《邊緣分布》 (2)ppt課件

1、概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回一、邊緣分布函數(shù)的概念一、邊緣分布函數(shù)的概念二、離散型隨機變量的邊緣分布列二、離散型隨機變量的邊緣分布列三、延續(xù)型隨機變量的邊緣分布概率密度三、延續(xù)型隨機變量的邊緣分布概率密度四、隨機變量的獨立性四、隨機變量的獨立性3.2 邊邊 緣緣 分分 布布下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回一 、 邊緣分布函數(shù)的概念)(xXPxFX),(lim),(,)(yxFyFyYXPyYPyFxY設(shè)設(shè)X，Y的結(jié)合分布函數(shù)的結(jié)合分布函數(shù)Fx, y那么那么 X 和和 Y 的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù) FX(x) , FY(y) 分分別為別為:,YxXP),(limyxFy),( xF下頁概率統(tǒng)

2、計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回二、二、 離散型二維隨機向量的邊緣分布離散型二維隨機向量的邊緣分布 1 p.1 p.2 p.j PY=yj p1. p2. pi. p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij x1 x2 xi PX=xi y1 y2 yj XY1jjiiipxXPp1ijijjpyYPp (i = 1,2, ) (j =1,2, ) 1111jjpxXPp1222iipyYPp如下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回二、二、 離散型二維隨機向量的邊緣分布離散型二維隨機向量的邊緣分布 設(shè)設(shè) (X,Y) 的結(jié)合分布列為的結(jié)合分布列為 pij = PX=xi ,Y=yj1

3、jjixxpi1ijiyypj1jj iiipxXPp1ij ijjpyYPp(i =1,2, ) (j = 1,2, ) ixxpiyyjjp 那么那么 (X,Y) 的邊緣分布列的邊緣分布列為為 FY(y) = F(+ ,y) = FX(x) = F(x,+) = (X,Y) 的邊緣分布函數(shù)為：的邊緣分布函數(shù)為：即p1. p2. pi. pi.x1 x2 xi Xp.1 p.2 p.j p.jy1 y2 yj Y下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回103101106103101103106X345pi. Y的分布列為的分布列為106103101Y012p.j X的分布列為的分布列為1011061

4、01102101103102101 Y X012pi300405p.j1例例1.1.知隨機向量知隨機向量X X，Y Y的分布如下表，求關(guān)于的分布如下表，求關(guān)于X X 和和Y Y 的邊緣分布。的邊緣分布。下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回 三三 、二維延續(xù)型隨機變量邊緣、二維延續(xù)型隨機變量邊緣概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)設(shè)設(shè)X，Y的結(jié)合概率密度的結(jié)合概率密度 f(x,y) xXdudvvufYxXPxXPxF),(,)(dyyxfdvvxfxfX),(),()(由于由于所以所以dyyxfxfX),()(即即zxyoab0 x)(0 xfX的幾何意義如右圖的幾何意義如右圖.其值表示紅曲邊梯形的面積其值表

5、示紅曲邊梯形的面積. .下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回 三三 、二維延續(xù)型隨機變量邊緣、二維延續(xù)型隨機變量邊緣概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)即假設(shè)即假設(shè)X，Y的結(jié)合概率密度的結(jié)合概率密度 f(x,y)dxyxfyfY),()(那么 例例2.2.設(shè)設(shè)X X，Y Y服從區(qū)域服從區(qū)域 D D：拋物線：拋物線y=x2y=x2和直和直線線y=xy=x所圍成的區(qū)域上的均勻分布，求所圍成的區(qū)域上的均勻分布，求X X，Y Y的的結(jié)合、邊緣概率密度。結(jié)合、邊緣概率密度。dyyxfxfX),()(下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回解解: 由于由于D的面積為的面積為10261)(dxxx其它, 0),(, 6),(Dyx

6、yxf 故故X，Y結(jié)合概率密度為結(jié)合概率密度為 X，Y邊緣概率密度：當(dāng)邊緣概率密度：當(dāng)0 x1時時)(66),()(22xxXxxdydyyxfxf其它, 010),(6)(2xxxxfXyyYyydxdxyxfyf)(66),()(其它, 010),( 6)(yyyyfY當(dāng)0y1時即即即即2xy xy yx0下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例例3. 3. 知隨機向量，的結(jié)合密度函數(shù)為知隨機向量，的結(jié)合密度函數(shù)為求求 X ,YX ,Y的邊緣概率密度。的邊緣概率密度。解：當(dāng)x0時, 其它, 00,),(yxxeyxfyxyxXxedyxedyyxfxf),()(當(dāng)x 0時,00),()(dydy

