第6講曲線與方程

1、第6講 曲線與方程一、填空題1ABC的頂點A(5,0)、B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是_來答案 1(x>3)2 點P到點(1,1)和到直線x2y3的距離相等，則點P的軌跡方程為_答案 2xy103已知一條曲線在y軸的右方，它上面的每一點到點A(4,0)的距離減去該點到y(tǒng)軸的距離之差都是4，則這條曲線的方程是_解析 由題意，曲線上每一點P到點A(4,0)與到直線l：x4距離相等，所以曲線是拋物線，方程為y216x.答案 y216x4 過點P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1與l2分別與x、y軸交于A、B兩點，則AB中點M的軌跡方程為_答案 xy105 有

2、一動圓P恒過定點F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點A、B，若ABP為正三角形，則點P的軌跡為_答案 雙曲線6設圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為_解析M為AQ垂直平分線上一點，則AMMQ，MCMAMCMQCQ5，由橢圓的定義知，M的軌跡為橢圓a，c1，則b2a2c2，橢圓的標準方程為1.答案17若ABC的頂點A(5,0)、B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是_解析如圖ADAE8，BFBE2，CDCF，所以CACB826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦

3、點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3)答案1(x>3)8方程|y|1表示的曲線是_解析原方程等價于或答案兩個半圓9已知P是橢圓1(ab0)上的任意一點，F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，則動點Q的軌跡方程是_解析由，又22，設Q(x，y)，則(x，y)，即P點坐標為，又P在橢圓上，則有1，即1(ab0)答案1(ab0)10.已知兩條直線l1：2x3y20和l2：3x2y30，有一動圓(圓心和半徑都動)與l1、l2都相交，且l1、l2被圓截得的弦長分別是定值26和24，則圓心的軌跡方程是_解析設動圓的圓心為M(x，y)，半徑為r，點M到直線l1，l2的距離分別為d1和

4、d2.由弦心距、半徑、半弦長間的關系得，即消去r得動點M滿足的幾何關系為dd25，即25.化簡得(x1)2y265.此即為所求的動圓圓心M的軌跡方程答案(x1)2y265二、解答題11. 如圖，設P是圓x2y225上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|PD|.(1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度解(1)設點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(xP，yP)由已知，得點P在圓上，x2225，即點M的軌跡C的方程為1.(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y

5、2)將直線方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.x1，x2.線段AB的長度為AB .12拋物線C：yx2在點P處的切線l分別交x軸、y軸于不同的兩點A、B，.當點P在C上移動時，點M的軌跡為D.(1)求曲線D的方程；(2)設直線l與曲線D的另一個交點為N，曲線D在點M、N處的切線分別為m、n直線m、n相交于點Q，證明：PQ平行于x軸解(1)對yx2，求導，得y2x.設點P(x0，x)(x00)，則直線l方程為yx2x0(xx0)，在l方程中分別令y0，x0，得A、B(0，x)設M(x，y)，即(x，xy)，由此得x03x，x3y，消去x0，得曲線D的方程為y3x2(x0)(2)將y

6、3x2代入直線l方程，并整理得3x22x0xx0，由(1)知，M，設N(x1，3x)，則x1，x1x0.對y3x2求導，得y6x，于是直線m、n的方程分別為y2x0和y3x6x0(xx0)，即y2x0x和y6x0x3x，由此得點Q縱坐標為x，故PQ平行于x軸13在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,1)，P是動點，且POA的三邊所在直線的斜率滿足kOPkOAkPA.(1)求點P的軌跡C的方程；(2)若Q是軌跡C上異于點P的一點，且，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P使得PQA和PAM的面積滿足SPQA2SPAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由解(1)設點P(x，y)為所求軌

7、跡上的任意一點，則由kOPkOAkPA，得，整理，得軌跡C的方程為yx2(x0且x1)(2)設P(x1，x)，Q(x2，x)，由，可知直線PQOA，則kPQkOA，故，即x2x11，直線OP方程為：yx1x. 直線QA的斜率為：x12.直線QA方程為：y1(x12)(x1)，即y(x12)xx11.聯(lián)立，得x，點M的橫坐標為定值.由SPQA2SPAM，得到QA2AM，PQOA，OP2OM，由2，得x11，P的坐標為(1,1)存在點P滿足SPQA2SPAM，P的坐標為(1,1).14有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后，回運的費用是：每單位距離A地的運費是B地運費的3倍，已知A、B兩地間的距離為10千米，顧客選A或選B購買這件商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低，求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應如何選擇購貨地點解 如圖所示，以AB所確定的直線為x軸，AB中點O為坐標原點建立平面直角坐標系，則A(5,0)，B(5,0)設某地P的坐標為(x，y)，且P地居民選擇A地購買商品便宜，并設A地的運費為3a元/千米，B地的運費為a元/千米價格xA地運費價格xB地運費，即3aa.