次黎曼測地線概述

1、次黎曼測地線概述次黎曼測地線概述黃山學(xué)院數(shù)學(xué)系張學(xué)華科教平臺(tái)次黎曼測地線問題是次黎曼幾何中的一個(gè)基本問題.給定n維光滑流形，上的次黎曼結(jié)構(gòu)由（D,g）給出淇中D=UDq c,dimD,=k,k 提J正整數(shù),D是切叢TM的一個(gè)線性子 切叢,稱為水平分布，是定義在上的正定度量，我們把具有 次黎曼結(jié)構(gòu)（D,）的光滑流形稱為次黎曼流形，記為（， D,）.對(duì)次黎曼幾何的研究，主要來源之一是控制論，次黎曼 幾何是對(duì)控制論中有約束的控制系統(tǒng)進(jìn)行研究的理想框架，被用來研究力學(xué)中的非完整系統(tǒng).平面上古典的等周問題也 可看作是次黎曼幾何問題.在所有連接次黎曼流形上兩點(diǎn)的 水平曲線中，尋找局部長度極小的水平曲線問題

2、習(xí)慣上稱為 次黎曼測地線問題.它是變分學(xué)中有約束的Lagrange問題，也 是一個(gè)最優(yōu)控制問題.在黎曼幾何里.所有測地線都是正規(guī)的，在次黎曼幾何 中，可現(xiàn)奇異測地線.奇異測地線是次黎曼幾何所特有的曲 線.所有黎曼測地線都可以由微分方程的解得到.因而都是正 規(guī)的;然而并非所有次黎曼測地線都是正規(guī)的，即還存在不同 于正規(guī)測地線的一類水平曲線即奇異測地線，它是極小測地 線.但不是次黎曼測地線方程解的投影.1991年Montgomery第一次證明了奇異測地線的存在性，在次 ,f,.1,1黎曼流形D上淇中1,:一" f,dimD=2,Montgomery發(fā)現(xiàn)超曲面(y=O)上的水平曲線是奇異

3、測地線.因此奇異測地線的存在與否也是黎曼幾何和次黎曼 幾何的本質(zhì)區(qū)別之一.測地線問題是次黎曼幾何所要研究的一個(gè)主要問題，因而測地線的存在性是次黎曼幾何中的一個(gè)基本而又重要的問題.任給次黎曼流形上兩點(diǎn)是否存在次黎曼測地線連接它們？更一般的，次黎曼流形上任意兩點(diǎn)之間是否存在一條水平曲線連 接?第二個(gè)問題是在次黎曼流形上尋找測地線的一個(gè)必不可少的前提，在20世紀(jì)30年代由Chow解決.對(duì)于次黎曼流形(, ,J,),若是連通的，水平分布D由括號(hào)生成，即對(duì)中任意水 平向量,2,L,.pal,.,J,i,I,f,L=/M,則上任兩點(diǎn)都可由一條水平曲線連接，此時(shí)中任意充分靠 近的兩點(diǎn)都可由一條極小測地線連接

4、.進(jìn)一步水平分布D由 強(qiáng)括號(hào)生成，且次黎曼流形關(guān)于次黎曼度量是完備的.則 上任意兩點(diǎn)都可由一條極小測地線連接.在測地線存在的前提下，進(jìn)一步可討論測地線是正規(guī)還 是奇異測地線.文獻(xiàn)2,【3等對(duì)次黎曼測地線的結(jié)構(gòu)做了較為系統(tǒng)地討論，從是否滿足次黎曼Hamilton形式所對(duì)應(yīng)的 Hamilton方程分為正規(guī)測地線和奇異測地線，從端點(diǎn)映射的 微分在極小測地線處是否為滿射分為正則極小測地線與奇異 極小測地線.Nikitin在1996年從最優(yōu)控制論的角度出發(fā)，利 用變分法得到次黎曼流形只存在正規(guī)測地線的充分條件.為清楚地刻劃次黎曼測地線的特征.Piccione與Tausk在 1999年給出兩端點(diǎn)固定時(shí)正規(guī)

