人口指數(shù)增長模型和Logistic模型學(xué)習(xí)資料

1、根據(jù)美國人口從1790年到1990年間的人口數(shù)據(jù)(如下表)，確定人口指數(shù)增長 模型和Logistic 模型中的待定參數(shù)，估計(jì)出美國2010年的人口，同時(shí)畫出擬合 效果的圖形。Logistic模型：x t = 一1Xm1 ex丿-Xt表1美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年份1790180018101820183018401850人口( X106)3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口( X31.438.650.262.976.092.0106.106)5年份193019401950196019701980人口( X123.131.150.

2、179.204.226.106)277305提示：指數(shù)增長模型：x(t) =x°e"解：模型一：指數(shù)增長模型。Malthus模型的基本假設(shè)下，人口的增長率為常數(shù)， 記為r，記時(shí)刻t的人口為x(t)，(即x(t)為模型的狀態(tài)變量)且初始時(shí)刻的人了-dx rx口為x0，因?yàn)閐t由假設(shè)可知x(t)=x0e"經(jīng)擬合得到:y = a1ta2a?r = a1,= e、x(0) = X。x(t) = x0ert=- In x(t) = In x0 rty = In x(t),c = r ,a2 = In 怡程序：t=1790:10:1980;x(t)=3.95.3 7.2 9.

3、6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2) x1=xO.*exp(r.*t); plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 結(jié)果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214x0= 1.2480e-016所以得到人口關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為：x(t) =x°e0.0214t，其中x0 = 1.2480e-016 ,輸

4、入：t=2010;x0 = 1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529 。即在此模型下到 2010年人口大約為598.3529106模型二：阻滯增長模型(或Logistic 模型)由于資源、環(huán)境等因素對人口 增長的阻滯作用，人口增長到一定數(shù)量后，增長率會(huì)下降，假設(shè)人口的增長率為 x的減函數(shù)，如設(shè)r(x)二r(1 x/Xm)，其中r為固有增長率(x很小時(shí))，Xm于是得到如下微分方程:為人口容量(資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量)，1-dxx .rx(1 )* dtXm、x(0) =Xo建立函數(shù)文件curvefit_fun2.mfun ctio n

5、 f=curvefit_f un2 (a,t)f=a丿(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a (2) *(t-1790);在命令文件 main.m中調(diào)用函數(shù)文件 curvefit_fun2.m%定義向量(數(shù)組)x=1790:10:1990;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 .92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;plot(x,y,'*',x,y); %畫點(diǎn)，并且畫一直線把各點(diǎn)連起來hold on;a0=0.001,1; % 初值%最重要

6、的函數(shù)，第1個(gè)參數(shù)是函數(shù)名(一個(gè)同名的m文件定義)，第2個(gè)參數(shù)是初值，第3、4個(gè)參數(shù)是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)a=lsqcurvefit('curvefit_fu n2',a0,x,y);disp('a=' nu m2str(a); %顯示結(jié)果%畫圖檢驗(yàn)結(jié)果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_f un 2(a,xi);plot(xi,yi,'r');%預(yù)測2010年的數(shù)據(jù)x仁 2010;y仁 curvefit_fu n2(a,x1)hold off運(yùn)行結(jié)果：a=311.95310.02798178y1 =267.1947其中a(1)、a(2)

7、分別表示x txm中的Xm和r , y1則是對美國美1+ 如_1 /丿國2010年的人口的估計(jì)。第二題: 問題重述：一垂釣俱樂部鼓勵(lì)垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給與鼓 勵(lì)，俱樂部只準(zhǔn)備了一把軟尺用于測量，請你設(shè)計(jì)按照測量的長度估計(jì)魚的重量 的方法。假定魚池中只有一種鱸魚，并且得到8條魚的如下數(shù)據(jù)(胸圍指魚身的 最大周長)：身長(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸圍(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6問題分析:鱸魚的體重主要與魚的身長、胸圍有關(guān)系

