拋物線壓軸題

1、啟用前XXX學(xué)校2014-2015學(xué)年度2月月考卷試卷副標(biāo)題考試圍：XXX；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：XXX題號(hào)一總分得分注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的、班級(jí)、考號(hào)等信息2 請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第丨卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改笫I卷的文字說明第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評(píng)卷人得分一.解答題（題型注釋）1 為鼓勵(lì)大學(xué)甲業(yè)生自主創(chuàng)業(yè).某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給 大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)，明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一 種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷售量y（件

2、）與銷售 單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y二一 10x+500.明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)左為20元，那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？ 設(shè)明獲得的利潤為W（元），當(dāng)銷售單價(jià)泄為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？物價(jià)部門規(guī)定，這種肖能燈的銷售單價(jià)不得高于25元，如果明想要每月獲得的利潤不低于3000元， 那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？2如圖所示.直線1： y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B把AAOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C,（1）求直線BD和拋物線的解析式.（2）若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與AMCD相似, 求所有滿

3、足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使S,沁f6?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.3.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品根據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個(gè)月能銷售500千克：銷售單價(jià)每漲1元，月銷售疑就減少10千克.針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況，請(qǐng)解答以下 問題：（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤；（2）設(shè)銷售單價(jià)為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：（3）商店想在月銷售成本不超過10 000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到5 000元，銷售單價(jià)應(yīng)左為 多少？（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限函數(shù)圖象上一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐

4、標(biāo)為m, APBC的而積為S,求S與m的函數(shù) 關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，連接AP,拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得線段PA被BC平分，如果不存在，請(qǐng) 說明理由；如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo).5. 某商品的進(jìn)價(jià)為每件50元，售價(jià)為每件60元，每個(gè)月可賣岀200件：如果每件商品的售價(jià)每上漲1 元.則每個(gè)月少賣10件。設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤為y元.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（2）每件商品的售價(jià)泄為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？（3）若每個(gè)月的利潤不低于2160元，售價(jià)應(yīng)在什么圍？6. 如圖，已知拋物線y=x:-l與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交

5、于點(diǎn)C.（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).（2）過點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P,求四邊形ACBP的而枳.（3）在因軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,過M作泌團(tuán)軸于點(diǎn)G,使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三 角形與込iPCA相似.若存在，請(qǐng)求岀M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由.7.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為20元/千克.市場凋查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的 銷售量w （千克）與銷售價(jià)x （元/千克）有如下關(guān)系:w=-2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為y （元）.（1）求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式，自變量x的取值圍：（2）當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）如果物價(jià)部門規(guī)立

6、這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不得高于28元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利 潤，銷售價(jià)應(yīng)立為多少元？（參考關(guān)系：銷售額二售價(jià)X銷量，利潤二銷售額-成本）參數(shù)答案1. (1) 600： (2) 30： (3) 500.【解析】試題分析：(1)根據(jù)銷售額二銷售量X銷售單價(jià)，列岀函數(shù)關(guān)系式；(2) 用配方法將(2)的函數(shù)關(guān)系式變形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值：(3) 把尸3000代入(2)的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二次方程求x,根據(jù)x的取值圍求x的值.試題解析：當(dāng) x二20 時(shí)，y= -1 Ox+500= -10X20+500=300,300X (12-10)=300X2=600,即政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總

7、差價(jià)為600元.依題意得，W=(x-10) (一 10x+500)二一 10x：+600x5000二一 10(x-30F+4000Ta二一 10 V0,當(dāng) x=30 時(shí),W 有最大值 4000.即當(dāng)銷售單價(jià)泄為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤4000元.由題意得：一 1(+60(5000二3000,解得：xf20, x=40.Ta二一 10V0,拋物線開口向下，結(jié)合圖象可知：當(dāng)20WxW40時(shí)，W23000.又 TXW25,當(dāng) 20Wx£25 時(shí)，WM3000.設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，.p二(12 10) X (-lOx+500)二一 20x+1000.Vk=-20<0

8、.p隨x的增大而減小，.當(dāng)x=25時(shí),p有最小值500.即銷售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元.考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用.2. (1)直線BD的解析式為:y= - x+3,拋物線的解析式為:y=x3 - 4x+3：(2) 滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為：(0, 0), ( -3, 0)或(0, -3)；(3) 在拋物線上存在點(diǎn)P,使S,x二6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4, 3)或(-1, 8).【解析】試題分析：(1)由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式：(2) 首先確/jiAMCD為等腰直角三角形，因?yàn)锳BNO與AMCD相似，所以ABNB也是等腰直角三角形.如 答圖1所示，符合條件的點(diǎn)

