第八章相量法PPT課件

1、 第八章第八章 相量法相量法重點：重點：1、復數(shù)的運算、復數(shù)的運算2、正弦量的相量表示、正弦量的相量表示3、電路定律的相量形式、電路定律的相量形式+_RuLCi1. 問題的提出：問題的提出：+j+1Abar 0設設A為復數(shù)，其表示形式有為復數(shù)，其表示形式有:A =a + jbabarctan22bar復數(shù)的模復數(shù)的模復數(shù)的輻角復數(shù)的輻角式中式中:racosrbsin)sinj(cossinjcosrr rAsinjcosej 歐拉公式歐拉公式： rAje rrrjrbaA jesincosj rA l 復數(shù)復數(shù)A的表示形式的表示形式) 1(j為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位 AbReIma0A=a+jbA

2、bReIma0 |A|jbajAeAAj )sin(cos| 2. 2. 復數(shù)的運算復數(shù)的運算| A jeAA| 復數(shù)兩種表示法的關系：復數(shù)兩種表示法的關系：A=a+jb A=|A|ej =|A| 直角坐標表示直角坐標表示極坐標表示極坐標表示 ab baAarctg| 22 或或 A b|A|asin|cos AbReIma0 |A|(1)(1)加減運算加減運算采用代數(shù)形式采用代數(shù)形式若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2則則 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)A1A2ReIm0圖解法圖解法(2) (2) 乘除運算乘除運算采用極坐標形式采用極坐標形式若若 A1=|A1| 1 ，A2

3、=|A2| 22121)j(212j2j1221121 | e|e|e| | |211AAAAAAAAAA 除法：模相除，角相減。除法：模相除，角相減。乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。則則:2121)(212121 2121 AAeAAeAeAAAjjj例例1. ?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569.047.12j 解解61. 248.12 例例2. ?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 解解2 .126j2 .180 原原式式04.1462.203 .56211. 79 .2724.19 16.70728

4、. 62 .126j2 .180 329. 6j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 )(sinmtUu 設正弦量設正弦量:若若: :有向線段長度有向線段長度 = mU有向線段以速度有向線段以速度 按逆時針方向旋轉按逆時針方向旋轉則則: :該旋轉有向線段每一瞬時在縱軸上的投影即表示該旋轉有向線段每一瞬時在縱軸上的投影即表示相應時刻正弦量的瞬時值。相應時刻正弦量的瞬時值。有向線段與橫軸夾角有向線段與橫軸夾角 = 初相位初相位 1u1tu0 xy0mUut O 8.2 8.2 正弦量正弦量瞬時值表達式：瞬時值表達式：i(t)=Imcos( t+ )波形

5、：波形：tiO T正弦量為周期函數(shù)正弦量為周期函數(shù) f(t)=f ( t+k kT T)周期周期T T ：重復變化一次所需的時間。：重復變化一次所需的時間。單位：單位：s s，秒，秒頻率頻率f f ：每秒重復變化的次數(shù)。：每秒重復變化的次數(shù)。周期周期T (period)和頻率和頻率f (frequency) :單位：單位：HzHz，赫，赫( (茲茲) )Tf1 l 正弦電路正弦電路激勵和響應均為正弦量的電路（正弦激勵和響應均為正弦量的電路（正弦穩(wěn)態(tài)電路）稱為正弦電路穩(wěn)態(tài)電路）稱為正弦電路（1 1）正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術領域占）正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術領域占有十分重要的地位。有

6、十分重要的地位。l 研究正弦電路的意義：研究正弦電路的意義：1 1）正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導、正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導、積分運算后仍是同頻率的正弦函數(shù)積分運算后仍是同頻率的正弦函數(shù) 優(yōu)點：優(yōu)點：2 2）正弦信號容易產生、傳送和使用。正弦信號容易產生、傳送和使用。（2 2）正弦信號是一種基本信號，任何變化規(guī)律復）正弦信號是一種基本信號，任何變化規(guī)律復雜的信號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。雜的信號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。)cos()(1knkktkAtf 對正弦電路的分析研究具有重要的理對正弦電路的分析研究具有重要的理論價值和實際意義。論價值和實際意義。)(sinmt

