第2章 一維勢場中的粒子：習題解答

1、第2章 一維勢場中的粒子 習題2.1 在三維情況下證明定理1-2。證明：實際上，只要在教材上對一維情形的證明中將一維變量x換為三維變量即可。習題2.2 方程 的一般解亦可寫為如下形式： 或 試分別用這兩個一般解求解一維無限深勢阱。解：方法1：令勢阱內一般解為 ，代入邊界條件有 ，解得： ，有所以：歸一化可求得：且有：方法2：令勢阱內一般解為，代入邊界條件有解得所以：歸一化可求得：且有：習題2.3 設質量為的粒子在勢場 中運動，求定態(tài)Schrödinger方程的解。解：方法1：本問題與一維中心不對稱無限深勢阱的差別僅在于坐標原點的選擇，將教材中式（2.6）中的坐標x換為x+a/2即得到

2、本問題的解為： ,n=1,2,3 由定理2可知，本問題中的波函數應該具有確定的宇稱。討論如下：當n=2k為偶數時，為關于x的奇函數，此時波函數為奇宇稱；當n=2k+1為奇數時，為關于x的偶函數，此時波函數為偶宇稱；方法2：本題也可在不預先考慮宇稱的情況下直接求解，過程如下：1寫出分區(qū)的定態(tài)Schrödinger方程由前面提到的，當V0時，=0故阱外波函數為零，即（x）=0, |x|a/22、引入參數簡化方程，得到含待定系數的解，令則阱內定態(tài)Schrödinger方程為：(x)+k2=0由此得阱內的通解為：式中A、B為待定常數。 3、由波函數標準條件確定參數k，并代入(x)。

3、 既然阱外的波函數(x)=0，由波函數的連續(xù)性條件可得(-a2)= (a2)=0即 可解得， n=1,2,3, 歸一化，可得到 方法3：本題也可在預先考慮宇稱的情況下直接求解，過程如下：1寫出分區(qū)的定態(tài)Schrödinger方程由前面提到的，當V0時，=0故阱外波函數為零，即（x）=0, |x|a/22、引入參數簡化方程，得到含待定系數的解，令則阱內定態(tài)Schrödinger方程為：(x)+k2=0由此得阱內的通解為：(x)=Asinkx+Bcoskx, |x|<a/2式中A、B為待定常數。 3、由波函數標準條件確定參數k，并代入(x)。 既然阱外的波函數(x)=0，

4、由波函數的連續(xù)性條件可得(-a2)= (a2)=0即得它的解為： 或 由兩組解可得， n=1,2,3,對于第一組解，n為奇數；對于第二組解，n為偶數?？紤]到勢函數關于坐標原點對稱，波函數必有確定的宇稱，由此可得到偶宇稱或奇宇稱波函數為： 或 上邊兩組解可合并為一個式子，即 歸一化，可得到 習題2.4 二維無限深方勢阱問題x設質量為的粒子在勢場中運動，求束縛態(tài)解。解：由前面的知識可以知道當粒子處于V(x,y)= 時，則粒子的波函數為零，即(x,y)=0 (x,y) (0,a1 ),(0,a2 ) 粒子在(x,y)(0,a1),(0,a2)內的Schrödinger方程即：利用變量分離法

5、，可以將粒子在二維方勢阱內的運動化為二個一維運動。即令 (x,y)=X(x)Y(y)將(x,y)=X(x)Y(y)代入上式的Schrödinger方程中，得 令則Schrödinger方程可化為: 則其解為: 由此可設波函數為：(x,y)=Asin(k1x+1)sin(k2y+2) (x,y) (0,a 1),(0, a2) 由邊界條件：(x,0)= (0,y)= (a1 ,y)= (x,a2)=0代入波函數中，得 ,故可取 (x,y)=Asink1xsink2y (x,y) (0,a1),(0,a2)由邊界條件(a1,y)= (x,a2)=0得則得到 k1a1=n1, k