9、N有3個(gè)；(3) 如答圖2、答圖3所示，解題關(guān)鍵是求岀APBD而積的表達(dá)式，然后根據(jù)S®尸6的已知條件，列岀 一元二次方程求解.試題解析：(1) .直線1： y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,A A ( - 1, 0), B (0, 3)；把AAOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C, AC (1, 0).設(shè)直線BD的解析式為：y二kx+b,點(diǎn)B (0, 3), D (3, 0)在直線BD上,7 ,3k+b = 0 解得 k= - 1, b二3,直線BD的解析式為:y=-x+3.設(shè)拋物線的解析式為：y二a (x- 1) (x-3),點(diǎn)B (0, 3)在拋物線上，A3=aX ( - 1

10、) X ( - 3),解得：a二1,拋物線的解析式為：y= (x - 1) (x-3) =xs - 4x+3；(2)拋物線的解析式為:y=x3 - 4x+3= (x-2) 5- 1,.拋物線的對(duì)稱軸為直線x二2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2, -1).直線BD： y二-x+3與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,令尸2,得y二1, AM (2, 1).設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,則CF二FD二MF二1,A AMCD為等腰直角三角形.以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與AMCD相似，A ABND為等腰直角三角形.如答圖1所示：(I) 若BD為斜邊，則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)0,.：N, (0, 0)；(II) 若BD為直角邊，B為

11、直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上，0B=0D=0f3,.(- 3, 0)；(III) 若BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上,TOB 二 0D 二 023,(0, -3).滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為：(0, 0), ( -3, 0)或(0, -3)：(3)假設(shè)存在點(diǎn)P,使二6,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m, n).(I) 當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí)，如答圖2所示：DE=m 3.S.bbd=S 柿形prob - S.pjod " S/vPoej l：2!(3+n)in-X3X3-2 2化簡得:m+n=7，VP (m, n)在拋物線上,.* n=m" 4m+3t代入式整理得：m= - 3

12、m - 4=0, 解得：nu二4, nk= - L n：3 98 A Pt (4, 3), P： ( - b 8)：(II)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD F方時(shí)，如答圖3所示:0E= - n, BE=3 -1S/.rac=S 柿形prou+S./aco - S/.psen(34m) ( - n) +X3X3 -(3 - n) *111=6,化簡得：m+n= - 1，VP (m> n)在拋物線上，.* n=m" - 4m+3 代入式整理得：m= - 3m+4=0, A= - 7<0,此方程無解.故此時(shí)點(diǎn)P不存在.綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使S.w=6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4, 3)或(

13、-1, 8).考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.(3) 90 元3. (1) 450(千克)6750(元)(2) y= (x-40) 500-(x-50) X10【解析】解：(1)月銷售量:500-10X (55-50)=450(千克)，月銷售利潤:(55-40) X450=6750(元).(2) y=(x-40)500-(x-50)X10(3) 當(dāng) y二5000 元時(shí)，(x-40) 500-(x-50) X 101=5000.解得 xf50 (舍去),x：=90.當(dāng) x=50 時(shí)，40X500=20000>10000.不符合題意舍去.當(dāng) X二90 時(shí)，500-(90-50) X 10=100, 4

14、0 X 100=4000.銷售單價(jià)應(yīng)左為90元.4. (1) y(3)存在,P(2,9)或P(3,8)【解析】試題分析：(1)令y二0,解關(guān)于X的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再令x二0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)， 設(shè)直線BC解析式為y=kx+b (kHO),利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；< 2)過點(diǎn)P作PH丄x軸于H,交BC于F,根據(jù)拋物線和直線BC的解析式表示出PF,再根據(jù)沁 整理即可得解：<3)設(shè)AP、BC的交點(diǎn)為E,過點(diǎn)E作EG丄x軸于G,根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行可得EGPH, 然后判斷岀AAGE和AAHP相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可表示出EG、HG,然后表示出

15、BG,根據(jù) 0B二0C可得ZOCB二ZOBC二45°，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得EG二BG,然后列岀方程求出m的值，再根據(jù)拋物 線解析式求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得解.試題解析：(1)當(dāng)y二0時(shí)，xi=5> xc=LTA左B右，AA(-1, 0),B(5, 0)當(dāng) x二0 時(shí)，y=5,AC (0,5),設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,rs+T=oi(Oxk+b = 5p = -l：b = 5L J直線BC解析式為:尸匚玨5i：作PH丄x軸于H,P (m, -nT+4m+5) > F (m, -m+5)PF=-m"+5m ,S=(一 r + 5m) x m + (-m2 +

16、 5m) x(5 - m)2 2虧；25_nS-：m Hhi :! 2 2 _ .(3)存在點(diǎn)P,作EG丄AB于G, PH丄AB于H,EGPH,AGEs/AHP,eg ag"T := _市一麗一喬盲1*.* P (m, -nT+4m+5)," MM OMB .aMB &1 crr 一r+4加+5EG二-PH =2 2 W W MW AH二 m- (-1) =m+l,GH= -AH =竺乜2_ _ _2_:/十 i _HB二5-m , GB二i5-inV0C=0B=5,A ZOCB=ZOBC=45° ,EG 二 BG,-nr + 4m + 5m + 匕2!

