信號與系統第二章連續(xù)系統的時域分析

1、信號與線性系統分析 第二章 連續(xù)系統的時域分析第第第 2 2 2頁頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統的響應連續(xù)系統的響應 一、微分方程的經典解一、微分方程的經典解 二、關于二、關于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零輸入響應和零狀態(tài)響應三、零輸入響應和零狀態(tài)響應2.2 2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應 一、沖激響應一、沖激響應 二、階躍響應二、階躍響應2.3 2.3 卷積積分卷積積分 一、信號時域分解與卷積一、信號時域分解與卷積 二、卷積的圖解二、卷積的圖解2.4 2.4 卷積積分的性質卷積積分的性質 一、卷積代數一、卷積代數 二、奇異函數的卷積特性二、奇異函數的卷積特性

2、 三、卷積的微積分性質三、卷積的微積分性質 四、卷積的時移特性四、卷積的時移特性第第第 3 3 3頁頁頁引言引言時域法：不通過任何變換，直接時域法：不通過任何變換，直接求解求解系統的系統的微分微分、積分、積分方程方程。系統的分析與計算全部在系統的分析與計算全部在時域時域內進行。內進行。時域分析法優(yōu)點：直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域時域分析法優(yōu)點：直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域 分析方法的基礎。分析方法的基礎。目前計算機技術的發(fā)展，各種算法軟件的開發(fā)，使這一經典目前計算機技術的發(fā)展，各種算法軟件的開發(fā)，使這一經典的方法的方法重新重新得到廣泛的關注和應用。得到廣泛的關注和應用。第第第

3、4 4 4頁頁頁 LTILTI連續(xù)系統的時域分析，歸結為：連續(xù)系統的時域分析，歸結為：建立并求解線性微分建立并求解線性微分方程方程。 由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間t，故稱為，故稱為時時域分析法域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。變換域分析法的基礎。 2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統的響應連續(xù)系統的響應一、微分方程的經典解一、微分方程的經典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) +

4、bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)第第第 5 5 5頁頁頁微分方程的經典解：微分方程的經典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解特解）齊次解齊次解是齊次微分方程是齊次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。的解。yh(t)的函數形式的函數形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根確定。確定。例例 描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）當）當f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=

5、2，y(0)= - -1時的全解；時的全解； （2）當）當f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。時的全解。 特解特解的函數形式與激勵函數的形式有關。表的函數形式與激勵函數的形式有關。表2-1、2-2齊次解齊次解的函數形式僅與系統本身的特性有關，而與激勵的函數形式僅與系統本身的特性有關，而與激勵f(t)的函數形式無關，稱為系統的的函數形式無關，稱為系統的固有響應固有響應或或自由響應自由響應；特解特解的函數形式由激勵確定，稱為的函數形式由激勵確定，稱為強迫響應強迫響應。第第第 6 6 6頁頁頁解解: (1) 特征方程為特征方程為2 + 5+ 6 = 0 其特征根其

6、特征根1= 2，2= 3。齊。齊次解為次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t由表由表2-2可知，當可知，當f(t) = 2e t時，其特解可設為時，其特解可設為 yp(t) = Pe t將其代入微分方程得將其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1于是特解為于是特解為 yp(t) = e t全解為：全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中待定常數其中待定常數C1,C2由初始條件確定。由初始條件確定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3

7、C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 第第第 7 7 7頁頁頁（2）齊次解同上。當激勵）齊次解同上。當激勵f(t)=e2t時，其指數與特征根之一相重。時，其指數與特征根之一相重。由表知：其特解為由表知：其特解為 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。全解為不能求得。全解為 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2

8、t將初始條件代入，得將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一項的系數上式第一項的系數C1+P0= 2，不能區(qū)分，不能區(qū)分C1和和P0，因而也不能區(qū)，因而也不能區(qū)分自由響應和強迫響應。分自由響應和強迫響應。 第第第 8 8 8頁頁頁二、關于二、關于0-和和0+初始值初始值 若輸入若輸入f(t)是在是在t=0時接入系統，則確定待定系數時接入系統，則確定待定系數Ci時用時用t

