量子習(xí)題解答

1、波粒二象性波粒二象性概要概要2、光電效應(yīng)：光電效應(yīng)：Ahmvmax 221紅限頻率紅限頻率v0 = A / h1、光的粒子性、光的粒子性:pcmchE 2 3、康普頓散射：、康普頓散射：X光經(jīng)散射光經(jīng)散射有兩種成分有兩種成分波長波長不變不變波長波長變長變長康普頓散射康普頓散射)cos1(00 cmh(康普頓散康普頓散射公式射公式)2chm hchp 4、德布羅意假設(shè)：、德布羅意假設(shè)：p/h h/E 5、物質(zhì)波波函數(shù)、物質(zhì)波波函數(shù)= (x,y,z,t):(1)單值、有限、連續(xù)單值、有限、連續(xù)(2) |2為概率密度為概率密度.1 )3(2歸歸一一化化條條件件 dxdydz 6、不確定關(guān)系：、不確定

2、關(guān)系：),(2hpxx或或或或 2h 量子物理量子物理概要概要1、黑體輻射、黑體輻射: 普朗克能量子假說普朗克能量子假說（19001900） ：諧振子的能量諧振子的能量 只可能是：只可能是： E =nhv， n = 1, 2 , 3. 普朗克熱輻射公式普朗克熱輻射公式（19001900） ：黑體的光譜輻射黑體的光譜輻射出射度，即在單位時間內(nèi)從單位表面積發(fā)出的頻率出射度，即在單位時間內(nèi)從單位表面積發(fā)出的頻率在在 v附近單位頻率區(qū)間的電磁波的能量為附近單位頻率區(qū)間的電磁波的能量為11.2)(52 kThcBehcTM1.2)(22 kThvBvehvcvTM 或或 斯特藩斯特藩-玻耳茲曼定律玻耳茲

3、曼定律：黑體對所有頻率總的輻黑體對所有頻率總的輻射出射為射出射為s = 5.6710 Wm K - 8b = 2.898 10 m K - 3TCvm KHzCv/10880. 510 維恩位移定律維恩位移定律 ：普朗克公式對普朗克公式對v（ ）求導(dǎo)，）求導(dǎo)，可得維恩位移定律，即光譜輻射出射度最大的光可得維恩位移定律，即光譜輻射出射度最大的光頻率或峰值波長為頻率或峰值波長為 維恩位移定律維恩位移定律 ：普朗克公式對普朗克公式對v（ ）求導(dǎo)，）求導(dǎo)，可得維恩位移定律，即光譜輻射出射度最大的光可得維恩位移定律，即光譜輻射出射度最大的光頻率或峰值波長為頻率或峰值波長為 維恩位移定律維恩位移定律 ：普

4、朗克公式對普朗克公式對v（ ）求導(dǎo)，）求導(dǎo)，可得維恩位移定律，即光譜輻射出射度最大的光可得維恩位移定律，即光譜輻射出射度最大的光頻率或峰值波長為頻率或峰值波長為 光電效應(yīng)（光電效應(yīng)（1921）：）：Ahmvmax 221紅限頻率紅限頻率v0 = A / h 愛因斯坦光量子假說（愛因斯坦光量子假說（1905）:pcmchE 2 康普頓散射（康普頓散射（1923）：）：)cos(cmh 1002chm hchp 2、光的粒子性、光的粒子性:4 4、不確定關(guān)系、不確定關(guān)系(1927)(1927)：),(2hpxx或或或或 2h 5 5、氫原子光譜、氫原子光譜(1913)(1913)2211()( )

5、( )RT mT nmnmnhEE2nnmv rn譜線的波數(shù)譜線的波數(shù)頻率條件頻率條件：角動量量子化條件角動量量子化條件：2/ tE位置動量不確定關(guān)系：位置動量不確定關(guān)系：能量時間不確定關(guān)系：能量時間不確定關(guān)系： 6 6、薛定諤方程薛定諤方程(1926)（一維）（一維）),(,2222txtiUxm 定態(tài)定態(tài)薛定諤方程（一維）薛定諤方程（一維） ：/222)(,2iEtexEUxm 7 7、薛定諤方程舉例（一維）薛定諤方程舉例（一維）一維無限深勢阱中的粒子一維無限深勢阱中的粒子能量量子化能量量子化1222222EnnmaE 德布羅意波長量子化德布羅意波長量子化knan 2/2 類似于經(jīng)典的兩端