17、j tn2 m：2 nt3 當(dāng) m二2 時(shí)，P(2,9),當(dāng) m二3 時(shí),P(3,8),存在這樣的點(diǎn)P,使得線段PA被BC平分,P (2, 9)或P (3, 8).考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.5. (1) y=-10x3+100x+2000： (2) 65, 2250； (3)不低于 62 元且不高于 68 元且為整數(shù).【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意，得出每件商品的利潤以及商品總的銷量，即可得岀y與x的函數(shù)關(guān)系式.(2) 根據(jù)題意利用配方法得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式，進(jìn)而得岀當(dāng)x二5時(shí)得岀y的最大值.(3) 設(shè)y二2160,解得x的值.然后分情況討論解.試題解析：(1)設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元(x為正

18、整數(shù))，則每件商品的利潤為：(60-50+x)元，總銷量為:(200-10x)件，商品利潤為：y= (60-50+x) (200-10x),=(10+x) (200-lOx),=-10xc+100x+2000.原售價(jià)為每件60元，每件售價(jià)不能髙于72元，0VxW12且x為正整數(shù):(2) y=-10xs+100x+2000,=-10 (x:-10x) +2000,=-10 (x-5) '+2250.故當(dāng)x=5時(shí)，最大月利潤y二2250元.這時(shí)售價(jià)為60+5二65 (元).(3) 當(dāng) y二2160 時(shí)，-10xs+100x+2000=2160,解得：Xi二2, x=8.當(dāng) x二2 時(shí)，60

19、+x二62,當(dāng) x二8 時(shí)，60+x=68.當(dāng)售價(jià)定為每件62或68元，每個(gè)月的利潤為2160元.當(dāng)售價(jià)不低于62元且不高于6S元且為整數(shù)時(shí)，每個(gè)月的利潤不低于2160元.考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用.),(4, 15).6. (1) A (-1, 0), B (1, 0), C (0, -1)； (2) 4； (3) (-2, 3),(【解析】試題分析：(1)拋物線與x軸的交點(diǎn)，即當(dāng)y二0, C點(diǎn)坐標(biāo)即當(dāng)滬0,分別令y以及x為0求出A, B, C 坐標(biāo)的值：(2) 四邊形ACBP的而積= ABC+AABP,由A, B, C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可知AABC是直角三角形，且AC二BC, 則可求出AABC的面積，

20、根據(jù)已知可求岀P點(diǎn)坐標(biāo)，可知AP的長度，以及點(diǎn)B到直線的距離，從而求岀 AABP的面積，則就求出四邊形ACBP的而積：(3) 假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M,兩個(gè)三角形相似，根拯題意以及上兩題可知，ZPACZ和ZMGA是直角，只AG MG或AG MGCA MW CAPA 需證明即可.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題中所給條件可求岀線段AG, CA, MG, CA的長度，然后列等式，分情況討論，求解.試題解析：(1)令尸0,得 x2-l=0解得x=±l.令 x=0,得 y=-lA (-1, 0), B (1, 0), C (0, -1)；(2) TOARB二0C二 1,A ZBAC=ZAC0=ZBC0=45&#

21、176; VAP/7CB,A ZPAB=45° 過點(diǎn)P作PE丄x軸于E,則AAPE為等腰直角三角形, 令 0E二A,則 PE=A+bAP (A, A+l).點(diǎn)P在拋物線尸丁-1上，.A+1=A：-1 解得免二2, A-l (不合題意，舍去).11四邊形ACBP的而積S=|-!200C1-PE1-X2XH!2X 2X3=4：APE=3 (3)假設(shè)存在V ZP=ZBAC=45° ,PA 丄 ACMG丄x軸于點(diǎn)G, ZMGA=ZPAC=90°在 RtZkAOC 中，OA=OC=1,AC 二旋 jRt APAE 中，AE二PE二3,rAP 二 3邁 j設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,則M (m, m:-l )點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí),貝lJmV-1.(i )當(dāng)厶AMGAPCA 時(shí)zAG MG'有kET3>/22(ii)解得mE （舍去鋅?。ㄉ崛ィ? AG _ MG CA " PA MMV 當(dāng)AMAGsAPCA時(shí)有解得：m=-l （舍去）業(yè)二-2 AM （-2, 3） （10 分）.點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，則m>lVAG=m+l, MG=m2-l W AG MG MW (i )當(dāng)ZAMGsAPCA 時(shí)有解得mF-1 (舍去)mdLi3 iL1AM (7 -).9(ii)當(dāng)厶 MAGAPCAi m +1 m2 -1解得:mF-1 （舍去）102=4