7、Uu設正弦量設正弦量:相量相量: 表示正弦量的復數(shù)稱相量表示正弦量的復數(shù)稱相量 UUeU j)(sinmtIi？= 非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。 UeUUmjmm 或：或：IeImjm 相量圖相量圖: 把相量表示在復平面的圖形把相量表示在復平面的圖形)jsincos(ejUUUU 相量式相量式: 模模用最大值表示用最大值表示 ，則用符號：，則用符號：mmI U、 實際應用中，模多采用有效值，符號：實際應用中，模多采用有效值，符號：I U、如：已知如：已知)V45(sin220 tuVe220j45m UVe2220j45 U則則或或只有只有同頻率同頻率的正弦量才能畫在同一相

8、量圖上。的正弦量才能畫在同一相量圖上。 可不畫坐標軸，參考相量畫在水平方向?？刹划嬜鴺溯S，參考相量畫在水平方向。 IUj 旋轉旋轉 90因子：因子：j90sinj90cosej90 rAje +1+jo相量相量 乘以乘以 ， 將逆時針旋轉將逆時針旋轉90，得到，得到A 90jeBA相量相量 乘以乘以 ， 將順時針旋轉將順時針旋轉 90，得到，得到CA -j90eA1j ：虛數(shù)單位虛數(shù)單位ABC)A30(sin24 t？Ae4j30 I)A60(sin10ti？V100 U？Ve100j15 U？ 1.已知：已知：A6010 IV15100 U(1)(1)幅值幅值 (amplitude) ( (

9、振幅、振幅、 最大值最大值) )Im(2) (2) 角頻率角頻率(angular frequency)2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素tiO T(3) (3) 初相位初相位(initial phase angle) ImTf 22 單位：單位： rad/s ，弧度，弧度 / 秒秒反映正弦量變化幅度的大小。反映正弦量變化幅度的大小。相位變化的速度，相位變化的速度， 反映正弦量變化快慢。反映正弦量變化快慢。 反映正弦量的計時起點，反映正弦量的計時起點，常用角度表示。常用角度表示。 i(t)=Imcos( t+ )同一個正弦量，計時起點不同，初相位不同。同一個正弦量，計時起點不同，初相位不同

10、。ti0一般規(guī)定一般規(guī)定：| | 。 =0 = /2 = /2例例已知正弦電流波形如圖，已知正弦電流波形如圖， 10103 3rad/srad/s，（1 1）寫出）寫出i(t)表達式；表達式；（2 2）求最大值發(fā)生的時間）求最大值發(fā)生的時間t t1 1ti010050t1解解)10cos(100)(3 tti cos100500 t3 由于最大值發(fā)生在計時起點右側由于最大值發(fā)生在計時起點右側3 )310cos(100)(3 tti有最大值有最大值當當 310 13 tmst047. 110331 3. 3. 同頻率正弦量的相位差同頻率正弦量的相位差 (phase difference)。設設

11、u(t)=Umcos( t+ u), i(t)=Imcos( t+ i)則則 相位差相位差 ： = ( t+ u)- - ( t+ i)= u- - i 0， u超前超前I 角，或角，或i 落后落后u 角角(u 比比i先到達最大值先到達最大值) )； 0， i 超前超前 u 角角，或或u 滯后滯后 i 角角,i 比比 u 先到達最大值。先到達最大值。 tu, iu i u i O等于初相位之差等于初相位之差規(guī)定：規(guī)定： | | (180)。 0， 同相：同相： = ( 180o ) ，反相：，反相：特殊相位關系：特殊相位關系： tu, iu i0 tu, iu i0= /2/2：u 領先領先

12、i /2/2, 不說不說 u 落后落后 i 3 /2；i 落后落后 u /2/2, 不說不說 i 領先領先 u 3 /2。 tu, iu i0同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。例例計算下列兩正弦量的相位差。計算下列兩正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201 ttitti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( )1(21 ttitti045)2(43 000135)105(30 )105100cos(10)(02 tti 解解解解)45 200cos(10)( )30 100c

13、os(10)( )3(0201 ttuttu )30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201 ttitti )150100cos(3)(02 tti 不能比較相位差不能比較相位差21 000120)150(30 兩個正弦量進行相位比較時應滿足同頻率、同函數(shù)、同符兩個正弦量進行相位比較時應滿足同頻率、同函數(shù)、同符號，且在主值范圍比較。號，且在主值范圍比較。 解解解解4. 4. 周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的有效值 周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為了衡量其平均效果工程上采用有效值來表示。了衡量其平均效果工程上采用有