6、固定的弦駐波類似于經(jīng)典的兩端固定的弦駐波 .3 , 2 , 1sin2 naxnax 00 xaxa本征函數(shù)本征函數(shù)勢壘穿透：勢壘穿透：微觀粒子可以進(jìn)入其勢能（有限的）微觀粒子可以進(jìn)入其勢能（有限的）大于其總能量的區(qū)域，這是由不確定關(guān)系決定大于其總能量的區(qū)域，這是由不確定關(guān)系決定的。的。 在勢壘有限的情況下，粒子可以穿過勢壘在勢壘有限的情況下，粒子可以穿過勢壘到達(dá)另一側(cè)，這種現(xiàn)象又稱到達(dá)另一側(cè)，這種現(xiàn)象又稱隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)。諧振子諧振子能量量子化能量量子化.3 , 2 , 1 , 0,)21( nhvnE零點(diǎn)能零點(diǎn)能hvE210 8、氫原子：、氫原子：氫原子能級：氫原子能級：422220111

7、3.6 ( e V)2(4)nmeEnn 軌道角動量軌道角動量(1)Ll l軌道角動量沿磁場方向分量：軌道角動量沿磁場方向分量：zLm主量子數(shù)主量子數(shù)n=1,2,3軌道量子數(shù)軌道量子數(shù)l=0,1,2,3,n-1軌道磁量子數(shù)軌道磁量子數(shù)ml=-l,-(l-1),0,1,.,l9、電子自旋、電子自旋(1926)電子自旋角動量電子自旋角動量21,43)1( sssS電子自旋在空間某一方向的投影電子自旋在空間某一方向的投影szmS ms只有只有1/2（向上）和（向上）和-1/2（向下）兩個值，（向下）兩個值，為自旋磁量子數(shù)。為自旋磁量子數(shù)。軌道角動量和電子自旋角動量的合角動量軌道角動量和電子自旋角動量

8、的合角動量2121,)1( ljljjjSLJ和和玻爾磁子玻爾磁子TJmeeB/1027. 9224 電子自旋磁矩在磁場中的能量電子自旋磁矩在磁場中的能量BEBs 10、多電子原子的電子組態(tài)、多電子原子的電子組態(tài)電子的狀態(tài)用電子的狀態(tài)用4 個量子數(shù)個量子數(shù)n,l,ml,ms確定。確定。n相同相同的狀態(tài)組成一殼層，可容納的狀態(tài)組成一殼層，可容納2n2個電子；個電子；l相同相同的狀態(tài)組成一次殼層，可容納的狀態(tài)組成一次殼層，可容納2（2l+1)個電子。個電子?；鶓B(tài)原子電子組態(tài)遵循兩個規(guī)律：基態(tài)原子電子組態(tài)遵循兩個規(guī)律：（1）能量）能量最低最低原理，即電子總處于可能最原理，即電子總處于可能最低的能級。

9、一般低的能級。一般n越大，越大，l越大，能量就越高。越大，能量就越高。（2）泡利）泡利不相容不相容原理原理(1921)，不可能有兩個，不可能有兩個或兩個以上的電子處在同一量子狀態(tài)。即不或兩個以上的電子處在同一量子狀態(tài)。即不能有兩個電子具有相同的能有兩個電子具有相同的n, l, ml , ms。 例例1黑體輻射例題黑體輻射例題實(shí)驗(yàn)測得太陽單色輻出度峰值對應(yīng)的波長實(shí)驗(yàn)測得太陽單色輻出度峰值對應(yīng)的波長 若將太陽當(dāng)作黑體，估算：若將太陽當(dāng)作黑體，估算：490 nm（1）太陽表面的溫度）太陽表面的溫度T。（2）太陽輻出度）太陽輻出度 。解：解： （1）由維恩位移定律得：）由維恩位移定律得：49010_9