9、= 0+時刻的時刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1),簡稱簡稱0+ 值。值。 而而y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統的歷史包含了輸入信號的作用，不便于描述系統的歷史信息。信息。 在在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映了反映了系統系統的歷史情況的歷史情況而與激勵無關。稱這些值為而與激勵無關。稱這些值為初始狀態(tài)，簡稱初始狀態(tài)，簡稱0-值。值。 通常，對于具體的系統，初始狀態(tài)通常，對于具體的系統，初始狀態(tài)0-值一般容易求得。如值一般容易求得。如果激勵包含沖激函數及其導數，則果激勵包含沖激函數及其導數，

10、則t=0時激勵接入系統，響應時激勵接入系統，響應及其導數及其導數y(j)(0-)到到y(j)(0+)可能發(fā)生躍變。這樣為求解微分方程，可能發(fā)生躍變。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設法求得設法求得y(j)(0+)。第第第 9 9 9頁頁頁在系統分析中，定義在系統分析中，定義：響應區(qū)間響應區(qū)間：確定激勵信號：確定激勵信號e(t)加入后系統的狀態(tài)變化區(qū)間。加入后系統的狀態(tài)變化區(qū)間。一般激勵一般激勵e(t)都是從都是從t=0時刻加入，此時系統的響應區(qū)間定為：時刻加入，此時系統的響應區(qū)間定為：0t 一、響應區(qū)間一、響應區(qū)間第第第 101010頁頁頁系統在

11、激勵信號加入前瞬間的一組狀態(tài)：系統在激勵信號加入前瞬間的一組狀態(tài)：稱為系統的稱為系統的起始狀態(tài)起始狀態(tài)，簡稱，簡稱0-狀態(tài)狀態(tài).11(0 ), (0 ), (0 ), (0 ),(0 )nndyyyyydt起始狀態(tài)包含了計算未來響應的全部起始狀態(tài)包含了計算未來響應的全部“過去過去”信息。信息。由于受激勵的影響，這組狀態(tài)從由于受激勵的影響，這組狀態(tài)從t= 0-到到t=0+時刻可能發(fā)生變化。時刻可能發(fā)生變化。系統系統0-狀態(tài)：就是系統中儲能元件的儲能情況。狀態(tài)：就是系統中儲能元件的儲能情況。二、起始狀態(tài)二、起始狀態(tài)第第第 111111頁頁頁確定系統完全響應：確定系統完全響應：11(0 ),(0 )

12、,(0 ),(0 ),(0 )nndyyyyydt通常為了確定系統的待定系數，須根據系統的通常為了確定系統的待定系數，須根據系統的0-狀態(tài)和激勵狀態(tài)和激勵信號情況求出信號情況求出0+的狀態(tài)。的狀態(tài)。初始條件初始條件：（導出的起始狀態(tài)）：由響應區(qū)間：（導出的起始狀態(tài)）：由響應區(qū)間t=0+時刻組時刻組成的一組狀態(tài)：成的一組狀態(tài)：1( )( )( )( )inthpipiy ty tytCeyt式中式中為待定系數，是由響應區(qū)間內為待定系數，是由響應區(qū)間內t=0+時刻的一組狀態(tài)確定的。時刻的一組狀態(tài)確定的。iA三、初始條件三、初始條件第第第 121212頁頁頁0,C(0 )(,00 )(0 )(0 )

13、(0 )(0 )cLccLLuiuiiLu 定定：儲能元件的儲能情況或狀態(tài)當無沖激電流或階躍電壓強迫作用于 時或當無沖激電壓或階躍電流強迫作用實際電路的初始條件于 時或狀態(tài)00t 決定一般系統：微分方程右端自由項函數式中有無狀態(tài)的初始條（）及狀態(tài)件其導數有無跳變四、初始條件的求取四、初始條件的求取 第第第 131313頁頁頁沖激函數匹配法原理：根據沖激函數匹配法原理：根據t=0時刻微分方程左右兩端時刻微分方程左右兩端的的 (t)及其各階導數應該平衡相等。及其各階導數應該平衡相等。系統的系統的0-狀態(tài)到狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項是否包含自由項

