空間解析幾何及向量代數(shù)測試題及答案

1、軍教院第八章空間解析幾何測試題、填空題(共7題，2分/空，共20分)1.四點(diǎn) O(0,0,0) , A(1,0,0), B(0,1,1), C(0,0,1)組成的四面體的體積是 ?2.已知向量 a =(1,1,1), b =(1,2,3), c = (0,0,1)，則(ax b)1c =_(-2,-1,0)3.點(diǎn)(1,0,1)到直線,3二的距離是一嚕4 .點(diǎn)(1,0,2)到平面3x + y +2z =1的距離是_3/ 225 .曲線C:«xy z=0對xoy坐標(biāo)面的射影柱面是 x2-x + y2-1=0z = x 1對yoz坐標(biāo)面的射影柱面是_(Z -1)2 + y2 Z=0，對xo

2、z坐標(biāo)面的射影柱面是 z - x 1 = 0.x2 =2y .6 .曲線C:«x2y繞x軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是_x4=4(y2+z2)，曲線z = 0C繞y軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是 x2+z2=2y2227 .橢球面 A +L 十二=1的體積是?9425二、計算題(共4題，第1題10分，第2題15分，第3題20分，第4題10分, 共55分)1.過點(diǎn)P(a, b, c)作3個坐標(biāo)平面的射影點(diǎn)，求過這3個射影點(diǎn)的平面方程.這里a,b,c是3個非零實(shí)數(shù).解：設(shè)點(diǎn)P(a,b,c)在平面z=0上的射影點(diǎn)為M1(a,b,0),在平面x = 0上的射影點(diǎn)為 M2(0, a,b),在平面 y=0

3、上的射影點(diǎn)為 M 3(a,0, c),則 M1M 2 = (a,0, c),M1M3 =(0,-b,c)于是M1, M1M 2, M1M 3所確定的平面方程是y - b0-b二0即 bc(x -a) ac(y -b) abz = 0 .2.已知空間兩條直線li： !x + y=°, l z 1=0x _y = 02 ： zi=0證明li和12是異面直線;(2)求li和12間的距離；(3)求公垂線方程.x y z -1證明：(1) li的標(biāo)準(zhǔn)萬程是=±=，li經(jīng)過點(diǎn)Mi(0,0, -1),萬向向量1-10vi Hi,-1,0l2的標(biāo)準(zhǔn)方程是x =1 =202，l2經(jīng)過點(diǎn)M 2

4、(0,0,2),方向向量v2 =1,1,0,于是0(M1M2,v1,v2) = 1103-1 0 =6 =0 ,所以li和l2是異面直線10(2)由于 v1 mv2 =(0,0,2) ,%mv2=2(MiM2,Vi,V2)li和l2間的距離d =j一V| %x一 10公垂線方程是x-10y z +1-10=002yz -210=002即 1"y=0。x - y -02 _3.求曲線廣=2丫繞乂軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面方面. z = 1x2 = 2 y ,斛：設(shè)MAoyhz,)是母線4上任息一點(diǎn)，則過Mx, 丫乙)的緯圓方程是z = 1222222X +y +z =Xi +yi +Zi(1)X

5、 -X1 =0-2又二：，(2) 由(1) (2)消去 xi, yi,zi 得至lj x2 2y22z2+2 = 0 .2224.已知單葉雙曲面上 +匕二=i, P(2,0,0)為腰橢圓上的點(diǎn)，4925 求經(jīng)過點(diǎn)P兩條直母線方程及其夾角； 求這兩條直母線所在的平面冗的方程及平面n與腰橢圓所在平面 的夾角.-)二 u(i -)設(shè)單葉雙曲面兩直母線方程是53u(-)二 w(i y)2 53t(rZ)=v(i-y) v(X-Z)=t(i y) .2 53把點(diǎn)P(2,0,0)分別代入上面兩方程組，求得w=u,t=v代入直母線方程，學(xué)z=i y 七二十得到過點(diǎn)P(2,0,0)的兩條直母線2 53與2 5

6、3 ,即XZ. yXZyII3I I253253J5x-i0y+6z-30=0 與|i5X+i0y -6z-30=0刁i5X i0y 6z-30 = 0i5X -i0y -6z-30=0兩直母線的方向向量可分別取5=(0,3,5)和v2 =(0,3, -5),設(shè)兩直母線的夾角是 8 ,貝U 有 cos = |Vi |/2| = 8 , 0 = n -arccos.Vi v21717x 2yz(2)兩直母線所在平面n的方程是035=0,即x = 203-5顯然平面冗與腰橢圓所在的平面的夾角是0.四、證明題(共2題，第一題10分，第二題15分，共25分)tt2t31. 求證：曲線 r (t) =

7、(2,2,2)在一個球面上，這里的1 t t 1 t t 1 t tt (-二，二)證明：設(shè) r(t) =(x, y,z),則有 x2 + y2 +z2 = y ,即 x2 十(y 1)2 + z2所以曲線r'(t)=(t1 t t2t21 t t2t3, , 、，1, ,一、，1 ,-)在球心為(0,-,0)，半徑為的球1 t t2222.證明：(1)雙曲拋物面的同族的所有直母線都平行于同一平面：(2)雙曲拋物面的同族的兩條直母線異面.證明：(1) 雙曲拋物面的u族直母線中任一條直母線都平行于平面x y -=0,a bv族直母線中任一條直母線都平行于平面)-？ = 0,a b因而結(jié)論成立.5 分不妨取u族直母線來證明，任取u族直母線中兩條直母線11 ：x 1y C一十 = 2u11ab 和12：(X y、U( -)=zl a bj a b,X U2(l. a=2u2篤其中U1 #U2.由于的第一個方程表示的平面平行于的第一個方程表示的平面，即11和12在兩個平行平面上，因而11和12不會相交.又由于直線11的方向向量為V1 =(工,0)父(,-,-1)=(-,-,-1