10、5.91103( K )2.89810_3（2 2）斯特藩）斯特藩- -玻耳茲曼定律得：玻耳茲曼定律得：5.6710 (5.9110 )_83476.9210( W m )_2例例2 （19屆屆12題）題） 對太陽光譜的強(qiáng)度分析，確認(rèn)對太陽光譜的強(qiáng)度分析，確認(rèn)太陽輻射本領(lǐng)的峰值在太陽輻射本領(lǐng)的峰值在465nm處。將太陽處理為處。將太陽處理為黑體，可知太陽表面溫度為黑體，可知太陽表面溫度為_K，單位面，單位面積上輻射功率為積上輻射功率為_W/m2,(斯忒藩斯忒藩-玻耳茲曼常數(shù)玻耳茲曼常數(shù) 維恩常數(shù)維恩常數(shù)b=2.89810-3mK)。 )Km(105.670428 bT m )K(6232104

11、6510898. 293 mbT （第一空）（第一空） 斯忒藩斯忒藩-玻耳茲曼定律為玻耳茲曼定律為274-840m/W10552. 8)6232(105.670TM（第二空）（第二空）解：解： 由維恩位移定律由維恩位移定律 知知光的粒子性例題光的粒子性例題例例3（ 20屆屆10題）題）能使某種金屬產(chǎn)生光電效應(yīng)的入能使某種金屬產(chǎn)生光電效應(yīng)的入射光最小頻率為射光最小頻率為6.01014Hz,此種金屬的電子逸出此種金屬的電子逸出功為功為_。若在金屬表面上再施加。若在金屬表面上再施加U=3V的反的反電壓，那么可激起光電流的入射光最小頻率為電壓，那么可激起光電流的入射光最小頻率為_。（普郎克常量。（普郎

12、克常量h=6.6310-19C)解：解： EK=hv-A 當(dāng)當(dāng)EK=0時，時，A=hv=3.9810-19(J) （第一空）（第一空）依題意，在金屬表面上施加依題意，在金屬表面上施加U=3V的反向電壓時的反向電壓時:eU=EK=hv-A)(1032. 11063. 61098. 31060. 1315341919HzhAeUv 例例4 ( 14屆屆12題題) 某光電子陰極對于某光電子陰極對于1=491nm的的單色光，發(fā)射光電子電壓為單色光，發(fā)射光電子電壓為0.71V，當(dāng)改取波長，當(dāng)改取波長為為2的單色光時，其遇止電壓升為的單色光時，其遇止電壓升為1.43V，則，則2=_.（電子帶電絕對值為（電

13、子帶電絕對值為e=1.610-19C，普朗克常量為普朗克常量為h=6.6310-34Js）解：由光電效應(yīng)方程：解：由光電效應(yīng)方程：111 hchveuAe 222 hchveuAe )(112112eeuuehc )(382)(1082. 31004. 2108 . 51104911)71. 043. 1(1031063. 6106 . 111)(17679834191212nmmuuhccee 例例5 （5屆屆11題）題）射至光陰極上的光，其波長從射至光陰極上的光，其波長從4000變至變至3000，則發(fā)射出的光電子的遏制電壓，則發(fā)射出的光電子的遏制電壓變化變化_V解：解：1.04VehU 7

14、719834212110411031106 . 11031063. 611 ehcehU遏制電壓：遏制電壓：V04. 10359. 1 例例6 已知已知:解：解：彈碰前系統(tǒng)能量：彈碰前系統(tǒng)能量：彈碰后系統(tǒng)能量：彈碰后系統(tǒng)能量：能量守恒能量守恒: 計(jì)算計(jì)算: 散射光子的波長和反沖電子的動能散射光子的波長和反沖電子的動能.3.0010 +20.002430.5-223.1210 (nm)-26.6310 310 ( ) 10 10-9-3483.003.1222.2510 ( J ) 1.5910 ( ev ) -163例例7 (13屆屆8題題)能量能量62keV的的X射線與物質(zhì)中的電射線與物質(zhì)中