14、是否包含 (t) 及其各階導數及其各階導數。如果包含有如果包含有 (t)及其各階導數，說明相應的及其各階導數，說明相應的0-到到0+狀態(tài)狀態(tài)發(fā)生了跳變，即發(fā)生了跳變，即等等或)0( )0( )0()0(rrrr五、沖激函數匹配法五、沖激函數匹配法 第第第 141414頁頁頁例例：描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：將輸入：將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) +

15、2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）利用利用沖激函數匹配法沖激函數匹配法分析：分析： 由于等號右端為由于等號右端為2(t)，故，故y”(t)應包含沖激函數，從而應包含沖激函數，從而y(t)在在t= 0處將發(fā)生躍變，即處將發(fā)生躍變，即y(0+)y(0-)。 但但y(t)不含沖激函數，否則不含沖激函數，否則y”(t)將含有將含有(t)項。由于項。由于y(t)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0處是連續(xù)的。處是連續(xù)的。故故 y(0+) = y(0-) = 2 第第第 151515頁頁頁對式對式(1)兩端積分有兩端積分有 0000000000)(6)(2)(2)( 3)( dttdt

16、tdttydttydtty由于積分在無窮小區(qū)間由于積分在無窮小區(qū)間0-，0+進行的，且進行的，且y(t)在在t=0連續(xù)，故連續(xù)，故 00000)(, 0)(dttdtty于是由上式得于是由上式得 y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2考慮考慮 y(0+) = y(0-)=2 ，所以，所以 y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可見，由上可見，當微分方程等號右端含有沖激函數（及其各階導當微分方程等號右端含有沖激函數（及其各階導數）時，響應數）時，響應y(t)y(t)及其各階導數中，有些在及其各階導數中，有些在t=0t=0處將發(fā)生躍變。處

17、將發(fā)生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變但如果右端不含時，則不會躍變。 第第第 161616頁頁頁例例：描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為 y”(t) + 2y(t) + y(t) = f(t) + 2f(t)已知已知y(0-)=1，y(0-)= -1，f(t)= (t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：將輸入：將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 2y(t) + y(t) = (t) + 2 (t) （1）利用利用沖激函數匹配法沖激函數匹配法分析：分析： 由于等號右端為由于等號右端為(t) ，故，故y”(t)必包含必包含(t)，否則等號

18、兩端，否則等號兩端關于關于 (t)及其導數的系數不可能平衡，可令：及其導數的系數不可能平衡，可令： y”(t) = a(t)+b (t)+c (t)+r0(t) （2）其中其中a,b,c為待定常數，函數為待定常數，函數r0(t)不含不含沖激函數及其任何導數。沖激函數及其任何導數。對（對（2）式兩端積分，得，）式兩端積分，得，110( )( )( )( ),( )( )( )ty tatbtr tr tctr x dx其中第第第 171717頁頁頁對上式再次積分得到：對上式再次積分得到：可見可見r2(t) 也不含也不含 (t)及其導數，將上述各式代入微分方程，稍及其導數，將上述各式代入微分方程，

19、稍加整理：加整理： a(t)+(2a+b) (t)+(a+2b+c) (t)+r0(t)+2r1(t) +r2(t) = (t)+2(t)上式兩端上式兩端(t)及其各階導數系數相等，故有及其各階導數系數相等，故有 a=1 2a+b=0 a+2b+c=2可得可得a=1,b=-2,c=5。221( )( )( ),( )( )( )ty tatr tr tbtr x dx其中第第第 181818頁頁頁回帶入回帶入2式并從式并從0-到到0+區(qū)間積分可得：區(qū)間積分可得：由于由于r1(t) 不含不含 (t)及其導數，最終可得：及其導數，最終可得：已知已知得：得：同樣地，將同樣地，將a,b,c的值回代到以

20、上各方程，可得的值回代到以上各方程，可得 0001000(0 )(0 )( )2 ( )( )yyt dtt dtr t dt(0 )(0 )2yy (0 )1y(0 )(0 )21yy (0 )(0 )5,(0 )1,(0 )(0 )54yycyyy 所以第第第 191919頁頁頁三、零輸入響應和零狀態(tài)響應 y(t) = yx(t) + yf(t) ,也可以分別用經典法求解。也可以分別用經典法求解。 注意注意：對：對t=0時接入激勵時接入激勵f(t)的系統，初始值的系統，初始值 yx(j)(0+), yf(j)(0+) (j = 0，1，2，n-1)的計算。的計算。 y(j)(0-)= yx