7、yxfxfX其它,00,)(xxexfxX即y=xo下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例例3. 3. 知隨機向量，的結(jié)合密度函數(shù)為知隨機向量，的結(jié)合密度函數(shù)為求求 X ,YX ,Y的邊緣概率密度。的邊緣概率密度。解：當(dāng)解：當(dāng)y0時時, 其它, 00,),(yxxeyxfy當(dāng)當(dāng)y 0時時,即即2),()(20yyyYeydxxedxyxfyf00),()(dxdxyxfyfY其它, 00,2)(2yeyyfyYy=xo下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例例4. 4. 知隨機向量，的結(jié)合分布函數(shù)為知隨機向量，的結(jié)合分布函數(shù)為求常數(shù)求常數(shù)a a，b b，c c；結(jié)合密度函數(shù)；結(jié)合密度函數(shù) f(x,y)f

8、(x,y)； X ,YX ,Y的邊緣分布函數(shù)；的邊緣分布函數(shù)；4 4PX2PX2。解：解：(1)由由F(-,0)=0, F(0,-)=0 F(+, +)=1 得：得：0)2)(2(0)2(0)2(cbacabcba解得解得2,2,12cba)arctan2)(arctan2(1),(2yxyxF(2) f(x,y)yxyxF),(2)1)(1 (1222yx)arctan)(arctan(),(ycxbayxF下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回解得解得2,2,12cba)arctan2)(arctan2(1),(2yxyxF(2) f(x,y)yxyxF),(2)1)(1 (1222yx(3)

9、)(xXPxFX),(limyxFy)arctan2(1x),(lim)(yxFyYPyFxY)arctan2(1y例例4. 4. 知隨機向量，的結(jié)合分布函數(shù)為知隨機向量，的結(jié)合分布函數(shù)為求常數(shù)求常數(shù)a a，b b，c c；結(jié)合密度函數(shù)；結(jié)合密度函數(shù)f(x,y)f(x,y)； X X ，Y Y的邊緣分布函數(shù)；的邊緣分布函數(shù)；4 4PX2PX2。)arctan)(arctan(),(ycxbayxF(4) PX2=1-FX(2)2arctan2(11xarctan121yarctan1212arctan121下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回解： 令則有,2211yvxudvvuudyyxfxfX

10、)2()1 ( 21exp121),()(22212dvuveu)1 (2)(exp121212222122121222)(1221212121)(xtuXedteexf22222)(221)(yYeyf,12puvt令類似地有可見可見 X N1，12 ) ,Y N2，22 )例例5. 設(shè)設(shè)X，Y服從服從N1， 12； 2，22； ，求邊緣密度。求邊緣密度。下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回)sinsin1 (21),(222yxeyxfyx例例6. 設(shè)設(shè)X，Y概率密度為以下表達(dá)式，求其邊緣密度。概率密度為以下表達(dá)式，求其邊緣密度。-x +, -y +解：dyyxfxfX),()(dyyxeyx

11、)sinsin1 (21222ydyxedyeyxyxsinsin2121222222dyeeyx22222121)(2122xex同理，同理，)(21)(22yeyfyY即即X N0，1 ) , Y N0，1 ) 但但X,Y)不服從二維正態(tài)分布。不服從二維正態(tài)分布。下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回(X,Y)結(jié)合分布結(jié)合分布X，Y邊緣分布邊緣分布普通普通F(x,y)= PX x,YyFX(x) = PX x,Y F Y(y) = PX ,Y y離散型離散型 F(x ,y) =yyjixxjipPX=xi ,Y=y j= pi jpi .=PX= xi= 1jijp1iijpp.j=PY= yj

12、=延續(xù)型延續(xù)型xydudvvufyxF),(),(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回四、隨機變量的獨立性四、隨機變量的獨立性 1. 定義定義 設(shè)設(shè) X，Y，F(xiàn)x，y，F(xiàn)Xx，F(xiàn)Yy假設(shè)假設(shè) 對一切的對一切的 x，y 有有那么稱隨機變量那么稱隨機變量X與與Y是相互獨立的。是相互獨立的。2. 2. 離散型隨機向量離散型隨機向量假設(shè)假設(shè)X，Y的一切能夠取值為的一切能夠取值為xi，yj,i，j=1，2，那么那么 X 與與 Y 相互獨立的充分必要條件是對一切相互獨立的充分必要條件是對一切 i，j = 1,2,即即有有下頁)()(),(yFxFyxFYX,