15、的電子發(fā)生康普頓散射，則在與入射線成子發(fā)生康普頓散射，則在與入射線成180角的角的方向上所散射的方向上所散射的X射線的波長是射線的波長是_，電子所，電子所獲得的反沖動能是獲得的反沖動能是_eV。（已知電子的康普。（已知電子的康普頓波長頓波長c=h/mec=0.024)解：解：0.248，12103eVAccEhc0020. 0024. 0625106251062510 X射線電子能量射線電子能量 E=62keV=62/510mec2其中電子能量其中電子能量 mec2=0.51MeV=510keV光子波長光子波長:由康普頓散射公式由康普頓散射公式)cos1(00 cmh0180 00248. 0

16、2Ac 光子散射前光子散射前:0 hcE散射后散射后: hcE EE 0 電子獲得的反沖動能即光子散射前后損失的電子獲得的反沖動能即光子散射前后損失的能量能量:keVEEEE12)248. 02 . 01(62)1(0 解：解： 光子的散射角光子的散射角 時電子獲得的能量最大，時電子獲得的能量最大，電子的反沖速度沿入射光子的運(yùn)動方向電子的反沖速度沿入射光子的運(yùn)動方向.設(shè)設(shè) 為入為入射光的頻率，為散射光的頻率，射光的頻率，為散射光的頻率， 為反沖電子的動為反沖電子的動量。量。 vvepkEvvh )(1epcvhchv 21222ekcpEhv 例例8 （10屆屆11題）題）在一次康普頓散射中，

17、入射光在一次康普頓散射中，入射光子傳遞給電子的最大能量為子傳遞給電子的最大能量為 ，電子的靜止質(zhì)，電子的靜止質(zhì)量為量為 ，則入射光子的能量為，則入射光子的能量為_ 。由動量守恒有由動量守恒有:由由 、 式得式得由能量守恒有：由能量守恒有：kE0m又由相對論的能量動量關(guān)系有又由相對論的能量動量關(guān)系有:故故22022022022)()()()(cmEcmcmEcpkekkEcmE2022).211(220kkEcmEhv 例例9 9 已知?dú)湓邮艿侥芰繛橐阎獨(dú)湓邮艿侥芰繛镋 = = 12.2eV 的電子轟的電子轟擊求擊求氫原子可能輻射的譜線波長。氫原子可能輻射的譜線波長。(eV)-13.6-3.

18、39-1.51-0.54123458-0.85 解：解： 氫原子吸收氫原子吸收 E ,從基態(tài)從基態(tài)E1可能躍遷至某激發(fā)態(tài)可能躍遷至某激發(fā)態(tài) EnE11+E/E1E = En E1 = E1 n2= n1 3= R ( - - )1/ 1/ 3232221321 3232= 6.56310 (m)-7可見可見 2121= 1.21510 (m)-7= R ( - - )1/ 1/ 2121121221紫外紫外 3131= 1.02610 (m)-7= R ( - - )1/ 1/ 3131121321紫外紫外氫原子光譜例題氫原子光譜例題例例10 （20屆屆11題）題）據(jù)玻爾的氫原子理論，氫原子中

19、據(jù)玻爾的氫原子理論，氫原子中電子繞核作圓周運(yùn)動的最小半徑為電子繞核作圓周運(yùn)動的最小半徑為5.2910-11m，此時電子運(yùn)動速度大小為此時電子運(yùn)動速度大小為_,若將此時電子沿若將此時電子沿某直徑方向的位置不確定量取為某直徑方向的位置不確定量取為x1.010-10m,則據(jù)不確定關(guān)系，電子沿該方向的速度不確定量則據(jù)不確定關(guān)系，電子沿該方向的速度不確定量已達(dá)已達(dá)vx_.可見玻爾理論是一種可見玻爾理論是一種“粗糙粗糙”的理論。的理論。（電子質(zhì)量（電子質(zhì)量m=9.1110-31kg)解：電子受的庫侖力為解：電子受的庫侖力為 ，電子作圓周運(yùn)，電子作圓周運(yùn)動的加速度為動的加速度為v2/r，由牛頓第二定律知，由