21、(j)(0-)+ yf(j)(0-) y(j)(0+)= yx(j)(0+)+ yf(j)(0+)對于對于零輸入響應零輸入響應，由于激勵為零，故有，由于激勵為零，故有 yx(j)(0+)= yx(j)(0-) = y (j)(0-)對于對于零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應，在，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應有時刻激勵尚未接入，故應有 yf(j)(0-)=0下面舉例說明下面舉例說明。第第第 202020頁頁頁例例：描述某系統的微分方程為：描述某系統的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求該系統的零輸

22、入響應和。求該系統的零輸入響應和零狀態(tài)響應。零狀態(tài)響應。 解解：（：（1）零輸入響應零輸入響應yx(t) 激勵為激勵為0 ，故，故yx(t)滿足滿足 yx”(t) + 3yx(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0該齊次方程的該齊次方程的特征根特征根為為1， 2，故，故 yx(t) = Cx1e t + Cx2e 2t 代入初始值并解得系數為代入初始值并解得系數為Cx1=4 ,Cx2= 2 ，代入得，代入得 yx(t) = 4e t 2e 2t ,t 0 第第第 212121頁頁頁（2）零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應

23、yf(t) 滿足滿足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yf(0-) = yf(0-) = 0由于上式等號右端含有由于上式等號右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含有(t)，從而，從而yf(t)躍變，躍變，即即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t = 0連續(xù)，即連續(xù)，即yf(0+) = yf(0-) = 0，積，積分得分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-)+2 0000d)(62d)(ttttyf因此，因此，yf(0+)= 2 + yf(0-)=2 對對t0時，有時，有 yf”(t) + 3yf(

24、t) + 2yf(t) = 6不難求得其齊次解為不難求得其齊次解為Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解為常數，其特解為常數3，于是有于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 第第第 222222頁頁頁2.2 2.2 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應一、沖激響應一、沖激響應 由單位沖激函數由單位沖激函數(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應稱為稱為單位沖激響單位沖激響應應，簡稱沖激響應，記為，簡稱沖激響應，記為h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系統的微分方程為描述某系統

25、的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其求其沖激響應沖激響應h(t)。 解解 根據根據h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 第第第 232323頁頁頁因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系數平衡法。，故利用系數平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0連續(xù)，即連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得。積分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 100)( dtth考慮

26、考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1對對t0時，有時，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統的沖激響應為一齊次解。故系統的沖激響應為一齊次解。 微分方程的特征根為微分方程的特征根為-2，-3。故系統的沖激響應為。故系統的沖激響應為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始條件求得代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 第第第 242424頁頁頁 例例2 描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為 y”(t)+

27、5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應求其沖激響應h(t)。 解解 根據根據h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 為不含為不含(t) 的某函數的某函數 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t)代入式代入式(1)，有，

28、有第第第 252525頁頁頁a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系數匹配，得系數匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) +

29、12(t)+ p3(t) （4）對式對式(3)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) = 3對式對式(4)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12第第第 262626頁頁頁微分方程的特征根為微分方程的特征根為 2， 3。故系統的沖激響應為。故系統的沖激響應為 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始條件代入初始條件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0結合式結合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e

30、3t)(t) 還可以利用線性系統的性質來求，見教材還可以利用線性系統的性質來求，見教材54頁頁二、階躍響應二、階躍響應g(t)= T (t) ，0d ( )( )( )d , ( )dtg tg thh tt由于由于(t) 與與(t) 為微積分關系，故為微積分關系，故第第第 272727頁頁頁圖圖 2-3-1 將信號分解為脈沖之和將信號分解為脈沖之和 f (t)f (t)f (0)f (kt)誤差fk(t)tkt (k1) t2tt當 t0時, 誤差0。02.3 卷積積分卷積積分第第第 282828頁頁頁如圖如圖2-3-1所示，所示，f(t)可以分解為沖激信號之和，這種分解思可以分解為沖激信號