14、效值來表示。l 周期電流、電壓有效值周期電流、電壓有效值(effective value)定義定義R直流直流IR交流交流ittiRWTd)(20 TRIW2 電流有效電流有效值定義為值定義為有效值也稱均方根值有效值也稱均方根值(root-meen-square)物物理理意意義義同樣同樣，可定義電壓有效值：，可定義電壓有效值：l 正弦電流、電壓的有效值正弦電流、電壓的有效值設設 i(t)=Imcos( t+ )ttITITd ) (cos1022m TtttttTTT2121d2) (2cos1d ) (cos 0002 mm2m707.0221 IITITI ) cos(2) cos()(mt

15、ItIti II2 m 同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關系：同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關系：UUUU2 21mm 或或若一交流電壓有效值為若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為則其最大值為Um 311V； U=380V，則其最大值為則其最大值為 Um 537V。（1 1）工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，）工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設備銘牌額定值、電網的電壓等級等。但絕緣水平、如設備銘牌額定值、電網的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐壓耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐壓水平時應按最大值考慮。水平時應按最大值考慮

16、。（2 2）測量中，交流測量儀表指示的電壓、電流讀數(shù)）測量中，交流測量儀表指示的電壓、電流讀數(shù)一般為有效值。一般為有效值。（3 3）區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號。）區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號。注注jjej 2sin2cos,22 jjej)2sin()2cos(,22)(1)sin()cos(,)(jej故故 +j, j, - -1 都可以看成旋轉因子。都可以看成旋轉因子。幾種不同幾種不同 值時的旋轉因子值時的旋轉因子ReIm0II j I j I 設一個復函數(shù)設一個復函數(shù))j(e2)( tItA對對A(t)取實部：取實部：i(t)tItA ) cos(2)(

17、Re 對于任意一個正弦時間函數(shù)都有唯一與其對應的復數(shù)函數(shù)對于任意一個正弦時間函數(shù)都有唯一與其對應的復數(shù)函數(shù)) j(2)( ) (c2tIetAtosIiA(t)包含了三要素：包含了三要素：I、 、 ，復常數(shù)包含了，復常數(shù)包含了I I , 。A(t)還可以寫成還可以寫成tteIItA jj2ee2)(j 復常數(shù)復常數(shù)) sin(2j) cos(2tItI 8.3相量法基礎相量法基礎 ) cos(2)(IItIti ) cos(2)(UUtUtu 稱稱 為正弦量為正弦量 i(t) 對應的相量。對應的相量。 II 相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的

18、幅角表示正弦量的初相位同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：已知已知例例1 1試用相量表示試用相量表示i, u .)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .141oo uti解解V60220A30100oo UI在復平面上用向量表示相量的圖在復平面上用向量表示相量的圖 IItosIti) (c2)(UUtosUtu ) (c2)( 例例2試寫出電流的瞬時值表達式。試寫出電流的瞬時值表達式。解解 A)15314cos(250 ti. 50Hz A,1550 fI已已知知l 相量圖相量圖 U I 相量的運算相量的運算(1) (1) 同頻率正

19、弦量的代數(shù)和同頻率正弦量的代數(shù)和同頻正弦量相加減運算變成同頻正弦量相加減運算變成對應相量的相加減運算。對應相量的相加減運算。)2(R) cos(2)()2(R) cos(2)( j2222 j1111tteUetUtueUetUtu )(2(R)22(R )2(R)2(R)()( )( j21j2j1j2j121ttttteUUeeUeUeeUeeUetututu U21UUU 可得其相量關系為：可得其相量關系為：例例V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21 ttuttu也可借助相量圖計算也可借助相量圖計算V604 V 306o2o1 UUV )9 .41314c

20、os(264. 9)()()(o21 ttututu60430621 UUUReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU46. 32319. 5jj 46. 619. 7j V 9 .4164. 9o 602U首尾相接首尾相接 （2 2） 正弦量的微分，積分運算正弦量的微分，積分運算 ) cos(2iiIItIi 2Re 2Re tjtjejIeIdtddtdi tjtjejIteIti 2Re d 2Red 微分運算微分運算:積分運算積分運算:2)(.iIIjdtdi微分的向量2)(i。IjIdtdi積分的向量相量運算小結：將正弦量用相量表示后，同頻率正弦量的運算：加、減