20、牛頓第二定律知rvmre22024 2024re)/(1019. 21011. 91029. 51085. 841060. 146311112190smrmev （第一空）（第一空） 不確定關(guān)系為不確定關(guān)系為hxvmxpxx)/(1028. 7100 . 11011. 91063. 68103134smxmhvx （第二空）（第二空）解：解： e2/80R1簡要說明：對基態(tài)氫原子簡要說明：對基態(tài)氫原子10221421RemvE 2102124ReRmv （1）（2）由（由（1)(2)： E1=e2/80R110210218/)8(0ReReEEE 例例11 (11屆屆10題題) 用氫原子玻爾半

21、徑用氫原子玻爾半徑 、電子電、電子電量絕對值量絕對值e及真空介電常數(shù)及真空介電常數(shù) 表述氫原子的結(jié)合表述氫原子的結(jié)合能能E=_.例例12 (9屆屆7題題)按玻爾理論，當(dāng)電子轟擊基按玻爾理論，當(dāng)電子轟擊基態(tài)氫原子時，如果僅產(chǎn)生一條光譜線，則該態(tài)氫原子時，如果僅產(chǎn)生一條光譜線，則該電子的能量范圍是電子的能量范圍是21nEE eVE6 .131 eVEE4 . 32212 解：解：氫原子能級公式：氫原子能級公式：氫原子基態(tài)能量氫原子基態(tài)能量第一激發(fā)態(tài)能量第一激發(fā)態(tài)能量第二激發(fā)態(tài)能量第二激發(fā)態(tài)能量eVEE51. 13213 eVEE2 .10)6 .13(4 . 312 eVEE09.12)6 .13

22、(51. 113 )(1312EEEE 電電子子能能量量eVEeV09.122 .10 eVEeV09.122 .10 例例13 (5屆二、屆二、6題題)（15分）氫原子由分）氫原子由n=3的能級的能級躍遷至躍遷至n=2的能級時發(fā)射出的能級時發(fā)射出Ha線，一放電管發(fā)出線，一放電管發(fā)出的光譜中有一譜線與的光譜中有一譜線與Ha線相差約為線相差約為3，已知此，已知此放電管中裝有放電管中裝有H和和He兩種氣體，如果該譜線來自兩種氣體，如果該譜線來自放電管中的放電管中的He離子，試問離子，試問He離子在哪兩個離子在哪兩個能級間躍遷時發(fā)射的能級間躍遷時發(fā)射的解：解：由類氫原子能級公式可得由類氫原子能級公式

23、可得He離子的能級公式離子的能級公式 22211121nnRHeHe 2231211HHeR H與與Ha略有差別來源于略有差別來源于RH與與RHe的不同。的不同。比較兩式有比較兩式有2121n41n3122n62n故故He譜線是譜線是He離子在離子在n2=6與與n1=4能級間躍能級間躍遷時發(fā)射的。遷時發(fā)射的。例例14 （ 4屆二、屆二、10題）題）氫原子的電離能為氫原子的電離能為13.6eV,賴賴曼線系前兩條譜線的頻率為曼線系前兩條譜線的頻率為_Hz，_Hz2.461015Hz； 2.921015Hz簡要說明：氫原子賴曼系光譜為簡要說明：氫原子賴曼系光譜為2112 nnRC 其中：其中：Hzh

24、ERC 31063. 6106 . 16 .13 Hzn151046. 2434112 Hzn151092. 2989113 德布羅意波例題德布羅意波例題例例15 波長為波長為= 1的的X光光子的質(zhì)量為光光子的質(zhì)量為_ kg. (h=6.6310-34Js)解解：mchp kgchm32810341021. 21031011063. 6 例例16 某金屬產(chǎn)生光電效應(yīng)的紅限為某金屬產(chǎn)生光電效應(yīng)的紅限為v0，當(dāng)用頻率，當(dāng)用頻率為為v(v v0)的單色光照射該金屬時，從金屬中逸出的單色光照射該金屬時，從金屬中逸出的光電子的光電子(質(zhì)量為質(zhì)量為m)的德布羅意波長為的德布羅意波