13、yYPxXPyYxXP,jijiyYPxXPyYxXP.jiijppp即即概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回 例例1知知X，Y的邊緣分布律，且的邊緣分布律，且X與與Y 相互獨立，求相互獨立，求X，Y的結(jié)合分布律。的結(jié)合分布律。X 1 2pi 1/3 2/3 Y 1 2 3. p j 1/2 1/3 1/6解：由獨立性解：由獨立性 p11= p1 p1 = 1/6 ， p23= p2 p3= 2/18 1 2 31 1/6 1/9 1/182 2/6 2/9 2/18XY依次類推可得依次類推可得下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例例2 2設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X與與Y Y相互獨立，下表列出了二維隨機變

14、量相互獨立，下表列出了二維隨機變量X X，Y Y的結(jié)合分布及關(guān)于的結(jié)合分布及關(guān)于X X和和Y Y的邊緣分布中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，的邊緣分布中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，請補充下表：請補充下表： Y X y1 y2 y3 PX=xI=pi x1 1/8 x2 1/8 PY=yI 1/6 1 1/241/43/41/121/31/23/81/4下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例例3 3設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X,Y)X,Y)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域G=(x,y) | 0 x2, 0y1G=(x,y) | 0 x2, 0y2Y= 0PU=1, V =0=PXY,X2Y= PY2Y= 0PU=1, V =0=PXY,X2Y= PYX

15、2Y=1/4PU=1, V =1=1-1/4-1/4=1/2(U,V)的結(jié)合分布與邊緣分布為的結(jié)合分布與邊緣分布為 0 1 pi .0 1/4 0 1/41 1/4 1/2 3/4UVp.j 1/2 1/2PU=0, V =1 PU=0PV=1,U和和V不獨立。不獨立。例例3 3設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X,Y)X,Y)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域G=(x,y) | 0 x2, 0y1G=(x,y) | 0 x2, 0y1，上服上服求求 隨機變量隨機變量U和和V的結(jié)合分布的結(jié)合分布,并判別并判別U和和V能否獨立。能否獨立。YXYXU,0,1YXYXV2,02,1從均勻分布，定義隨機變量從均勻分布，定義隨機變

16、量下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回假設(shè)假設(shè)X，Y的結(jié)合密度函數(shù)的結(jié)合密度函數(shù) f(x,y)處處延續(xù)，那么處處延續(xù)，那么X和和Y相相互獨立的充分必要條件是互獨立的充分必要條件是 f (x,y) = fX(x) fY (y) xyxyYXdudvvfufdudyvufyxF)()(),(),(xyYXYXyFxFdvvfduuf)()()()( xydudvvuf),( xyxyYXYXdudvvfufdvvfduuf)()()()(3. 延續(xù)型隨機向量證明： 充分性 假設(shè) f (x,y) = fX(x) fY (y)那么必要性必要性 假設(shè)假設(shè)X、Y相互獨立，那么有相互獨立，那么有Fx,y= FX

17、(x) FY(y)，故故 f (x,y) = fX(x) fY (y)即即下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例例4知知X，Y的結(jié)合概率密度，試判別的結(jié)合概率密度，試判別X，Y能否獨立。能否獨立。其他,010,10,4),(yxxyyxf其他,010,24),()(10 xxxydydyyxfxfX其他,010,24),()(10yyxydxdxyxfyfY解：由于解：由于由由fX(x) fY(y) = f(x,y) 知知 X 與與 Y 相互獨相互獨立立 可見：可見： 結(jié)合分布結(jié)合分布 邊緣分布。邊緣分布。獨立獨立下頁概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回 例例5一電子產(chǎn)品由兩個部件構(gòu)成，以一電子產(chǎn)品由兩個

18、部件構(gòu)成，以X和和Y分別表示兩個部件的壽分別表示兩個部件的壽 命單位：小時，知命單位：小時，知X和和Y的結(jié)合分布函數(shù)的結(jié)合分布函數(shù)其他, 0, 0, 0,1),()(5 . 05 . 05 . 0yxeeeyxFyxyx(1)問問X和和Y能否相互獨立？能否相互獨立？(2)求兩部件壽命都超越求兩部件壽命都超越0.1小時的概率。小時的概率。解: (1) 由于 因此， ),()(),(yFxFyxFyx故故X和和Y相互獨立。相互獨立。1 . 0, 1 . 0)2(YXP1 . 0 ,1 . 0YXP1 . 0 ,FF1 . 0 , 1 . 0, 1 . 0FF1 . 0 e下頁其它, 00,1),()(5 . 0 xexFxFxX其它, 00,1),()(5 . 0yeyFyFyY概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計下頁結(jié)束返回例例6 6設(shè)隨機變量和相互獨立且均在，上均勻分布，設(shè)