31、之和，這種分解思路是先把信號路是先把信號f(t)分解成寬度為分解成寬度為t的矩形窄脈沖之和，任意的矩形窄脈沖之和，任意時刻時刻kt的矩形脈沖幅度為的矩形脈沖幅度為f(kt)。001( )( )( )()( )()()(2).( )()()(1)kf tf ttttf tfttttf tf k ttktkt 第第第 292929頁頁頁01200( )( )( )( )( )() ()(1)1() ()(1)knknkf tf tf tf tf tf k ttk ttktf k ttk ttkttt 信號信號f(t)可近似表示為可近似表示為令窄脈沖寬度令窄脈沖寬度t0， 并對其取極限，并對其取極限

32、， 得到得到 0001( )lim() ()(1)() ()ntknkf tf k ttk ttktttf k ttk tt ()(1)()tk ttkttk tt ）第第第 303030頁頁頁-00-000,() ( -)( )( ) ()() ( -)( )( ) ()limlimntkntkttdt k tf k tt k ttf tftdtLTIf k t h t k ttf tfh tdt 在的情況下，將寫成寫為 ，可以得到在以上一系列沖激函數作用下，系統的零狀態(tài)響應：第第第 313131頁頁頁卷積積分的定義卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個函數）上的兩個函

33、數f1(t)和和f2(t)，則定義，則定義積分積分 dtfftf)()()(21為為f1(t)與與f2(t)的的卷積積分卷積積分，簡稱，簡稱卷積卷積；記為；記為 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：積分是在虛設的變量：積分是在虛設的變量下進行的，下進行的，為積分變量，為積分變量，t為參為參變量。結果仍為變量。結果仍為t 的函數。的函數。 )(*)(d)()()(thtfthftyf第第第 323232頁頁頁例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求，求yf(t)。解：解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt

34、當當t t時，時，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232第第第 333333頁頁頁卷積積分圖解法：可以把卷積運算中一些抽象的關系形象化，卷積積分圖解法：可以把卷積運算中一些抽象的關系形象化，便于理解卷積的概念及方便運算。便于理解卷積的概念及方便運算。卷積積分圖解法五個步驟：卷積積分圖解法五個步驟：、反褶、平移、相、反褶、平移、相乘、相加乘、相加 具體地：具體地：()改換圖形中的橫坐標，由改換圖形中的橫坐標，由t改為改為 ， 變成函數的自變量；變成函數的自變量；()把其中一個信號反折（反褶）。把其

35、中一個信號反折（反褶）。()把反折后的信號做位移，移位量是把反折后的信號做位移，移位量是t，這樣，這樣t是一個參變量。是一個參變量。在在 坐標系中，坐標系中，t0圖形右移；圖形右移；t0圖形左移。圖形左移。()兩信號重疊部分相乘兩信號重疊部分相乘e( )h(t- );()完成相乘后圖形的積分。完成相乘后圖形的積分。卷積積分圖解法卷積積分圖解法第第第 343434頁頁頁)()(ete或01211或t)()(hth或021或t（）改換圖形中的橫坐標，由（）改換圖形中的橫坐標，由t改為改為 ， 變成函數的自變量；變成函數的自變量；v 例例2.8.1，用圖解法求下列兩個函數的卷積，用圖解法求下列兩個函

36、數的卷積)(h021（）先反褶，然后平移（先左移到與另一信號沒有重合后，再開始右移。這么（）先反褶，然后平移（先左移到與另一信號沒有重合后，再開始右移。這么做是為了確定積分區(qū)間）做是為了確定積分區(qū)間）)(th0t1第第第 353535頁頁頁)(e0t1)(th21121)(ta1( ),2( ) ()ate t h t 兩個函數沒有重合，因此為零，積分也就為零0)(*)(thte121)(tb)(e0t1)(th211121)(tb16144)(211)(*)(221tdtthtet（3）圖形中的重疊部分相乘，再積分）圖形中的重疊部分相乘，再積分第第第 363636頁頁頁231)(tc1634