21、、乘、除、微分、積分等，均可轉變?yōu)橄嗔康拇鷶?shù)運算，結果仍是一個同頻率的正弦量。相量的加減運算常用直角坐標式，乘除運算用極坐標形式或指數(shù)形式。1、同頻率的正弦量的代數(shù)和等于各正弦量的相、同頻率的正弦量的代數(shù)和等于各正弦量的相量相加量相加2、正弦量的微分是一個同頻率的正弦量，其相、正弦量的微分是一個同頻率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量乘以量等于原正弦量的相量乘以j。3、正弦量的積分是一個同頻率的正弦量，其相、正弦量的積分是一個同頻率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量除以量等于原正弦量的相量除以j。例例 ) cos(2)(itIti 1)( idtCdtdiLRituRi(t)u(t)L+- -

22、C用相量運算：用相量運算： CjIILjIRU 相量法的優(yōu)點：相量法的優(yōu)點：（1 1）把時域問題變?yōu)閺蛿?shù)問題；）把時域問題變?yōu)閺蛿?shù)問題；（2 2）把微積分方程的運算變?yōu)閺蛿?shù)方程運算；）把微積分方程的運算變?yōu)閺蛿?shù)方程運算；（3 3）可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路；）可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路；注注 正弦量正弦量相量相量時域時域 頻域頻域 相量法只適用于激勵為同頻正弦量的相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路非時變線性電路。 相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。N線性線性N線性線性 1 2非非線性線性 不適用不適用正弦波形圖正弦波形圖相量圖相量圖

23、8.4 8.4 電路定理的相量形式電路定理的相量形式1. 1. 電阻元件電阻元件VCR的相量形式的相量形式時域形式：時域形式：相量形式：相量形式：iRiRIUII 相量模型相量模型)cos(2)( itIti 已已知知)cos(2)()( iRtRItRitu 則則uR(t)i(t)R+- -有效值關系有效值關系相位關系相位關系R+- -RU IUR u相量關系：相量關系：IRUR UR=RI u= i瞬時功率：瞬時功率：iupRR 波形圖及相量圖：波形圖及相量圖： i tORUI u= iURI瞬時功率以瞬時功率以2 交變。始終大于零，表明電阻始終吸收功率交變。始終大于零，表明電阻始終吸收功

24、率) (cos22i2tIUR ) (2cos1 itIUR 同同相相位位時域形式：時域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：) cos(2)( itIti 已已知知)2 cos( 2 ) sin(2d)(d)( iiLtILtILttiLtu 則則相量模型相量模型j L+- -LU I相量關系：相量關系：IjXILjULL 有效值關系：有效值關系： U= L I相位關系：相位關系： u= i +90 2. 2. 電感元件電感元件VCR的相量形式的相量形式2 iLiLIUII感抗的物理意義：感抗的物理意義：(1) (1) 表示限制電流的能力；表示限制電流的能力；(2) (2)

25、感抗和頻率成正比；感抗和頻率成正比； XL相量表達式相量表達式:XL= L=2 fL，稱為感抗，單位為稱為感抗，單位為 ( (歐姆歐姆) )BL=1/ L =1/2 fL， 感納，單位為感納，單位為 S S 感抗和感納感抗和感納: ,ILjIjXUL ; , ,; , 0 ),(0開路開路短路短路直流直流 LLXXULjULjUjBIL 11功率：功率：) (2sin ) sin()cos( miLiimLLLtIUttIUiup t iOuLpL2 瞬時功率以瞬時功率以2 交變，有正有負，一周期內剛好互相抵消交變，有正有負，一周期內剛好互相抵消LUI i波形圖及相量圖：波形圖及相量圖：電壓超

26、前電電壓超前電流流900時域形式：時域形式：相量形式：相量形式：)cos(2)( utUtu 已知已知)2 cos(2 ) sin(2d)(d)( uuCtCUtCUttuCti 則則相量模型相量模型iC(t)u(t)C+- - UCI +- -Cj1有效值關系：有效值關系： IC= CU相位關系：相位關系： i= u+90 相量關系：相量關系：IjXICjUC 13. 3. 電容元件電容元件VCR的相量形式的相量形式2 uCuCUIUUXC=1/ C， 稱為容抗，單位為稱為容抗，單位為 ( (歐姆歐姆) )B B C = C， 稱為容納，單位為稱為容納，單位為 S S 頻率和容抗成反比頻率和容抗成反比, 0， |XC| 直流開路直流開路( (隔直隔直) ) ，|XC|0 0 高頻短路高頻短路( (旁路作用旁路作用) ) |XC|容抗與容納：容抗與容納：相量表達式相量表達式:UCjUjBIICjIjXUCC 1功率：功率：)(2sin )sin()cos(2 uCuuCCCtUIttUIuip t iCOupC2 瞬時功率以瞬時功率以2 交變，有正有負