6、2a2=n2 (n1,n2=1,2,3)即 ， 波函數由波函數的歸一化條件得到：得所以，二維無限深方勢阱的波函數為： ， n1,n2=1,2,3能級為：ya2a1a3zx習題2.5 三維無限深方勢阱問題設質量為的粒子在勢場中運動，求束縛態(tài)解。解：由前面的知識可以知道粒子在盒型勢阱以外的波函數為零。即(x,y,z)=0 (x,y) (0,a1),(0,a2),(0,a3)在盒型勢阱內的定態(tài)Schrödinger方程即：利用變量分離法，可以將粒子在三維方勢阱的運動化為三個一維運動。不可穿透的壁就是無限深的勢阱。令(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)代入上式Schröding

7、er方程中，得令則Schrödinger方程可化為：阱內的波函數可設為：(x,y,z)=Asin(k1x+1)sin(k2y+2)sin(k3z+3) (x,y,z) (0,a1),(0,a2),(0,a3)將邊界條件：(0,y,z)= (x,0,z)=(x,y,0)= 0代入波函數中，得 ，故可取 此時波函數可寫為：(x,y，z)=Asink1xsink2ysink3z (x,y,z) (0,a1),(0,a2),(0,a3)由邊界條件，(a1,y,z)= (x,a2,z)= (x,y,a3)=0代入波函數中，得： (n1,n2,n3=1,2,3) (n1,n2,n3=1,2,3)

8、所以： 由歸一化條件得出，即，三維無限深勢阱的波函數為： n1,n2,n3=1,2,3能級：習題2.6 一維高低不對稱方勢阱問題如圖，設質量為的粒子在勢場中運動，求束縛態(tài)情形（0<E<V1<V2）定 態(tài)Schrödinger方程的解。 解：寫出分區(qū)的定態(tài)Schrödinger方程 （1）令， （2）則分區(qū)的定態(tài)Schrödinger方程為： （3） 考慮到，可將設各分區(qū)域的通解為：I:II:III: （4）式中A、B、C、D為待定常數。由波函數的連續(xù)性條件可得到： （5）若要A、B、C、D有不全為零的解，則k1、k2和k3必須滿如下方程： （6）

9、此外有： （7） （8）粒子的能級由上述方程確定。1. 先確定粒子的能級令可將上述方程組寫為： 粒子的能級可由上述三個方程聯立解出。記，消將上述方程中的z變量，有量級估計：設所考慮的為電子，在寬為原子大?。?010m）的勢阱中運動，V1100eV則。分別取，作圖，有：圖2 確定能級的方程的圖示可見，兩條曲線有一個交點，即粒子有一個能級，借助于Mathematica軟件，容易求得交點坐標為：（x1,y1）（0.180782,0.983523）即此時粒子的能級為： 類似地，可以求出其它情形。2.再考慮歸一化波函數由方程組（5），可以得到：代入（4），有：由歸一化條件，可求得： 3.下面討論各區(qū)間的

10、概率密度：將（x1,y1）（k1a，k2a）（0.180782,0.983523）及k3a0.180783并取|A|21，有 其概率分布情形如圖： 圖3 勢阱中粒子的概率分布可以看出，電子到達經典禁區(qū)的概率相當大。習題2.7 一維單壁無限高勢阱問題如圖1，設質量為的粒子在勢場中運動，求束縛態(tài)情形（V0<E<0）定態(tài)Schrödinger方程的解。解：寫出分區(qū)的定態(tài)Schrödinger方程 令則各分區(qū)域的通解為式中A、B、C為待定常數。由波函數的連續(xù)性條件可得到：解得： 此外有： 粒子的能級由上述方程確定。2. 先確定粒子的能級令有： 分別取作圖，有： 圖2 確