37、3)(211)(*)(121tdtthte)(e0t1)(th211231)(tc323)(td)(e0t1)(th211323)(td4324)(211)(*)(212ttdtthtet第第第 373737頁頁頁)(e0t1te3)()(th211 te3)(0)(*)(thte（4 4）相加：以上各圖中的相加：以上各圖中的陰影面積陰影面積，即為即為相乘積分的結果相乘積分的結果。最后，若以。最后，若以t t為為橫坐標，將與橫坐標，將與t t對應積分值描成曲線，對應積分值描成曲線，就是卷積積分就是卷積積分e(t)e(t)* *h(t)h(t)函數圖像。函數圖像。)(*)(thte023169t

38、)(th211161523卷積積分結果第第第 383838頁頁頁( )( )( )( )u tv tu tv t（1）互換律：卷積性質可以使卷積運算簡化。卷積性質可以使卷積運算簡化。作為一種數學運算，卷積運算具有某些特殊性質，這些性作為一種數學運算，卷積運算具有某些特殊性質，這些性質在信號分析中有重要作用。質在信號分析中有重要作用。卷積性質卷積性質( )( )( ) (),( ) ()( ) ()( )( )u tv tuv tdxtddxv x u tx dxv x u tx dxv tu t ，令則第第第 393939頁頁頁( )( )( )( )( )( )( )u tv tw tu t

39、v tu tw t（2）分配律：113( ) ( )( )( ) ()()( ) ()( ) ()( )( )( )( )u tv tw tuv tw tduv tduw tdu tv tu tw t12( )( )( )( )r te th tht實際的意義：并聯系統第第第 404040頁頁頁( )( )( ) (),t( )( )( )( )( ) (),( )( )( )( )() ()v tw tvw tdu tv tw tuvw td dxxddxu tv tw tuv xw tx dd 記住是 的函數；因此令代入上式，得到交換卷積次序，并依據卷積定義得v 3. 結合律結合律 u(t

40、)*v(t)*w(t)=u(t)*v(t)*w(t) 證明：證明：第第第 414141頁頁頁( )( )( )( )() ()( ) () () ( )( ) ()( )( )( )u tv tw tuv xw tx dx duv xdw tx dxu xv x w tx dxu tv tw t第第第 424242頁頁頁 ( )( ) ( )( )( ) ( )dddu tv tu tv tu tv tdtdtdt卷積的微分、卷積的微分、 積分性質積分性質與信號的運算相似，卷積也有微分、積分性質，但與信號與信號的運算相似，卷積也有微分、積分性質，但與信號的微分、積分運算有所區(qū)別。的微分、積分運

41、算有所區(qū)別。(1) 微分微分第第第 434343頁頁頁( ) ()( )()( )( )duv tddtduv tddtdu tv tdt由卷積的互換律性質，由卷積的互換律性質， 同理可證同理可證 ( )( )( )( )ddu tv tu tv tdtdt證明證明：第第第 444444頁頁頁 ( )( )( )( )( )( )tttu xv x dxu tv x dxv tu x dx積分：積分：1( )( )( ) ()( )()( )( )ttttu xv x dxuv xddxuv xddu tv x dx根據卷積的定義證明：根據卷積的定義證明：根據卷積的互換律同樣可以證明后式。根據

42、卷積的互換律同樣可以證明后式。第第第 454545頁頁頁( )( )( )( )( )( )( )ttdu tdv ty tu tv tvduddtdt微、積分性微、積分性: 若y(t)=u(t)*v(t) 則y(i)(t)=u(j) (t)*v(i-j)(t) 其中其中, i、 j取正整數時為導數的階次；取正整數時為導數的階次； i、 j取負整數時為積取負整數時為積分的階次。分的階次。 特別地特別地, 第第第 464646頁頁頁( )( )( )()( )()( ) ()( )( )tttdu tdvduvddtdtduvddtuv tu tv tv證明：證明：第第第 474747頁頁頁函數延時后的卷積函數延時后的卷積121122121122112211122121212( )( )( )()()()()()()()()()( )()()f tftf tf ttfttf tttf ttfttftfttdtxf ttfttf xftttx df ttt證明：令則 兩個函數經延時后的卷積，等于兩函數卷積后延時，其兩個函數經延時后的卷積，等于兩函數卷積后延時，其延時量為兩函數分別延時量的和。延時量為兩函數分別延時量的和。第第第 484848頁頁頁00( )(