25、長為_.解解：Ah 0 221mvAh )(2102 hmv)(20 mhmvp)(20 mhhph例例17 靜止質(zhì)量為靜止質(zhì)量為me的電子經(jīng)電勢差為的電子經(jīng)電勢差為U12的靜電場的靜電場加速后，若不考慮相對論效應(yīng)，電子的德布羅意波加速后，若不考慮相對論效應(yīng)，電子的德布羅意波長長= _. 12221eUvme 122eUmvmpee 122eUmhphe 解解：例例18 = 5000的光沿的光沿x軸正向傳播，若光的波長的軸正向傳播，若光的波長的不確定量不確定量 = 10-3 ，則由不確定關(guān)系，則由不確定關(guān)系px x h可可得光子的得光子的x坐標(biāo)的不確定量至少為坐標(biāo)的不確定量至少為_ . /hp

26、x 解解： /x2 mx5 . 2/2min 2/hpx 例例19 ( 5屆屆12題題)一光子的波長與一電子的德布羅一光子的波長與一電子的德布羅意波長皆為意波長皆為5.0，此光子的動量，此光子的動量p0與電子動量與電子動量pc之比之比p0/pc=_,光子的動量光子的動量E0與電子的動能與電子的動能Ee之之比比E0/Ee=_解：解：1 ， 4.1102簡要說明：由物質(zhì)波公式：簡要說明：由物質(zhì)波公式：eehphphp ,00e 010 epp光子動能即為總量光子動能即為總量E0=p0c；電子動能的相對論公；電子動能的相對論公式為式為 2222cmcmcpEeee 比較比較pec與與mec2有有說明

27、說明Ee很小，故很小，故321085. 4 eeeeeecmhcmpcmcp eeeempvmE22122 2200101 . 4222 hcmpcmmpcpEEeeeeeec 例例20 估算氫原子可能具有的最低能量估算氫原子可能具有的最低能量電子束縛在半徑為電子束縛在半徑為r 的球內(nèi)，所以的球內(nèi)，所以xr /ppr 按不確定關(guān)系按不確定關(guān)系/pr 2224eopeEmr當(dāng)不計(jì)核的運(yùn)動，氫原子的能量就是電子的能量：當(dāng)不計(jì)核的運(yùn)動，氫原子的能量就是電子的能量：代入上式得：代入上式得：22224eoeEm rr不確定關(guān)系例題不確定關(guān)系例題21020.53 10ooehrme m基態(tài)能應(yīng)滿足：基態(tài)能

28、應(yīng)滿足：0dEdr223204eoem rr由此得出基態(tài)氫原子半徑：由此得出基態(tài)氫原子半徑：基態(tài)氫原子的能量：基態(tài)氫原子的能量：4min2213.68eoe mEeVh 與波爾理論結(jié)果一致。與波爾理論結(jié)果一致。本例還說明：氫原子有零點(diǎn)能。本例還說明：氫原子有零點(diǎn)能。2Et 2Et71 10eV 譜線寬度：譜線寬度：Eh 81 10 Hz 與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果吻合！與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果吻合！原子基態(tài)壽命無窮長，基原子基態(tài)壽命無窮長，基態(tài)有確定的能量值。態(tài)有確定的能量值。例例21 設(shè)氫原子在第一激發(fā)態(tài)的壽命為設(shè)氫原子在第一激發(fā)態(tài)的壽命為10-8 s，由，由不確定關(guān)系求能級寬度和原子譜線自然寬度。不確定關(guān)系求能

29、級寬度和原子譜線自然寬度。解解:32IntensityFrequency321E0E例例21 （4屆二、屆二、11題）題） 電子在阱寬為電子在阱寬為1的一堆的一堆無限深勢阱中運(yùn)動，用測不準(zhǔn)原理估算其最小無限深勢阱中運(yùn)動，用測不準(zhǔn)原理估算其最小能量為能量為_J簡要說明：簡要說明：用測不準(zhǔn)原理做定性估計(jì)時，常取用測不準(zhǔn)原理做定性估計(jì)時，常取xph或或xph此處取此處取x=1=10-10m mpEEk22min xhp 19222min1011. 624 xmhE JExhxhp17192min1041. 21011. 642 則則若若取取解解:令以歸一化波函數(shù)為令以歸一化波函數(shù)為)()(),(xc

