自然資源，他能夠獲取的椰子和魚在數(shù)量上滿足。試問：椰子采摘量和魚的捕撈量各自多少時，能為魯濱遜帶來最高的健康水平？11. 某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號的產(chǎn)品，投入固定成本10（萬元）。設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種型號的產(chǎn)品分別為（件）和（件），且這兩種產(chǎn)品的邊際成本分別為（萬元/件）和（萬元/件）,兩種產(chǎn)品的總收益為. （1）求甲、乙兩種型號產(chǎn)品的總成本。（2）當甲、乙兩種型號的產(chǎn)品分別為多少件時，總利潤最大，并求出最大利潤。第七章 無窮級數(shù)1. 理解

8、級數(shù)的基本概念； 記住級數(shù)的基本性質(zhì)，特別是：若級數(shù)收斂，則必有，但時，級數(shù)未必收斂。2. 熟記等比級數(shù) 的斂散性：當|q|<1時，等比級數(shù)收斂到；當|q|1時，等比級數(shù)發(fā)散。3. 熟記p級數(shù) 的斂散性：當p>1時，p級數(shù)收斂；當p1時，p級數(shù)發(fā)散。4. 熟練掌握正項級數(shù)收斂性的判定。(1)首先考察是否有，若有則必發(fā)散；(2)通?？上瓤紤]用比值判別法判定正項級數(shù)的收斂性，特別是中含或的情形。(3)考慮用比較判別法時，應(yīng)先對通項作初步估計，再用適合的p級數(shù)的通項與之比較作出判定。5.熟練掌握交錯級數(shù) 絕對收斂還是條件收斂的判定。(1)先考查是否收斂，若收斂，則 是絕對收斂；(2)若

9、發(fā)散，則用萊布尼茲判別法判定 是否收斂，若收斂，則為條件收斂。6. 會求冪級數(shù)的收斂域。(1) 對不缺項的冪級數(shù)（允許缺有限項），取其后項與前項系數(shù)之比的絕對值取極限：確定收斂半徑及收斂區(qū)間。 對有缺項的冪級數(shù)（指缺無限多項），則直接取其后項與前項之比的絕對值取極限：然后根據(jù)定理,確定收斂半徑R及收斂區(qū)間。(2) 討論(-R, R)的端點 及處級數(shù)的收斂性，并寫出收斂域(收斂區(qū)間加收斂的端點)。7. 熟記冪級數(shù)的性質(zhì)，特別是冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項微分、逐項積分的性質(zhì)，并能應(yīng)用它們及如下公式求冪級數(shù)的和函數(shù)。 (1)(2) 例題：1、（8分）判定級數(shù)的斂散性若收斂，指明是絕對收斂還是條件收斂2、（8分）設(shè)有冪級數(shù)，試求：1）該級數(shù)的收斂域；2）該級數(shù)在收斂域上的和函數(shù)3判定級數(shù)的斂散性若收斂，指明是絕對收斂還是條件收斂（8分）4對于冪級數(shù)，試求：（8分）1）該級數(shù)的收斂域；2）該級數(shù)在收斂域上的和函數(shù)5. 對于冪級數(shù)，試求：1）該級數(shù)的收斂