8、。一般來說，鱸魚的胸圍越大，魚 的體重會(huì)越重，身長越長，體重也越重。但魚的胸圍與身長之間又有些必然的聯(lián) 系，共同影響魚的體重。建模的目的是尋求鱸魚體重與身長、 胸圍之間的數(shù)量規(guī) 律模型假設(shè)：1、鱸魚的身長越長體重越重，體重與身長存在正相關(guān)關(guān)系；2、鱸魚的胸圍越大體重也越重，體重與胸圍存在正相關(guān)的關(guān)系；3、鱸魚的胸圍、身長互相影響，共同作用鱸魚的體重；4、鱸魚的形態(tài)近似為與胸圍等周長與身長等高的圓柱體。符號說明：L鱸魚的身長C鱸魚的胸圍W鱸魚的體重模型的建立及求解：（一）、鱸魚體重與身長模型的確立為了研究鱸魚身長與體重的關(guān)系，我們利用已測量的數(shù)據(jù)，取出身長及體重 的數(shù)據(jù)，利用MATLAB件畫出散

9、點(diǎn)圖，如下：從圖形上看，鱸魚的體重與身長可能是二次函數(shù)關(guān)系，我們利用多項(xiàng)式擬合的方法，得到：W =1.6247*L2-59.3124*L +709.7392身長與體重?cái)M合圖根據(jù)擬合的函數(shù)，我們畫出擬合圖：2000180016004+1400120010008006004002003032343638404244464850從擬合圖上看，大部分原始數(shù)據(jù)在擬合函數(shù)附近，說明用二次函數(shù)擬合的效果較好，下面利用得出的函數(shù)對魚的體重進(jìn)行估計(jì)， 用相對誤差檢驗(yàn)擬合度，得到下表：表一、鱸魚體重實(shí)際值與估計(jì)值對比及誤差表身長（cm）31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g）48

10、248245465273776511621389擬合值（g）466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相對誤差（%3.20.445.73.444.935.753.570.86從表中的數(shù)據(jù)，我們可以得出鱸魚體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對誤差不大, 說明用二次函數(shù)擬合鱸魚身長與體重的關(guān)系式可行的。（二）、鱸魚體重與胸圍的模型確立僅僅考慮鱸魚胸圍對體重的影響，我們采用與模型一相同的方法，先畫出鱸 魚體重與胸圍的散點(diǎn)圖：從圖形上看，鱸魚體重與胸圍可能成線性關(guān)系，利用多項(xiàng)式擬合的方法，我們得精品文檔到鱸魚體重與胸圍的函數(shù)表達(dá)式：W =92*C-1497.5(2)胸圍

11、與體重?cái)M合圖根據(jù)擬合函數(shù)(2),畫出胸圍與體重關(guān)系的擬合圖：2200200018001600+1400120010008006004002002022242628303234363840利用擬合函數(shù)及實(shí)際數(shù)據(jù)，求出實(shí)際值與擬合值得相對誤差表:表二、鱸魚體重實(shí)際值與估計(jì)值對比及誤差表胸圍（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g）48248245465273776511621389擬合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對誤差（%4.131.607.866.556.392.507.982.81從鱸魚

12、胸圍與體重的擬合圖，及表二中的數(shù)據(jù)，我們可以得出用線性函數(shù)擬合胸圍與體重的關(guān)系擬合程度高，鱸魚體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對誤差不大, 說明用線性函數(shù)擬合鱸魚身長與體重的關(guān)系式可行的。（三八 建立體重與身長、胸圍相互影響的模型實(shí)際情況下，鱸魚的體重不可能只由身長、胸圍單方面影響，因此考慮建立 身長、胸圍共同作用體重的模型。此模型的建立是基于假設(shè)，（4），即：鱸魚的體態(tài)用與胸圍等周長，與身 長等高的圓柱形來近似。因?yàn)閳A柱體的體積等于底面積乘高，底面積可以用周長C2表示：.因此可以分析得出W=LC2.又物體質(zhì)量等于密度與體積的乘積，因4兀此只需根據(jù)數(shù)據(jù)求出密度即可。于是身長、胸圍與體重的關(guān)系可以表示為：W = : LC2，問題轉(zhuǎn)化為對系數(shù):-的求解。根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用MATLAB件求解， 得到：-0.0327（ 3）2W =0.0327LC因此,（4） 利用得出的函數(shù)對魚的體重進(jìn)行估測并