11、定能級的方程的圖示可以看出，有一個束縛態(tài)的條件是。下面以為例，求解相應的束縛態(tài)能級。如圖圖3 求解能級的方程的圖示借助于Mathematica軟件，容易求得交點坐標為：（1.89549，0.638045）即此時粒子能級為： 類似地，可以求出其它情形。2.再考慮歸一化波函數由歸一化條件，可求得： 所以，一維不對稱有限深勢阱的波函數為：3.下面討論各區(qū)間的概率密度：為了具體看看各區(qū)間的概率分布情況，以2的束縛態(tài)為例， k1a1.89549， k2a0.638045，取a1010m，代入上式得到 其概率分布情形如圖： 圖4勢阱內外粒子的概率分布可以看出，電子到達經典禁區(qū)的概率相當大。計算表明電子到達

12、x>1區(qū)域的概率為54.8。 習題2.8 求基態(tài)線性諧振子在經典界限外被發(fā)現的概率。 解：基態(tài)能量為 設基態(tài)的經典界限的位置為，則有 在界限外發(fā)現振子的概率為 式中為正態(tài)分布函數當。查表得，所以， 即在經典極限外發(fā)現振子的概率為16。 （積分亦可用Mathematica類的數學軟件求得，結果為）習題2.9 求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時概率最大的位置。解： 令，得： 由的表達式可知，時，。顯然不是最大概率的位置。 可見是所求概率最大的位置。 #或：令 ，有 又由 有 所以 為極大值點，（或 而 ，因而 處必為極大值） 習題2.10 試證明是線性諧振子的波函數，并求此波函數對應的能量。 證明

13、：線性諧振子的Schrödinger方程為 把代入上式，有 把代入式左邊，得 可見，是線性諧振子的波函數，其對應的能量為（n3）。習題2.11 帶電q的線性諧振子在均勻電場E中運動，其勢能為 求諧振子的能級和波函數。解：定解問題為: 令 方程可改寫為 結果為： 習題2.12 一粒子在一維勢阱 中運動, 利用諧振子的已知結果求出粒子的能級和波函數。 解：因 ，故n只能取奇數 n=2k+1波函數： 能級為 習題2.13 在勢壘貫穿問題中，若入射粒子能量滿足 E=V0，結果如何？直接求解；在式（2.13）和（2.14）中令EV0，并將結果與的結果進行比較。解：直接求解：按照教材書上傳統(tǒng)的方

14、法討論E=V0時粒子對勢壘的透射率。在各區(qū)間波函數滿足的定態(tài)Schrödinger方程為： () (1) () (2) () (3)令 ，并且當E=V0時，于是上面三個方程變?yōu)椋?() （4） （） （5） () （6）在區(qū)域內，方程的解為： （7）在區(qū)域內，方程的解為： （8）在區(qū)域內，方程的解為： （9）按照公式，定態(tài)波函數是再分別乘上一個含時間因子，就得到向左或向右傳播的平面波。由此很容易看出式（7）第一項是左向右傳播的平面波，第二項是反射波，而在區(qū)域內由于沒有由右向左運動的粒子，因而只應有向右傳播的投射波，所以在式（9）中必有C=0。 再利用波函數及其微商在x=0點和xa點的

15、連續(xù)條件來確定波函數中其他的參數。 當時，由得： （10）當時，由得： （11）當時，由得： （12）當時，由得： （13）聯合（10）到（13）式得到： （14）故投射系數D為： （15）從E>V0或E<V0時的透射系數公式導出E>V0的情況下的透射系數為： （16）（其中，）當即E=V0時，D的分子分母都趨近為0。時，取D的極限值，就可以得到式（15）的結果： （17）討論：上面兩種做法，不論是直接求解，還是將E>V0和E<V0時的結果取極限值，結果是一致的。E=V0時透射系數與勢能函數的關系如圖。V0=0時（即此時的勢壘不存在），粒子直接貫穿，因此它的透射率為1，代入到式（15）或（17），D=1，是相符合的；當時，即此時的勢壘無限高，粒子透射概率為0，代入到式（15）或（17），D=0，也是相符的。習題2.14 設粒子在勢阱V(x)=,