第6講曲線與方程

1、第6講 曲線與方程一、填空題1ABC的頂點(diǎn)A(5,0)、B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_來答案 1(x>3)2 點(diǎn)P到點(diǎn)(1,1)和到直線x2y3的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為_答案 2xy103已知一條曲線在y軸的右方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)A(4,0)的距離減去該點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離之差都是4，則這條曲線的方程是_解析 由題意，曲線上每一點(diǎn)P到點(diǎn)A(4,0)與到直線l：x4距離相等，所以曲線是拋物線，方程為y216x.答案 y216x4 過點(diǎn)P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1與l2分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為_答案 xy105 有

2、一動圓P恒過定點(diǎn)F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點(diǎn)A、B，若ABP為正三角形，則點(diǎn)P的軌跡為_答案 雙曲線6設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為_解析M為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則AMMQ，MCMAMCMQCQ5，由橢圓的定義知，M的軌跡為橢圓a，c1，則b2a2c2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案17若ABC的頂點(diǎn)A(5,0)、B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_解析如圖ADAE8，BFBE2，CDCF，所以CACB826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦

3、點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3)答案1(x>3)8方程|y|1表示的曲線是_解析原方程等價(jià)于或答案兩個(gè)半圓9已知P是橢圓1(ab0)上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動點(diǎn)Q的軌跡方程是_解析由，又22，設(shè)Q(x，y)，則(x，y)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有1，即1(ab0)答案1(ab0)10.已知兩條直線l1：2x3y20和l2：3x2y30，有一動圓(圓心和半徑都動)與l1、l2都相交，且l1、l2被圓截得的弦長分別是定值26和24，則圓心的軌跡方程是_解析設(shè)動圓的圓心為M(x，y)，半徑為r，點(diǎn)M到直線l1，l2的距離分別為d1和

4、d2.由弦心距、半徑、半弦長間的關(guān)系得，即消去r得動點(diǎn)M滿足的幾何關(guān)系為dd25，即25.化簡得(x1)2y265.此即為所求的動圓圓心M的軌跡方程答案(x1)2y265二、解答題11. 如圖，設(shè)P是圓x2y225上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|PD|.(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度解(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)由已知，得點(diǎn)P在圓上，x2225，即點(diǎn)M的軌跡C的方程為1.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y

5、2)將直線方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.線段AB的長度為AB .12拋物線C：yx2在點(diǎn)P處的切線l分別交x軸、y軸于不同的兩點(diǎn)A、B，.當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為D.(1)求曲線D的方程；(2)設(shè)直線l與曲線D的另一個(gè)交點(diǎn)為N，曲線D在點(diǎn)M、N處的切線分別為m、n直線m、n相交于點(diǎn)Q，證明：PQ平行于x軸解(1)對yx2，求導(dǎo)，得y2x.設(shè)點(diǎn)P(x0，x)(x00)，則直線l方程為yx2x0(xx0)，在l方程中分別令y0，x0，得A、B(0，x)設(shè)M(x，y)，即(x，xy)，由此得x03x，x3y，消去x0，得曲線D的方程為y3x2(x0)(2)將y

6、3x2代入直線l方程，并整理得3x22x0xx0，由(1)知，M，設(shè)N(x1，3x)，則x1，x1x0.對y3x2求導(dǎo)，得y6x，于是直線m、n的方程分別為y2x0和y3x6x0(xx0)，即y2x0x和y6x0x3x，由此得點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為x，故PQ平行于x軸13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，P是動點(diǎn)，且POA的三邊所在直線的斜率滿足kOPkOAkPA.(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，且，直線OP與QA交于點(diǎn)M，問：是否存在點(diǎn)P使得PQA和PAM的面積滿足SPQA2SPAM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)為所求軌

7、跡上的任意一點(diǎn)，則由kOPkOAkPA，得，整理，得軌跡C的方程為yx2(x0且x1)(2)設(shè)P(x1，x)，Q(x2，x)，由，可知直線PQOA，則kPQkOA，故，即x2x11，直線OP方程為：yx1x. 直線QA的斜率為：x12.直線QA方程為：y1(x12)(x1)，即y(x12)xx11.聯(lián)立，得x，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值.由SPQA2SPAM，得到QA2AM，PQOA，OP2OM，由2，得x11，P的坐標(biāo)為(1,1)存在點(diǎn)P滿足SPQA2SPAM，P的坐標(biāo)為(1,1).14有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購得商品后，回運(yùn)的費(fèi)用是：每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍，已知A、B兩地間的距離為10千米，顧客選A或選B購買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低，求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購貨地點(diǎn)解 如圖所示，以AB所確定的直線為x軸，AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(5,0)，B(5,0)設(shè)某地P的坐標(biāo)為(x，y)，且P地居民選擇A地購買商品便宜，并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)為3a元/千米，B地的運(yùn)費(fèi)為a元/千米價(jià)格xA地運(yùn)費(fèi)價(jià)格xB地運(yùn)費(fèi)，即3aa.