30、xx 設(shè)設(shè)8124124cos1412cos41)(22020222acacdxaxcdxaxcdxxaa 解得：解得： ac22 axx 2cos21)( ), 0(ax 將其歸一化將其歸一化例例22波函數(shù)例題波函數(shù)例題例例23某粒子的波函數(shù)為某粒子的波函數(shù)為(1)歸一化波函數(shù)歸一化波函數(shù)(2)概率密度概率密度(3)概率密度最大的位置概率密度最大的位置解：解：積分得：積分得：得到歸一化波函數(shù)得到歸一化波函數(shù) ：概率密度概率密度得得令令求極大值的求極大值的 x x 坐標(biāo)坐標(biāo)解得解得處處最大最大2ax 一維無限深勢阱例題一維無限深勢阱例題 (2010) 粒子在無限深方勢阱粒子在無限深方勢阱 -a

31、/2，a/2 內(nèi)作內(nèi)作一維運(yùn)動的波函數(shù)為一維運(yùn)動的波函數(shù)為 （n=1,2,3,）。求：）。求：(1) 歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)A；(2) 粒粒子的零點(diǎn)能；子的零點(diǎn)能；(3) 第一激發(fā)態(tài)，粒子在第一激發(fā)態(tài)，粒子在 a/8，a/2 間出現(xiàn)的幾率；間出現(xiàn)的幾率； (4) 粒子運(yùn)動的坐標(biāo)不確定度粒子運(yùn)動的坐標(biāo)不確定度 （ 為位移平均為位移平均, 為位移平方的為位移平方的平均值），由不確定關(guān)系，估算在基態(tài)時相應(yīng)的平均值），由不確定關(guān)系，估算在基態(tài)時相應(yīng)的動量不確定度不小于多少？動量不確定度不小于多少？axnAn cos 22xxx x2x例例23解：解：（1）由歸一化條件：）由歸一化條件： /22/21an

32、adx 1分分得得 /2/22222/2/221 coscos122aaaanxnaaAxdxAdxAa2/Aa1分分所以，歸一化的波函數(shù)為：所以，歸一化的波函數(shù)為： 2/cos1,2,3nnax na（2）零點(diǎn)能即基態(tài)能，即）零點(diǎn)能即基態(tài)能，即:1n 可由可由 111HE1分分即即 222211122( 2/cos)22axEm xam a22212228hEm ama1分分（3）第二激發(fā)態(tài)）第二激發(fā)態(tài) 2n 波函數(shù)為波函數(shù)為222/cosaxa1分分2228aadx228231( 2/cos)0.29684aaax dxa1分分1分分（4）基態(tài)下：）基態(tài)下： /2/2221/2/2( 2/

33、cos)0aaaaxxdxxaxdxa1分分22/2/22222212/2/22cos122aaaaaaxxdxxxdxaa222211( )122xxxxa 由不確定關(guān)系：由不確定關(guān)系： 2xp 2226(6)pa p不小于不小于 2226(6)a 1分分 1分分例例24 設(shè)粒子處在設(shè)粒子處在0，a范圍的一維無限深方勢范圍的一維無限深方勢阱內(nèi)運(yùn)動的波函數(shù)為阱內(nèi)運(yùn)動的波函數(shù)為24sincosaxxaa 求求(1)粒子能量的可能測量值以及相應(yīng)的概率；粒子能量的可能測量值以及相應(yīng)的概率；(2)能量的平均值。能量的平均值。解：在解：在一維無限深方勢阱中，粒子的能量本征一維無限深方勢阱中，粒子的能量本征態(tài)及本征值為：態(tài)及本征值為： .3 , 2 , 1sin2 naxnax 0 xa1222222EnnmaE n=1,2,3.把把 展開為展開為 nnC 的形式，的形式，利用三角函數(shù)公式有：利用三角函數(shù)公式有： 2131133222442222222221221312213123222cossincossin()sins