5、測地線的特征.同時(shí)得到兩端 點(diǎn)分別在兩光滑子流形上自由移動(dòng)時(shí)正規(guī)測地線的特征.一般 情況下，容許空間H(a,bl,D,M)不具有光滑流形結(jié)構(gòu)，但在 正則曲線的鄰域內(nèi)，具有無限維Hilbea流形結(jié)構(gòu)，因而正則曲 線是次黎曼能量泛函E在容許空間(【口，糾,D,)內(nèi)的臨界 點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)它是連接吼，兩點(diǎn)的正規(guī)測地線.如果端點(diǎn)流形P 或p橫切于分布D,即7,J+D,=7對(duì)所有的P6則容許空 間IVlld,6I,D,M不含有奇點(diǎn)，它是無窮維的光滑Hilben流 形，此時(shí)所有的次黎曼測地線都是正規(guī)的，且次黎曼能量泛函 E在此容許空間內(nèi)的臨界點(diǎn)恰好是 P,Q之間的正規(guī)測地線，并 且滿足邊界條件：I_(D)6

6、IP),r(b)6 I)，其中T為Y的 提升.在一定的條件下.正規(guī)測地線可由次黎曼能量泛函E在相應(yīng)容許空間內(nèi)的臨界點(diǎn)來刻劃，那么E的臨界點(diǎn)的存在性與多 重性就可以反映正規(guī)測地線的存在性與多解性.進(jìn)一步Pic.cione與Tausk利用Morse指標(biāo)理論，于2000年得到了終點(diǎn)q固定，起點(diǎn)在的一個(gè)光滑子流形上自由移動(dòng)的正規(guī)測地線(稱之為P-正規(guī)測地線)的存在性與多解性.Kishinoto在1998年指 出,如果水平分布D滿足強(qiáng)括號(hào)生成條件，則每條次黎曼測地 線都是正規(guī)的.然而.Piccione等人并沒有假設(shè)水平分布滿足這 一強(qiáng)不可積條件，而是要求子流形P橫切于分布D,從而排除 了奇異測地線的存在

7、.進(jìn)一步如果光滑子流形P的維數(shù)是1.此 時(shí)P就是一條光滑曲線Ia,bI月，利用臨界點(diǎn)的經(jīng)典理論以 及不同于Morse理論的L_S疇數(shù)理論,還可得到在點(diǎn)q與曲線 ，之間至少有°0,l,【la,6J,DM)條正規(guī)測地線；并且如果 catHtj,(Ia,D,M):+.,則存在正規(guī)測地線序列%,使得 liraE(尸+哪.文獻(xiàn)【21給出奇異測地線存在的一個(gè)必要條件即如果水平 曲線:bI肘是奇異測地線，則它一定是奇異曲線，且為 奇異極小.同時(shí)給出奇異曲線存在的充要條件即水平曲線是 奇異曲線當(dāng)且僅當(dāng)存在非正規(guī)極值曲線：r:bI,.M,使得 y是I在M上的投影.次黎曼測地線問題的核心問題是測地線的存在性.多解性和光滑性.在一般的次黎曼流形上.我們可知道極小測地線 是否存在，但它是正規(guī)的，或正則的，還是奇異的，我們并不知 道.對(duì)于奇異測地線的存在性，多解性和光滑性等問題還遠(yuǎn)沒 有解決.這些都是目前次黎曼測地線的研究與發(fā)展趨勢(shì).參考文獻(xiàn)：r1R.Montgomery,ATourofsub- RiemannianGeome- tries,TheirGeodesicsandApplications.2韓燕苓，次黎曼測地線的刻劃.南京理工大學(xué)碩士論文,2003.f3Robeo.Glambo,Exist