曲線擬合試驗報告材料

1、實用標準數(shù)值分析課程設(shè)計報告學生姓名學生學號所在班級指導(dǎo)教師成績評定一、課程設(shè)計名稱函數(shù)逼近與曲線擬合二、課程設(shè)計目的及要求實驗?zāi)康模簩W會用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式，并應(yīng)用算法于實際問題。學會基本的矩陣運算，注意點乘和叉乘的區(qū)別。 實驗要求：編寫程序用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式，并求平方誤差，做出離散函數(shù)（）和擬合函數(shù)的圖形；用MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)polyfit 求解上面最小二乘法曲線擬合多項式的系 數(shù)及平方誤差，并用 MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)plot作出其圖形，并與（1）結(jié)果進行 比較。三、課程設(shè)計中的算法描述用最小二乘法多項式曲線擬合，根據(jù)給定的數(shù)據(jù)點，并不要求這條曲線精確 的經(jīng)過這

2、些點，而是擬合曲線無限逼近離散點所形成的數(shù)據(jù)曲線。思路分析：從整體上考慮近似函數(shù)p（x）同所給數(shù)據(jù)點（。丫）誤差0= p（x。-y的大小，常用的方法有三種：一是誤差 = p（x。- %絕對值的最大m值max。，即誤差向量的無窮范數(shù)；二是誤差絕對值的和工，即誤差向量的i m范數(shù)；三是誤差平方和£ r-的算術(shù)平方根，即類似于誤差向量的 2范數(shù)。前兩 i =0種方法簡單、自然，但不便于微分運算，后一種方法相當于考慮2范數(shù)的平方，此次采用第三種誤差分析方案。算法的具體推導(dǎo)過程：1 .設(shè)擬合多項式為：2 .給點到這條曲線的距離之和，即偏差平方和:3 .為了求得到符合條件的a的值，對等式右邊求

3、偏導(dǎo)數(shù)，因而我們得到了:4 .將等式左邊進行一次簡化，然后應(yīng)該可以得到下面的等式5 .把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣:一5nnZXjInnZXjZx2j=1j=1aannkk 書2 XjZ xL=ij=i6 .將這個范德蒙得矩陣化簡后得到1X11 X2 m*1Xnn1-nZXjkzyii 二a。i三nnzk書 XaiIyii =1i=1nz2kX縣一n zyii=1i=17 .因為X* A=Y ,那么A = Y/X ,計算得到系數(shù)矩陣，同時就得到了擬合曲線四、課程設(shè)計內(nèi)容實驗環(huán)境：MATLAB2010實驗內(nèi)容：給定的數(shù)據(jù)點（00.50.60.70.80.91.011.751.

4、962.192.442.713.001）用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式；2）用MATLA的部函數(shù)polyfit函數(shù)進行擬合。實驗步驟1）首先根據(jù)表格中給定的數(shù)據(jù)，用 MATLA歆件畫出數(shù)據(jù)白散點圖（圖1）。2）觀察散點圖的變化趨勢，近似于二次函數(shù)。則用二次多項式進行擬合，取一組基函數(shù)，并令，其中是待定系數(shù)。3）用MATLABi序作線性最小二乘法的多項式擬合，求待定系數(shù)。算法實現(xiàn)代碼如下：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;R=（xA2）' x' ones（7,1）;A=R'y'

5、;4）用MATLAB?序計算平均誤差。算法實現(xiàn)代碼如下：y1=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=x.A2+x+1;z=（y-y1）A2;sum（z）5）作出擬合曲線和數(shù)據(jù)圖形（圖2） o6）用MATLA的內(nèi)部函數(shù)polyfit求解上面最小二乘法曲線擬合多項式的系數(shù)及 平方誤差。算法實現(xiàn)代碼如下：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;A=polyfit(x,y,2);%二次多形式擬合 z=polyval(A,x);Ad=s

6、um(z-y).A2)7)繪制使用polyfit函數(shù)實現(xiàn)的擬合圖形。(圖3)五、程序流程圖圖5-1用最小二乘法求多項式擬合曲線流程圖圖5-2用polyfit函數(shù)求多項式擬合曲線流程圖文案大全六、實驗結(jié)果圖6-1表中數(shù)據(jù)的散點圖2.02.6242.221.01.6141 2圖6-2.最小二乘法實現(xiàn)的擬合曲線第1問系數(shù)為A = 1.0000 1.0000 1.0000則多項式的方程為平方誤差和為ans =1.9722e-031圖6-3. polyfit函數(shù)實現(xiàn)的擬合函數(shù)第2問系數(shù)為A = 1.0000 1.0000 1.0000則多項式的方程為平方誤差和為ans = 1.9722e-031七、實驗

7、結(jié)果分析編寫程序用最小二乘法求擬合曲線的多項式的過程中，求出的數(shù)據(jù)和擬合函 數(shù)的平方誤差很小，達到了很高的精度要求，以及通過散點求得的擬合曲線比較 實用標準光滑。而用MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)求polyfit 求解的曲線擬合多項式和平方誤差與 程序求得的相同，還有就是雖然求解過程簡單了，但用 MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)做出 的圖形由明顯的尖點，不夠光滑。此次實驗數(shù)據(jù)較少，而且數(shù)據(jù)基本都是可靠數(shù)據(jù)。但是在應(yīng)用實際問題中，數(shù)據(jù)會很龐雜，此時對于最小為乘法的算法就需要進一步的細化。例如在進行數(shù)據(jù)采集時，由于數(shù)據(jù)采集器（各種傳感器）或機器自身的原因及其外部各種因素的制約， 導(dǎo)致數(shù)據(jù)偶爾會有大幅度的波動，及產(chǎn)生

8、一些偏差極大的數(shù)據(jù)，不能真實反映數(shù)據(jù)的可靠性，所以會對數(shù)據(jù)進行篩選或修正。而此時就可應(yīng)用曲線擬合的最小二乘法的進行處理。八、實驗心得體會在日常的學習和生活中，我們可能會遇到各種方面的跟數(shù)據(jù)有關(guān)的問題，并不是所有的數(shù)據(jù)都是有用，必須對數(shù)據(jù)進行適當?shù)奶幚恚缓笳页鰯?shù)據(jù)之間的關(guān)系，然后進行分析得出結(jié)果。此次實驗結(jié)果基本沒有大的區(qū)別，可是MATLA提供給我們一個特別簡潔的辦法，應(yīng)用一個函數(shù)即可實現(xiàn)相同的結(jié)果。雖然很方便，但是對于初學者來說，我覺得打好基礎(chǔ)才是關(guān)鍵，對于一個知識點，應(yīng)該掌握其最基本的原理，然后在將它應(yīng)用于實際。通過這個實驗我也理解到了，數(shù)值分析是一個工具學科，它教給了我們分析和解決數(shù)值計

9、算問題得方法，使我從中得到很多關(guān)于算法的思想，從中受益匪淺。文案大全附錄：源代碼散點圖：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;plot(x,y,'r*')title(' 實驗數(shù)據(jù)點的散點圖');legend(' 數(shù)據(jù)點(xi,yi ) ');xlable('x');ylable('y');最小二乘擬合：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;R=(xA2)' x' ones(7,1);A=Ry'x1=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y1=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=x.A2+x+1;plot(x1,y1,'k+',x,y,'r')title(' 實驗數(shù)據(jù)點的散點圖及擬合曲線');z=(y-y1).A2;sum(z)Polyfit 函數(shù)擬合：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.1